2024届浙江省宁波鄞州区五校联考中考数学最后一模试卷含解析

2024届浙江省宁波鄞州区五校联考中考数学最后一模试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．计算
22
x
x x
+
-的结果为（）
A．1 B．x C．1
x
D．
2
x
x
+
2．函数y=
1
1
x
x
+
-
中自变量x的取值范围是（）
A．x≥-1且x≠1B．x≥-1 C．x≠1D．-1≤x＜1
3．计算（－18）÷9的值是( )
A．-9 B．-27 C．-2 D．2
4．已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE=AP=1，PB=5．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为2；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+6；⑤S 正方形ABCD
=4+6．其中正确结论的序号是（）
A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤
5．图为小明和小红两人的解题过程．下列叙述正确的是( )
计算：
3
1
x-
+
2
3
1
x
x
-
-
A．只有小明的正确B．只有小红的正确
C．小明、小红都正确D．小明、小红都不正确
6．二次函数y=-x2-4x+5的最大值是（）
A．-7 B．5 C．0 D．9
7．从3、1、－2这三个数中任取两个不同的数作为P点的坐标，则P点刚好落在第四象限的概率是（）
A．1
4
B．
1
3
C．
2
3
D．
1
2
8．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）
A．2，B．2，πC．，D．2，
9．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
10．式子2x1
x1
+
-
有意义的x的取值范围是（）
A．
1
x
2
≥-且x≠1B．x≠1C．
1
x
2
≥-D．
1
x>
2
-且x≠1
11．抛物线y＝mx2﹣8x﹣8和x轴有交点，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣2 B．m≥﹣2 C．m≥﹣2且m≠0D．m＞﹣2且m≠0 12．若矩形的长和宽是方程x2－7x+12=0的两根，则矩形的对角线长度为（）A．5 B．7 C．8 D．10
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．计算：31
-
2
2
的结果是_____．
14．分解因式：x2–4x+4=__________．
15．如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是________．
16．如图，在△ABC中，BC=7，32
AC ，tanC=1，点P为AB边上一动点（点P不与点B重合），以点P为圆心，PB 为半径画圆，如果点C在圆外，那么PB的取值范围______.
17．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是______．
18．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②所示的统计图，已知“查资料”的人数是40人．
请你根据图中信息解答下列问题：
(1)在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是_____°；
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有学生1200人，试估计每周使用手机时间在2小时以上(不含2小时)的人数.
20．（6分）元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A ）、白鹿原（记为B ）、兴庆公园（记为C ）、秦岭国家植物园（记为D ）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同． （1）求小明选择去白鹿原游玩的概率；
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．
21．（6分）如图，在城市改造中，市政府欲在一条人工河上架一座桥，河的两岸PQ 与MN 平行，河岸MN 上有A 、B 两个相距50米的凉亭，小亮在河对岸D 处测得∠ADP=60°，然后沿河岸走了110米到达C 处，测得∠BCP=30°，求这条河的宽．（结果保留根号）
22．（8分）先化简：21111
x x x ⎛
⎫-÷ ⎪+-⎝⎭，再请你选择一个合适的数作为x 的值代入求值． 23．（8分）台州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p(元/千克)与时间第t(天)之间的函数关系为：p=
14
t+16，日销售量y(千克)与时间第t(天)之间的函数关系如图所示：
(1)求日销售量y 与时间t 的函数关系式？
(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？
24．（10分）某校师生到距学校20千米的公路旁植树，甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果两班师生同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，求两种车的速度各是多少？
25．（10分）随着社会的发展，通过微信朋友圈发布自己每天行走的步数已经成为一种时尚．“健身达人”小陈为了了解他的好友的运动情况．随机抽取了部分好友进行调查，把他们6月1日那天行走的情况分为四个类别：A （0～5000步）（说明：“0～5000”表示大于等于0，小于等于5000，下同），B （5001～10000步），C （10001～15000步），D （15000
步以上），统计结果如图所示：
请依据统计结果回答下列问题：本次调查中，一共调查了位好友．已知A类好友人数是D类好友人数的5倍．
①请补全条形图；
