解析天津市和平区高二上学期期末考试数学试题含解析

2019-2020学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题）
1.命题“，”的否定为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
2.“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.椭圆的焦点坐标为
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
4.抛物线的焦点坐标是
A. B. C. D.
5.已知的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在
BC边上，则的周长是
A. B. C. 6 D. 12
6.已知双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为
A. B. C. D.
7.已知是双曲线C：上的一点，，是C的左、右两个焦点，若，则的取值范围是
A. B. C. D.
8.已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为若，则双曲线的
渐近线方程为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题）
9.命题：“，”的否定为______．
10.对于常数m、n，“”是“方程的曲线是椭圆”的______条件．
11.已知椭圆G的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为
6，则椭圆的离心率为______．
12.已知点，F是抛物线的焦点，若点P在抛物线上运动，当取最小值时，点P的坐标
为______．
13.已知倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点交抛物线于A、B两点，并且，则______．
14.已知抛物线C：的焦点为F，准线与x轴的交点为H，点A在C上，且，则的面积
为______．
三、解答题（本大题共5小题）
15.已知椭圆的焦点在x轴上，长轴长为4，焦距为2，求该椭圆的标准方程；
已知抛物线顶点在原点，对称轴是y轴，并且焦点到准线的距离为5，求该抛物线方程．
16.已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为．
求椭圆C的方程；
过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．
17.已知抛物线C：经过点，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原
点．
求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
若，求面积的最小值．
18.已知椭圆C：经过点，一个焦点为．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ若直线与x轴交于点P，与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x 轴交于点Q，求的取值范围．
19.已知椭圆的离心率为，其短轴的端点分别为A，B，，
且直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其
中点，满足且．
Ⅰ求椭圆C的方程；
Ⅱ若面积是面积的5倍，求实数m的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：否定：否定两次，否定结论．
故命题“，”的否定为，．
故选：C．
否定：否定两次，否定结论．
本题考查命题的否定，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：若直线与双曲线相切，则直线与双曲线只有一个公共点，
反之，当直线和双曲线渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但此时直线与双曲线是相交的，不满足相切，
故“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件，
故选：A．
根据直线和双曲线的位置关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和双曲线的位置关系是解决本题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：椭圆，可得，，所以，
所以椭圆的焦点坐标．
故选：D．
利用椭圆的方程求出a，b，得到c即可求解结果．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抛物线的简单性质的应用，属于基础题．
直接利用抛物线方程求解焦点坐标即可．
【解答】
解：抛物线的开口向左，，
所以焦点坐标是：．
故选B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义，考查焦点三角形的周长公式，考查计算能力，属于基础题．
由椭圆，则，设直线BC过椭圆的右焦点，则根据椭圆的定义可知：，，三角形的周长为：．
【解答】
解：椭圆，则，
设直线BC过椭圆的右焦点，根据椭圆的定义可知：
，．
三角形的周长为：．
故选B．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，双曲线C：的焦点在x轴上，其渐近线方程为，
若其一条渐近线的倾斜角为，则该渐近线的方程为，
则有，即，
椭圆中，，
若双曲线与椭圆有相等的焦距，则有，
解可得，，
则双曲线的方程为；
故选：C．
根据题意，由双曲线的方程分析可得其渐近线方程，分析可得有，即，求出椭圆的半焦距，分析可得，解可得、的值，将、的值代入双曲线的方程，即可得答案．
本题考查双曲线、椭圆的几何性质，注意分析双曲线的焦点位置．
7.【答案】A
【解析】【分析】
利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定的取值范围．
本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．【解答】
解：因为是双曲线C：上的一点，所以，
由题意，，
所以．
故选：A．
8.【答案】C
