九年级数学下册2.4.1二次函数的应用教案1北师大版

课题：2.4.1二次函数的应用
教学目标：
1．经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
3. 积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值，从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．
教学重点与难点：
重点：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题．
难点：利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值．
教学过程：
一、创设情境，引出问题
如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和AD 分别在两直角边上．
（1）设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？
（2）设长方形的面积为y m2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
处理方式：以问题串的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正．
（1）要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由
△EBC∽△EAF，得EB BC
EA AF
=即
40
4030
x BC
-
=．所以AD＝BC＝
3
4
(40－x)．
（2）要求面积y的最大值，即求函数y＝AB·AD＝x·3
4
(40－x)的最大值，就转化为数学问题了．
要求学生讨论写出步骤．（1）∵BC∥AD，
∴△EBC∽△EAF．∴EB BC EA AF
=．
又AB＝x，BE＝40－x，
∴
404030
x BC
-=
．∴BC ＝34(40－x)． ∴AD ＝BC ＝
34(40－x)＝30－3
4
x ． （2）y ＝AB ·AD ＝x(30－34x)＝－34
x 2
＋30x ＝－34
（x 2
－40x ＋400－400） ＝－34
（x 2
－40x ＋400）＋300 ＝－
34
（x －20）2
＋300． 当x ＝20时，y 最大＝300．
即当x 取20m 时，y 的值最大，最大值是300m 2
．
设计意图：通过师生分析交流，让学生经历用含x 的代数式表示矩形的另一边，变三个变量为两个变量，为建立二次函数模型做好铺垫，也让学生体会数形结合时表示线段的重要意义．此问是解决整个实际问题的关键之处，也是难点所在，让学生在充分交流的基础上，回忆起运用三角形相似解决问题． 二、尝试成功，探究创新
活动内容：
如果我们将这个问题再进行变式：
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中点A 和点D 分别在两直角边上，BC 在斜边上．
（1）设矩形的一边BC=xm ，那么AB 边的长度如何表示？ （2）设矩形的面积为y m 2
，当x 取何值，y 的最大值是多少?
处理方式：以问题串的形式引导学生思考，让学生思考并回
答以上问题，在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定，不足之处给予纠正
设计意图：有了前面两题作基础，这个问题可以留给学生课下自己解决，作为练习．解决问题的基本思路一样，只是用到了对应高之比等于相似比，这是此题的难点，本题既加深了旧知的复习应用，又在比较中总结表示线段的多种方法，让学生体会到类比解题，又在同中找异．
三、例题讲解，学以致用
窗户是一幢建筑最重要的标志之一，我们每个人的家里都有窗户，我们小时候还经常爬在窗户前数星星，下面我们来看一个和窗户有关的问题：
40m
30m
D N
O
A
B
C
M
某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m ．当x 等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是多少？
处理方式：x 为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x 与半圆面积和矩形面积都有关系．要求透过
窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy ＋2
πx 2
最大，而由于4y ＋4x ＋3x ＋πx＝7x ＋4y ＋πx＝15，所以y ＝1574x x π--．面积S ＝12πx 2＋2xy ＝12πx 2＋2x ·1574
x x π--＝12πx 2
＋
(157)2
x x x π--＝－3.5x 2
＋7.5x ，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐
标公式中即可．
解：∵7x ＋4y ＋πx＝15， ∴y ＝
1574
x x
π--．
设窗户的面积是S(m 2
)，则 S ＝12
πx 2
＋2xy ＝12πx 2
＋2x ·1574
x x π-- ＝
12πx 2＋(157)2
x x x π-- ＝－3.5x 2
＋7.5x ＝－3.5(x 2
－15
7
x) ＝－3.5(x －1514)2＋1575392
． ∴当x ＝15
14
≈1.07时， S 最大＝
1575
392
≈4.02． 即当x ≈1.07m 时，S 最大≈4.02m 2
，此时，窗户通过的光线最多．
设计意图：把数学问题变式到实际生活问题，让学生运用数学知识到日常生活中，体会用数学的过程，由矩形面积变式到复合型面积，拓展了思维，以不变应万变，通过本题的训练让学生进一步体会利用二次函数解决最大面积问题的方法、过程．
四、巩固提升 展示自我 活动内容：
1． 用6米长的木料做成“目”字形的框架，设框架的宽为x 米，框架的面积为S 平方米，当x = 米时，S 最大？S 最大 = 平方米．
B A
D C G
E F H 2．如图，矩形ABCD 中，AB = 3，BC = 1，点E 、F 、G 、H 分别在
AB 、BC 、
CD 、DA 上，设EB = BF = GD = DH = x ，则四边形EFGH 的最大面积为 ．
3．如图，△ABC 中，BC = 4 cm ，AC = 23cm ，∠C = 60°．在BC 边上有一动点P ，过P 作PD ∥AB 交AC 于点D ，问：点P 在何处时，△APD 的面积最大？最大面积是
多少？
处理方式：学先让学生思考，完成练习后，再用课件展示图例,并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：通过这三道题目对学生的掌握情况进行反馈，发现学生在解决这类问题是存在的不足之处，如果学生感觉到困难，可以进行小组讨论或者教师加以引导点拨．
五、总结概括，整理知识
本节课我们学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应用价值．
1．请你总结一下解决这类问题的基本思路及要注意的问题． 2．本节课，你最深的感受是什么？
3．在这节课学习过程中，你还有什么疑问没有解决？
处理方式：由学生进行课堂小结，要给学生充足的时间进行思考，得出结论后，再进行集体交流和课件展示.