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为度．
③若小陈微信朋友圈共有好友150人，请根据调查数据估计大约有多少位好友6月1日这天行走的步数超过10000步？26．（12分）如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD 于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：2
EF=4BP•QP．
27．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，弦CD与AB相交于E．
若∠AOD＝45°，求证：CE2ED；（2）若AE＝EO，求tan∠AOD的值．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A
【解题分析】
根据同分母分式的加减运算法则计算可得．【题目详解】
原式=
22
x
x
+-
=
x
x
=1，
故选：A．
【题目点拨】
本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则．
2、A
【解题分析】
分析：根据分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
详解：根据题意得到：
10
10 x
x
+≥
⎧
⎨
-≠
⎩
，
解得x≥-1且x≠1，
故选A．
点睛：本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
3、C
【解题分析】
直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．
【题目详解】
解：（-18）÷9=-1．
故选：C．
【题目点拨】
此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
4、D
【解题分析】
①首先利用已知条件根据边角边可以证明△APD≌△AEB；
②由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE过点B作BF⊥AE延长线于F，由①得∠AEB=135°所以∠EFB=45°，所
以△EFB 是等腰Rt △，故B 到直线AE 距离为，故②是错误的；
③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；
④由△APD ≌△AEB ，可知S △APD +S △APB =S △AEB +S △APB ，然后利用已知条件计算即可判定；
⑤连接BD ，根据三角形的面积公式得到S △BPD =
12PD×BE=32，所以S △ABD =S △APD +S △APB +S △BPD 判定．
【题目详解】
由边角边定理易知△APD ≌△AEB ，故①正确；
由△APD ≌△AEB 得，∠AEP=∠APE=45°，从而∠APD=∠AEB=135°，
所以∠BEP=90°，
过B 作BF ⊥AE ，交AE 的延长线于F ，则BF 的长是点B 到直线AE 的距离，
在△AEP 中，由勾股定理得，
在△BEP 中，，，由勾股定理得：，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP ，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF ，
在△EFB 中，由勾股定理得： 故②是错误的；
因为△APD ≌△AEB ，所以∠ADP=∠ABE ，而对顶角相等，所以③是正确的；
由△APD ≌△AEB ，
∴
可知S △APD +S △APB =S △AEB +S △APB =S △AEP +S △BEP =12+2
连接BD ，则S △BPD =12PD×BE=32
，
所以S △ABD =S △APD +S △APB +S △BPD =2+2
所以S正方形ABCD=2S△ABD=4+6．
综上可知，正确的有①③⑤．
故选D.
【题目点拨】
考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．
5、D
【解题分析】
直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【题目详解】
解：
3
1
x-2
3
1
x
x
-
+
-
＝﹣
3
1x
-
+
3
(1)(1)
x
x x
-
-+
＝﹣
3(1)
(1)(1)
x
x x
+
-+
+
3
(1)(1)
x
x x
-
-+
＝
333 (1)(1)
x x
x x --+-
-+
＝
26 (1)(1)
x
x x
--
-+
，
故小明、小红都不正确．
故选：D．
【题目点拨】
此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．6、D
【解题分析】
直接利用配方法得出二次函数的顶点式进而得出答案．【题目详解】
y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+2）2+9，
即二次函数y=﹣x2﹣4x+5的最大值是9，
故选D．
【题目点拨】
此题主要考查了二次函数的最值，正确配方是解题关键．7、B
【解题分析】
解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，其中（1，－2），（3，－2）点落在第四项象限，∴P点刚好落在第四象限的概率=2
6
=
1
3
．故
选B．
点睛：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，熟记各象限内点的符号特点是解题的关键．8、D
【解题分析】
试题分析：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，，
故选D．
考点：1正多边形和圆；2.弧长的计算．
9、A
【解题分析】
A.是轴对称图形不是中心对称图形，正确；
B.是轴对称图形也是中心对称图形，错误；
C.是中心对称图形不是轴对称图形，错误；
D. 是轴对称图形也是中心对称图形，错误，
故选A.
【题目点拨】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键.