【解析】解：抛物线的焦点坐标，，
抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
，即，
设，由抛物线定义知：
，．
点的坐标为
解得：，
则渐近线方程为，
根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与，，解得a，b，得到渐近线方程．
本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．
9.【答案】，
【解析】【分析】
本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】
解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题：“，”的否定是：，；
故答案为，．
10.【答案】必要不充分
【解析】【分析】
根据椭圆的标准方程形式确定m，n的关系，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，要求掌握椭圆的标准方程．
【解答】
解：由方程得，所以要使方程的曲线是椭圆，则，即，且．
所以，“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分条件．
11.【答案】
【解析】解：椭圆G的中心在坐标原点，焦距为4，且椭圆上一点到椭圆焦点的最小距离为6，
，解得，，
所以椭圆的离心率为：．
故答案为：．
利用已知条件列出方程组，求解a、c，得到椭圆的离心率．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
12.【答案】
【解析】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知
要求取得最小值，即求取得最小
当D，P，A三点共线时最小，
，点的纵坐标，
此时由得，
即，
故答案为：
设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的
定义可知进而把问题转化为求取得最小，进而
可推断出当D，P，A三点共线时最小，即可得
到结论．．
本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生数
形结合的思想和抛物线定义的应用，利用抛物线的定义是解决本题的关键．
【解析】解：如图，设A、B两点
在准线上的射影分别为C、D．
过B作于则有，
设，则．
则．
故答案为：．
设A、B两点在准线上的射影分别
为C、过B作于则有，．
设，则，即可．
本题考查了抛物线的简单几何性
质，考查了抛物线的定义，考查
了转化思想，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：由抛物线C：，得焦点，准线方程为过P作PM垂直准线于M，
设，，则，
．
由，可得，
解得．
则的面积为，
故答案为：
设，，则，由，可得，解得即可．
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
15.【答案】解：设椭圆的方程为，
由题意可得，即，，即，
，
则椭圆的标准方程为；
设抛物线的方程为，，
焦点到准线的距离为5，可得，即，
则抛物线的标准方程为或．
【解析】设出椭圆的方程为，由题意可得a，c，求得b，可得所求方程；
设抛物线的方程为，，由焦点到准线的距离解得t，可得所求方程．
本题考查椭圆和抛物线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】解椭圆C的离心率为，，
，即
椭圆C的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为，
，，从而得，
椭圆C的方程为
显然，直线l的斜率存在，设该斜率k，
直线l的方程为，即，
直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得：
且该方程显然有二不等根，
记A，B两点的坐标依次为，，
，即，
，解得，
所求直线l的方程为．
【解析】根据椭圆的几何性质求得，；
联立直线与椭圆，由根与系数关系得到两根之和，再根据中点公式列式可求得斜率k，从而求得直线l的方程．
本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题．
17.【答案】解：由抛物线C：经过点知，解得．
则抛物线C的方程为．
抛物线C的焦点坐标为，准线方程为，
由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：，
由消去x，得．
设，，则，．
因为，所以，即，
解得舍或．
所以解得．
所以直线AB：．
所以直线AB过定点．．
当且仅当，或，时，等号成立．
所以面积的最小值为4．
【解析】Ⅰ根据题意，将P的坐标代入抛物线的方程，可得p的值，即可得抛物线的标准方程，分析即可得答案；
Ⅱ直线AB的方程为，与抛物线的方程联立，可得，设，，结合，结合根与系数的关系分析可得，进而可得面积的表达式，分析可得答案．
本题考查抛物线的与直线的位置关系，关键是求出抛物线的标准方程．
18.【答案】解：Ⅰ由题意得，解得，．
椭圆C的方程是；
Ⅱ联立，得．
设，，
则有，，
．
线段AB的中点坐标为，
线段AB的垂直平分线方程为．
取，得，
于是，线段AB的垂直平分线与x轴的交点，
又点，
．
又．
于是，．
，
．
的取值范围为．
【解析】Ⅰ由椭圆过点，结合给出的焦点坐标积隐含条件求解a，b的值，则椭圆方程可求；
Ⅱ联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A，B横纵坐标的和与积，进一步求得
AB的垂直平分线方程，求得Q的坐标，由两点间的距离公式求得，由弦长公式求得，作比后求得的取值范围．
本题主要椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考试具备较强的运算推理的能力，是难题．
19.【答案】解：Ⅰ由题意可得：，解得，
椭圆C的方程为：．
Ⅱ，，，
直线AM的方程为：，直线BM的方程为：，
联立方程组，消元可得：，
，同理可得：，
，
，
，解得．
．
【解析】Ⅰ列方程组，求出a，b即可得出椭圆的方程；
Ⅱ用m表示出直线方程，得出出E，F的横坐标，根据面积关系列方程得出m的值即可．本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．。