设计意图：通过复习，让学生学会把知识系统化，加深对知识的理解和掌握，同时，培养学生有条理的进行思考，以形成完整知识结构，培养归纳概括能力和语言表达能力．评价自己的学习表现，有利于学生看到自己的优点和不足，以及今后改正的方向，同时也有助于学习习惯的培养．
六、达标测试，反馈纠正
A 组：1．如图，在矩形ABCD 中，AB=m （m 是大于0的常数），BC=8，E 为线段BC 上的动点（不与
B ，
C 重合）．连接DE ，作EF ⊥DE ，EF 与线段BA 交于点F ，设CE=x ，BF=y ． （1）求y 关于x 的函数关系式.
（2）若m=8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？
（3）若 要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
B
A P
D
C
12y m
第2题
B组：2
如图，阴平中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．
（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．
处理方式：学生在学案上做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：分层设练，使学生知识、技能螺旋式的上升，也是一种思维与能力的训练．
七、布置作业，落实目标
课本习题P47第2题
板书设计：
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两根，则x12+x22的值为（）
A．6 B．8 C．14 D．16
【答案】C
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=-5，再变形x12+x22得到（x1+x2）2-2x1•x2，然后利用代入计算即可．
【详解】∵一元二次方程x2-2x-5=0的两根是x1、x2，
∴x1+x2=2，x1•x2=-5，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=22-2×（-5）=1．
故选C．
【点睛】
考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-b
a
，
x1•x2=c
a
．
2．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）
A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D
【答案】C
【解析】试题解析：A、由监测点A监测P时，函数值y随t的增大先减少再增大．故选项A错误；
B、由监测点B监测P时，函数值y随t的增大而增大，故选项B错误；
C、由监测点C监测P时，函数值y随t的增大先减小再增大，然后再减小，选项C正确；
D、由监测点D监测P时，函数值y随t的增大而减小，选项D错误．
故选C．
3．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，
若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）
A．22x=16（27﹣x）B．16x=22（27﹣x）C．2×16x=22（27﹣x）D．2×22x=16（27﹣x）
【答案】D
【解析】设分配x名工人生产螺栓,则（27-x）人生产螺母,根据一个螺栓要配两个螺母可得方程2×22x=16（27-x），故选D.
4．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】根据图像可得：a<0，b<0，c=0，即abc=0，则①正确；
当x=1时，y<0，即a+b+c<0，则②错误；
根据对称轴可得：－=－，则b=3a，根据a<0，b<0可得：a>b；则③正确；
根据函数与x轴有两个交点可得：－4ac>0，则④正确.
故选C.
【点睛】
本题考查二次函数的性质.能通过图象分析a，b，c的正负，以及通过一些特殊点的位置得出a，b，c之间的关系是解题关键.
5．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（）
A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查
B．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查
C．对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查
D．对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查
【答案】D
【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．由此，对各选项进行辨析即可.