10、A
【解题分析】
根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0
的条件，要使x 1
-在实数范围内有意义，必须12x 10x 1{{x 2x 102x 1
+≥≥-⇒⇒≥--≠≠且x 1≠．故选A ． 11、C
【解题分析】
根据二次函数的定义及抛物线与x 轴有交点，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．
【题目详解】
解：∵抛物线2
88y mx x =--和x 轴有交点， 20(8)4(8)0m m ≠⎧∴⎨--⋅-⎩
, 解得：m 2≥﹣且m 0≠．
故选C ．
【题目点拨】
本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的定义以及解一元一次不等式组，牢记“当240b ac ∆=-≥时，抛物线与x 轴有交点是解题的关键．
12、A
【解题分析】
解：设矩形的长和宽分别为a 、b ，则a +b =7，ab =12，所以矩形的对角线长
=1．故选A ．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、2
【解题分析】
试题分析：先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可，
31322
2
222
2
-=-=
考点：二次根式的加减
14、（x–1）1
【解题分析】
试题分析：直接用完全平方公式分解即可，即x1﹣4x+4=（x﹣1）1．考点：分解因式.
15、2
【解题分析】
试题解析：连接EG，
∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，OD=1
2
DE=1．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，
∴∠2=∠1，
∴∠1=∠1，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA=1
2 AG．
在Rt△AOD中，2222
53
AD OD
--，
∴AG=2AO=2．故答案为2.
16、
35 0
8 <<
PB
【解题分析】
分析：根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可求得PB的取值范围．
详解：作AD⊥BC于点D，作PE⊥BC于点E．∵在△ABC中，BC=7，AC=32，tan C=1，∴AD=CD=3，∴BD=4，∴AB=5，由题意可得，当PB=PC时，点C恰好在以点P为圆心，PB为半径圆上．∵AD⊥BC，PE⊥BC，∴PE∥AD，
∴△BPE∽△BDA，∴BE BP
BD BA
=，即
7
2
45
BP
=，得：BP=
35
8
．故答案为0＜PB＜
35
8
．
点睛：本题考查了点与圆的位置关系、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
17、25
6
或
50
13
．
【解题分析】
由图可知，在△OMN中，∠OMN的度数是一个定值，且∠OMN不为直角. 故当∠ONM=90°或∠MON=90°时，△OMN 是直角三角形. 因此，本题需要按以下两种情况分别求解.
(1) 当∠ONM=90°时，则DN⊥BC.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∵BC=20，
∴在Rt△ABC中，
2
cos cos4520102
2
AC BC C BC
=⋅=⋅︒=⨯=
∵DE是△ABC的中位线，
∴
11
10252
22
CE AC
==⨯=，
∴在Rt△CFE中，
2
sin sin45525
2
EF CE C BC
=⋅=⋅︒=⨯=，5
FC EF
==.
∵BM=3，BC=20，FC=5，
∴MF=BC-BM-FC=20-3-5=12. ∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，
5 tan
12
EF
EMF
MF
∠==，
∵DE是△ABC的中位线，BC=20，
∴
11
2010
22
DE BC
==⨯=，DE∥BC，
∴∠DEM=∠EMF，即∠DEO=∠EMF，
∴
5 tan tan
12
DEO EMF
∠=∠=，
∴在Rt△ODE中，
525
tan10
126 DO DE DEO
=⋅∠=⨯=.
(2) 当∠MON=90°时，则DN⊥ME.
过点E作EF⊥BC，垂足为F.(如图)
∵EF=5，MF=12，
∴在Rt△MFE中，2222
12513
ME MF EF
=++=，
∴在Rt△MFE中，
5 sin
13
EF
EMF
ME
∠==，
∵∠DEO=∠EMF，
∴
5 sin sin
13
DEO EMF
∠=∠=，
∵DE=10，
∴在Rt△DOE中，
550
sin10
1313 DO DE DEO
=⋅∠=⨯=.
综上所述，DO的长是25
6
或
50
13
.
故本题应填写：25
6
或
50
13
.
点睛：
在解决本题的过程中，难点在于对直角三角形中直角的分类讨论；关键点是通过等角代换将一个在原直角三角形中不易求得的三角函数值转换到一个容易求解的直角三角形中进行求解. 另外，本题也可以用相似三角形的方法进行求解，不过利用锐角三角函数相对简便.
