人教版高中数学全套试题第一篇 第1讲 集合的概念和运算

第一篇
集合与常用逻辑用语
第1讲集合的概念和运算
A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·浙江)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝
()．A．(1,4) B．(3,4)
C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)
解析因为∁R B＝{x|x>3或x<－1}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}．
答案 B
2．(2012·辽宁)已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)等于()．A．{5,8} B．{7,9}
C．{0,1,3} D．{2,4,6}
解析根据集合运算的性质求解．因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以(∁U A)∩(∁
B)＝∁U(A∪B)＝{7,9}．
U
答案 B
3．(2012·郑州三模)设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁U M ＝
()．A．{1,4} B．{1,5} C．{2,3} D．{3,4}
解析 U ＝{1,2,3,4}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，
∴∁U M ＝{1,4}．
答案 A
4．(2012·长春名校联考)若集合A ＝{x ||x |>1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝2x 2，x ∈R }，则(∁R A )∩B ＝ ( )．
A ．{x |－1≤x ≤1}
B ．{x |x ≥0}
C ．{x |0≤x ≤1}
D ．∅
解析 ∁R A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}，
∴(∁R A )∩B ＝{x |0≤x ≤1}．
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2012·湘潭模拟)设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.
解析 ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1.
答案 1
6．(2012·四川)设全集U ＝{a ，b ，c ，d }，集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则(∁U A )∪(∁U B )＝________.
解析 依题意得知，∁U A ＝{c ，d }，∁U B ＝{a }，(∁U A )∪(∁U B )＝{a ，c ，d }． 答案 {a ，c ，d }
三、解答题(共25分)
7．(12分)若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b .
解 ∵A ＝B ，∴B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}＝{－1,3}．
∴⎩
⎨⎧
－a ＝－1＋3＝2，b ＝(－1)×3＝－3，∴a ＝－2，b ＝－3. 8．(13分)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．
(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .
解 (1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B ，
∴2a －1＝9或a 2＝9，∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3，
经检验a ＝5或a ＝－3符合题意．∴a ＝5或a ＝－3.
(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ，
由(1)知a ＝5或a ＝－3.
当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}，
此时A ∩B ＝{9}，
当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，
此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意．∴a ＝－3.
B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．(2011·广东)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 是实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 是实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为
( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 解析 集合A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点构成的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的点构成的集合，可判定直线和圆相交，故A ∩B 的元素个数为2.
答案 C
2．(2012·潍坊二模)设集合
A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x 24＋3y 24＝1，
B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )． A ．[－2,2] B ．[0,2]
C ．[0，＋∞)
D ．{(－1,1)，(1,1)} 解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]． 答案 B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：
①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；
②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；
③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．
其中正确结论的序是________．
解析 ①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以不正确．
②中设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确．③
令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，3∈A 1,2∈A 2，但是，3＋2∉A 1∪A 2，则A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．
答案 ②
4．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．
解析 由6x ＋1≥1，得x －5x ＋1≤0， ∴－1<x ≤5，∴A ＝{x |－1<x ≤5}．
又∵B ＝{x |x 2－2x －m <0}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，
∴有42－2×4－m ＝0，解得m ＝8.
此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意，故实数m 的值为8.
答案 8
三、解答题(共25分)
5．(12分)设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}．
(1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；
(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .
解 由x 2－8x ＋15＝0，得x ＝3或x ＝5.∴A ＝{3,5}．
(1)当a ＝15时，由15x －1＝0，得x ＝5.
∴B ＝{5}，∴B A .
(2)∵A ＝{3,5}且B ⊆A ，
∴若B ＝∅，则方程ax －1＝0无解，有a ＝0.
若B ≠∅，则a ≠0，由方程ax －1＝0，得x ＝1a
， ∴1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15，
∴C ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，13，15. 6．(13分)(2012·衡水模拟)设全集I ＝R ，已知集合M ＝
{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．
(1)求(∁I M )∩N ；
(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若B ∪A ＝A ，求实数a 的取值范围．
解 (1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，
N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，
∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，∴(∁I M )∩N ＝{2}．
(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，
∵B ∪A ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{2}．
当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；
当B ＝{2}时，⎩⎨⎧ a －1＝2，5－a ＝2，
解得a ＝3. 综上所述，所求a 的取值范围是{a |a ≥3}.。