【详解】A 、对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
B 、对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
C 、对我市中学生观看电影《厉害了，我的国》情况的调查，人数众多，意义不大，应采用抽样调查，故此选项错误；
D 、对我国首艘国产航母002型各零部件质量情况的调查，意义重大，应采用普查，故此选项正确； 故选D ． 【点睛】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．若一个正比例函数的图象经过A （3，﹣6），B （m ，﹣4）两点，则m 的值为（ ） A ．2 B ．8
C ．﹣2
D ．﹣8
【答案】A
【解析】试题分析：设正比例函数解析式为：y=kx ，将点A （3，﹣6）代入可得：3k=﹣6，解得：k=﹣2，∴函数解析式为：y=﹣2x ，将B （m ，﹣4）代入可得：﹣2m=﹣4，解得m=2，故选A ． 考点：一次函数图象上点的坐标特征． 7．一、单选题
如图： 在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则
22CE CF +等于（ ）
A ．75
B ．100
C ．120
D ．125
【答案】B
【解析】根据角平分线的定义推出△ECF 为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE 2+CF 2=EF 2，进而可求出CE 2+CF 2的值．
【详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=1
2
∠ACB，∠ACF=
1
2
∠ACD，即∠ECF=
1
2
（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．
8．如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）
A．30°B．25°
C．20°D．15°
【答案】B
【解析】根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
9．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；
②球的主视图与左视图都是圆；
③圆锥主视图与左视图都是三角形；
④圆柱的主视图和左视图都是长方形； 故选D ．
10．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A ．1
B ．
3
2
C ．3
D ．23
【答案】C
【解析】连接AE ，OD ，OE ．
∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°．
又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°． ∵OA=OD ．∴△AOD 是等边三角形．∴∠A=60°． 又∵点E 为BC 的中点，∠AED=90°，∴AB=AC ． ∴△ABC 是等边三角形，
∴△EDC 是等边三角形，且边长是△ABC 边长的一半23
∴∠BOE=∠EOD=60°，∴BE 和弦BE 围成的部分的面积=DE 和弦DE 围成的部分的面积． ∴阴影部分的面积=EDC 1
S =
23=32
∆⋅C ． 二、填空题（本题包括8个小题）
11．已知二次函数2
1y ax bx c =++与一次函数()20y kx m k =+≠的图象相交于点()2,4A -，
()8,2.B 如
图所示，则能使12y y >成立的x 的取值范围是______．
【答案】x&lt;-2或x&gt;1
【解析】试题分析：根据函数图象可得：当1
2y y 时，x ＜－2或x ＞1．
考点：函数图象的性质 12．已知xy=3，那么y x x y x y
______ ． 【答案】±3 【解析】分析：先化简，再分同正或同负两种情况作答．
详解：因为xy=3，所以x 、y 同号，
于是原式=22xy xy x y x y x y
xy xy x y
当x>0，y>0时，原式xy xy 3
当x<0，y<0时，原式=(xy xy -3故原式=±3点睛：本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键.
13．因式分解：3a 2-6a+3=________．
【答案】3(a －1)2
【解析】先提公因式，再套用完全平方公式.
【详解】解：3a 2-6a+3=3（a 2-2a+1）=3(a-1)2.
【点睛】
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
14．已知x=2是一元二次方程x 2﹣2mx+4=0的一个解， 则m 的值为 ．
【答案】1．
【解析】试题分析：直接把x=1代入已知方程就得到关于m 的方程，再解此方程即可．
试题解析：∵x=1是一元二次方程x 1-1mx+4=0的一个解，
∴4-4m+4=0，
∴m=1．
考点：一元二次方程的解．
15．如图，圆O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足是E ，∠A=22.5°，OC=4，CD 的长为________．
【答案】42 【解析】试题分析：因为OC=OA ，所以∠ACO=22.5A ∠=︒，所以∠AOC=45°，又直径AB 垂直于弦CD ，4OC =，所以CE=22，所以CD=2CE=42．
考点：1．解直角三角形、2．垂径定理．
16．当x = __________时，二次函数226y x x =-+ 有最小值___________.
【答案】1 5
【解析】二次函数配方，得：2(1)5y x =-+，所以，当x ＝1时，y 有最小值5，
故答案为1，5.