18、36或45. 【解题分析】 （3）当B′D=B′C 时，过B′点作GH ∥AD ，则∠B′GE=90°，
当B′C=B′D 时，AG=DH=12
DC=8，由AE=3，AB=36，得BE=3． 由翻折的性质，得B′E=BE=3，
∴EG=AG ﹣AE=8﹣3=5，
∴B′G=22'B E EG -=22135-=33，
∴B′H=GH ﹣B′G=36﹣33=4，
∴DB′=22'B H DH +=2248+=45；
（3）当DB′=CD 时，则DB′=36（易知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合）；
（3）当CB′=CD 时，
∵EB=EB′，CB=CB′，
∴点E 、C 在BB′的垂直平分线上，
∴EC 垂直平分BB′，
由折叠可知点F 与点C 重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB′的长为36或45．故答案为36或45．
考点：3．翻折变换（折叠问题）；3．分类讨论．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）126；（2）作图见解析（3）768
【解题分析】
试题分析：（1）根据扇形统计图求出所占的百分比，然后乘以360°即可；
（2）利用“查资料”人人数是40人，查资料”人占总人数40%，求出总人数100，再求出32人；
(3)用部分估计整体.
试题解析：（1）126°
（2）40÷40%－2－16－18－32＝32人
（3）1200×=768人
考点：统计图
20、（1）1
4
；（2）
1
16
【解题分析】
（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【题目详解】
（1）∵小明准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，
∴小明选择去白鹿原游玩的概率＝1
4
；
（2）画树状图分析如下：
两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，
所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率＝
1 16
．
【题目点拨】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
21、3.
【解题分析】
试题分析：根据矩形的性质，得到对边相等，设这条河宽为x 米，则根据特殊角的三角函数值，可以表示出ED 和BF ，根据EC =ED +CD ，AF =AB +BF ，列出等式方程，求解即可.
试题解析：作AE ⊥PQ 于E ,CF ⊥MN 于F .
∵PQ ∥MN ，
∴四边形AECF 为矩形,
∴EC =AF ,AE =CF .
设这条河宽为x 米，
∴AE =CF =x .
在Rt △AED 中，
60ADP ∠=，
3.tan603
AE x ED x ∴=== ∵PQ ∥MN ，
30.CBF BCP ∴∠=∠=
∴在Rt △BCF 中，
3.tan303
CF x BF x === ∵EC =ED +CD ，AF =AB +BF ，
3110503.x x +=+ 解得30 3.x =
∴这条河的宽为3.
22、x ﹣1，1．
【解题分析】
先通分计算括号里的，再计算括号外的，最后根据分式性质，找一个恰当的数2（此数不唯一）代入化简后的式子计
算即可．
【题目详解】 解：原式＝(1)(1)1x x x x x
++⨯－＝x ﹣1， 根据分式的意义可知，x ≠0，且x ≠±1，
当x ＝2时，原式＝2﹣1＝1．
【题目点拨】
本题主要考查分式的化简求值，化简过程中要注意运算顺序，化简结果是最简形式，难点在于当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为零．
23、 (1)y=﹣2t+200(1≤t≤80，t 为整数)； (2)第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元；(3)共有21天符合条件．
【解题分析】
（1）根据函数图象，设解析式为y=kt+b ，将(1，198)、(80，40)代入，利用待定系数法求解可得；
（2）设日销售利润为w ，根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质分别求得最值即可判断；
（3）求出w=2400时t 的值，结合函数图象即可得出答案；
【题目详解】
(1)设解析式为y=kt+b ，将(1，198)、(80，40)代入，得：
1988040
k b k b +=⎧⎨+=⎩ ，解得：2200k b =-⎧⎨=⎩，∴y=﹣2t+200(1≤t≤80，t 为整数)； (2)设日销售利润为w ，则w=(p ﹣6)y ，
当1≤t≤80时，w=(14t+16﹣6)(﹣2t+200)=﹣12
(t ﹣30)2+2450， ∴当t=30时，w 最大=2450；
∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．
(3)由(2)得：当1≤t≤80时，
w=﹣12
(t ﹣30)2+2450，
令w=2400，即﹣1
2
(t﹣30)2+2450=2400，
解得：t1=20、t2=40，
∴t的取值范围是20≤t≤40，
∴共有21天符合条件．
【题目点拨】
本题考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象解不等式及二次函数的图象与性质是解题关键．
24、自行车速度为16千米/小时，汽车速度为40千米/小时.
【解题分析】
设自行车速度为x千米/小时，则汽车速度为2.5x千米/小时，根据甲班师生骑自行车先走，45分钟后，乙班师生乘汽车出发，结果同时到达，即可列方程求解.