17．如图，CE 是▱ABCD 的边AB 的垂直平分线，垂足为点O ，CE 与DA 的延长线交于点E ．连接AC ，BE ，DO ，DO 与AC 交于点F ，则下列结论：
①四边形ACBE 是菱形；
②∠ACD ＝∠BAE ；
③AF ：BE ＝2：1；
④S 四边形AFOE ：S △COD ＝2：1．
其中正确的结论有_____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④．
【解析】根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA=OB=1
2
AB=
1
2
DC，CD⊥CE，
∵OA∥DC，
∴EA EO OA
ED EC CD
===
1
2
，
∴AE=AD，OE=OC，
∵OA=OB，OE=OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①正确，
∵∠DCE=90°，DA=AE，
∴AC=AD=AE，
∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确，∵OA∥CD，
∴AF OA1 CF CD2
==，
∴AF AF1
AC BE3
==，故③错误，
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=1a，∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a
∴S四边形AFOE：S△COD=2：1．故④正确.
故答案是：①②④．
【点睛】
此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题.
18．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第n 次的运算结果是____________(用含字母x 和n 的代数式表示)． 【答案】2(21)1n n x x -+ 【解析】试题分析：根据题意得121x y x =+；2431x y x =+；3871
x y x =+；根据以上规律可得：n y =2(21)1
n n x x -+. 考点：规律题.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1；格点三角形ABC （顶点是网格线交点的三角形）
的顶点A 、C 的坐标分别是(－4，6)、(－1，4)；请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；请画出△ABC
关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；请在y 轴上求作一点P ，使△PB 1C 的周长最小，并直接写出点P 的坐标.
【答案】（1）（2）见解析；（3）P （0，2）．
【解析】分析：（1）根据A ，C 两点的坐标即可建立平面直角坐标系.
（2）分别作各点关于x 轴的对称点，依次连接即可.
（3）作点C 关于y 轴的对称点C′，连接B 1C′交y 轴于点P ，即为所求.
详解：（1）（2）如图所示：
（3）作点C关于y轴的对称点C′，连接B1C′交y轴于点P，则点P即为所求．设直线B1C′的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B1（﹣2，-2），C′（1，4），
∴
22
4
k b
k b
-+=-
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
2
2
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴直线AB2的解析式为：y=2x+2，
∴当x=0时，y=2，∴P（0，2）．
点睛：本题主要考查轴对称图形的绘制和轴对称的应用.
20．如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．
求证：△ADE≌△BFE；若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的
位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（1）见解析．
【解析】（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论．
（1）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠1；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF．
【详解】解：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF．
∴∠1=∠1．
∵点E是AB边的中点，
∴AE=BE，
∵在△ADE与△BFE中，
12
DEA FEB AE BE
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ADE≌△BFE（AAS）．
（1）CE⊥DF．理由如下：
如图，连接CE，
由（1）知，△ADE≌△BFE，
∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠1．
∵DF平分∠ADC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠1．
∴CD=CF．
∴CE⊥DF．
21．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3（k≠0），当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：
①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
【答案】（1）3
2
（2）1（3）①②③
【解析】（1）由抛物线与x轴只有一个交点，可知△=0；
（2）由抛物线与x轴有两个交点且AB=2，可知A、B坐标，代入解析式，可得k值；
（3）通过解析式求出对称轴，与y轴交点，并根据系数的关系得出判断．【详解】（1）∵二次函数y＝kx2﹣4kx+3与x轴只有一个公共点，
∴关于x的方程kx2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4k）2﹣4×3k＝16k2﹣12k＝0，
解得：k1＝0，k2＝3
2
，
k≠0，
∴k＝3
2
；
（2）∵AB＝2，抛物线对称轴为x＝2，
∴A、B点坐标为（1，0），（3，0），
将（1，0）代入解析式，可得k＝1，
（3）①∵当x＝0时，y＝3，
∴二次函数图象与y轴的交点为（0，3），①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴抛物线的对称轴不变，②正确；
③二次函数y＝kx2﹣4kx+3＝k（x2﹣4x）+3，将其看成y关于k的一次函数，
令k的系数为0，即x2﹣4x＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴抛物线一定经过两个定点（0，3）和（4，3），③正确．
综上可知：正确的结论有①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，与x、y轴的交点问题，对称轴问题，以及系数与图象的关系问题，是一道很好的综合问题．
22．如图,两座建筑物的水平距离BC为60m.从C点测得A点的仰角α为53° ,从A点测得D点的俯角β为37° ,求两座建筑物的高度(参考数
据:
34334 37,3737, 53453?35) 55453 sin cos tan sin cos tan ≈≈≈≈≈≈
，,，
【答案】建筑物AB 的高度为80m .建筑物CD 的高度为35m .
【解析】分析：过点D 作DE ⊥AB 于于E ，则DE=BC=60m ．在Rt △ABC 中，求出AB ．在Rt △ADE 中求出AE 即可解决问题．
详解：过点D 作DE ⊥AB 于于E ，则DE=BC=60m ，
在Rt △ABC 中，tan53°=60AB AB BC ∴，=43
，∴AB=80（m ）． 在Rt △ADE 中，tan37°=34AE DE ∴，=60AE ，∴AE=45（m ）， ∴BE=CD=AB ﹣AE=35（m ）．
答：两座建筑物的高度分别为80m 和35m ．
点睛：本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．如图，一次函数y ＝kx+b 与反比例函数y ＝
6x
（x ＞0）的图象交于A （m ，6）， B （3，n ）两点．求一次函数关系式；根据图象直接写出kx+b ﹣6x ＞0的x 的取值范围；求△AOB 的面积．
【答案】（1）y ＝－2x ＋1 ；（2）1＜x ＜2 ；（2）△AOB 的面积为1 .
【解析】试题分析：（1）首先根据A （m ，6），B （2，n ）两点在反比例函数y=6x
（x ＞0）的图象上，求出m ，n 的值各是多少；然后求出一次函数的解析式，再根据一元二次不等式的求法，求出x 的取值范围
即可．
（2）由-2x+1-6
x
＜0，求出x的取值范围即可．
（2）首先分别求出C点、D点的坐标的坐标各是多少；然后根据三角形的面积的求法，求出△AOB的面积是多少即可．
试题解析：（1）∵A（m，6），B（2，n）两点在反比例函数y=6
x
（x＞0）的图象上，
∴6=6
m
，
6
3
n=，
解得m=1，n=2，
∴A（1，6），B（2，2），
∵A（1，6），B（2，2）在一次函数y=kx+b的图象上，
∴
6
{
32 k b
k b
+
+
＝
＝
，
解得
2 {
8
k
b
-
＝
＝
，
∴y=-2x+1．
（2）由-2x+1-6
x
＜0，
解得0＜x＜1或x＞2．（2）当x=0时，
y=-2×0+1=1，
∴C点的坐标是（0，1）；当y=0时，
0=-2x+1，
解得x=4，
∴D点的坐标是（4，0）；
∴S△AOB=1
2
×4×1-
1
2
×1×1-
1
2
×4×2=16-4-4=1．
24．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为弧BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、
BC．试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由若AD=2，O的半径．
【答案】（1）直线CD 与⊙O 相切；（2）⊙O 的半径为1.1．
【解析】（1）相切，连接OC ，
∵C 为BE 的中点，∴∠1=∠2，∵OA=OC ，∴∠1=∠ACO ，∴∠2=∠ACO ，∴AD ∥OC ，∵CD ⊥AD ，∴OC ⊥CD ，∴直线CD 与⊙O 相切；
（2）连接CE ，∵AD=2，AC=6，∵∠ADC=90°，∴CD=22AC AD -=2，∵CD 是⊙O 的切线，∴2CD =AD•DE ，∴DE=1，∴CE=22CD DE +=3，∵C 为BE 的中点，∴BC=CE=3，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴AB=
22AC BC +=2．
∴半径为1.1
25．两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA 在x 轴上，已知
∠COD=∠OAB=90°，OC=2，反比例函数y=
k x 的图象经过点B ．求k 的值．把△OCD 沿射线OB 移动，当点D 落在y=k x
图象上时，求点D 经过的路径长．
【答案】（1）k=2；（2）点D 6
【解析】（1）根据题意求得点B 的坐标，再代入k y x
=求得k 值即可； （2）设平移后与反比例函数图象的交点为D′，由平移性质可知DD′∥OB ，过D′作D′E ⊥x 轴于点E ，交DC 于点F ，设CD 交y 轴于点M （如图），根据已知条件可求得点D 的坐标为（﹣1，1），设D′横坐标为t ，则OE=MF=t ，即可得D′（t ，t+2），由此可得t （t+2）=2，解方程求得t 值，利用勾股定理求得DD′
的长，即可得点D经过的路径长．
【详解】（1）∵△AOB和△COD为全等三的等腰直角三角形，OC=2，∴AB=OA=OC=OD=2，
∴点B坐标为（2，2），
代入
k
y
x
=得k=2；
（2）设平移后与反比例函数图象的交点为D′，
由平移性质可知DD′∥OB，过D′作D′E⊥x轴于点E，交DC于点F，设CD交y轴于点M，如图，
∵2AOB=∠COM=45°，
∴OM=MC=MD=1，
∴D坐标为（﹣1，1），
设D′横坐标为t，则OE=MF=t，
∴D′F=DF=t+1，
∴D′E=D′F+EF=t+2，
∴D′（t，t+2），
∵D′在反比例函数图象上，
∴t（t+2）=2，解得31或t=31（舍去），
∴D′31，3+1），
∴22
(311)(311)6
-+++-=，
即点D6
【点睛】
本题是反比例函数与几何的综合题，求得点D′的坐标是解决第（2）问的关键．
26．如图，某同学在测量建筑物AB的高度时，在地面的C处测得点A的仰角为30°，向前走60米到达
D 处，在D 处测得点A 的仰角为45°，求建筑物AB 的高度．
【答案】（3
【解析】解：设建筑物AB 的高度为x 米
在Rt △ABD 中，∠ADB=45°
∴AB=DB=x
∴BC=DB+CD= x+60
在Rt △ABC 中，∠ACB=30°,
∴tan ∠ACB=AB
CB ∴tan 3060x
x ︒=+ 360x
x =+