【题目详解】
设自行车速度为x千米/小时，则汽车速度为2.5x千米/小时，由题意得
204520
60 2.5
x x
-=，
解得x=16，
经检验x=16适合题意，
2.5x=40，
答：自行车速度为16千米/小时，汽车速度为40千米/小时.
25、（1）30；（2）①补图见解析；②120；③70人.
【解题分析】
分析：（1）由B类别人数及其所占百分比可得总人数；
（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，根据总人数列方程求得a的值，从而补全图形；
②用360°乘以A类别人数所占比例可得；
③总人数乘以样本中C、D类别人数和所占比例．
详解：（1）本次调查的好友人数为6÷20%=30人，
故答案为：30；
（2）①设D类人数为a，则A类人数为5a，
根据题意，得：a+6+12+5a=30，
解得：a=2，
即A类人数为10、D类人数为2，
补全图形如下：
②扇形图中，“A”对应扇形的圆心角为360°×1030=120°， 故答案为：120； ③估计大约6月1日这天行走的步数超过10000步的好友人数为150×
12230+=70人． 点睛：此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
26、（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解题分析】
试题分析：（1）连接OE ，AE ，由AB 是⊙O 的直径，得到∠AEB=∠AEC=90°，根据四边形ABCD 是平行四边形，得到PA=PC 推出∠OEP=∠OAC=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由AB 是⊙O 的直径，得到∠AQB=90°根据相似三角形的性质得到2PA =PB•PQ ，根据全等三角形的性质得到PF=PE ，求得PA=PE=12
EF ，等量代换即可得到结论． 试题解析：（1）连接OE ，AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴PA=PC ，∴PA=PC=PE ，∴∠PAE=∠PEA ，∵OA=OE ，∴∠OAE=∠OEA ，∴∠OEP=∠OAC=90°，∴EF 是⊙O 的切线；
（2）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AQB=90°，∴△APQ ∽△BPA ，∴
PA PQ BP PA
=，∴2PA =PB•PQ ，在△AFP 与△CEP 中，∵∠PAF=∠PCE ，∠APF=∠CPE ，PA=PC ，∴△AFP ≌△CEP ，∴PF=PE ，∴PA=PE=12EF ，∴2EF =4BP•QP ．
考点：切线的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
27、（1）见解析；（2）tan ∠AOD ＝34
.
【解题分析】
（1）作DF⊥AB于F，连接OC，则△ODF是等腰直角三角形，得出OC=OD=2DF，由垂径定理得出∠COE=90°，
证明△DEF∽△CEO得出
2
2
ED OC DF
CE DF DF
===，即可得出结论；
（2）由题意得OE=1
2
OA=
1
2
OC，同（1）得△DEF∽△CEO，得出
1
2
EF EO
DF OC
==，设⊙O的半径为2a（a＞0），
则OD=2a，EO=a，设EF=x，则DF=2x，在Rt△ODF中，由勾股定理求出x=3
5
a，得出DF=
6
5
a，OF=EF+EO=
8
5
a，
由三角函数定义即可得出结果．
【题目详解】
（1）证明：作DF⊥AB于F，连接OC，如图所示：
则∠DFE＝90°，
∵∠AOD＝45°，
∴△ODF是等腰直角三角形，
∴OC＝OD2DF，
∵C是弧AB的中点，
∴OC⊥AB，
∴∠COE＝90°，
∵∠DEF＝∠CEO，
∴△DEF∽△CEO，
∴
2
2 ED OC DF
CE DF DF
===
∴CE2ED；（2）如图所示：∵AE＝EO，
∴OE=1
2
OA=
1
2
OC，
同（1）得：，△DEF∽△CEO，
∴
1
2 EF EO
DF OC
==，
设⊙O的半径为2a（a＞0），则OD＝2a，EO＝a，
设EF＝x，则DF＝2x，
在Rt△ODF中，由勾股定理得：（2x）2+（x+a）2＝（2a）2，
解得：x＝3
5
a，或x＝﹣a（舍去），
∴DF＝6
5
a，OF＝EF+EO＝
8
5
a，
∴
DF3 tan AOD
OF4
∠==．
【题目点拨】
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理是关键．。