∴x=30+30
∴建筑物AB 的高度为（30+30）米
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）
A．
3
3
B．
5
5
C．
23
3
D．
25
5
【答案】D
【解析】过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，AB=22
1310
+=，AD=22
2222
+=，
cosA=AD
AB
=
22
10
=
25
5
，
故选D．
2．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）
A．x(x+1)=1035 B．x(x-1)=1035 C．1
2
x(x+1)=1035 D．
1
2
x(x-1)=1035
【答案】B
【解析】试题分析：如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程．
∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x-1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x-1）=1．
故选B
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
3．反比例函数y=的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（）
A．t＜B．t＞C．t≤D．t≥
【答案】B
【解析】将一次函数解析式代入到反比例函数解析式中，整理得出x2﹣2x+1﹣6t=0，又因两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，根据根的判别式以及根与系数的关系可求解．
【详解】由题意可得：﹣x+2=，
所以x2﹣2x+1﹣6t=0，
∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，
∴
解不等式组，得t＞．
故选：B．
点睛：此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是利用两个函数的解析式构成方程，再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.
4．如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG=42，则△CEF的面积是（）
A．22B．2C．32D．42
【答案】A
【解析】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE；
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，
∴AB=BE=6，
∵BG⊥AE，垂足为G，
∴AE=2AG．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6，BG=42，∴AG=22
AB BG
-=2，
∴AE=2AG=4；
∴S△ABE=1
2
AE•BG=
1
44282
2
⨯⨯=．
∵BE=6，BC=AD=9，
∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，∴BE：CE=6：3=2：1，∵AB∥FC，
∴△ABE∽△FCE，
∴S△ABE：S△CEF=（BE：CE）2=4：1，则S△CEF=1
4
S△ABE=22．
故选A．
【点睛】
本题考查1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
5．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（2，2）、B（3，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标分别为（）
A．（4，4）B．（3，3）C．（3，1）D．（4，1）
【答案】A
【解析】利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．
【详解】∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB扩大为原来的2倍后得到线段CD，∴A点与C点是对应点，
∵C点的对应点A的坐标为（2，2），位似比为1：2，
∴点C的坐标为：（4，4）
故选A．
【点睛】
本题考查了位似变换，正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．
6．某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为1
3
．小张
这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张( )
A．能中奖一次B．能中奖两次C．至少能中奖一次D．中奖次数不能确定【答案】D
【解析】由于中奖概率为1
3
，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．
【详解】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定.
故选D．
【点睛】
解答此题要明确概率和事件的关系：
()
P A0
=
①，为不可能事件；
()
P A1
=
②为必然事件；
()
0P A1
③<<为随机事件．
7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以。