(完整word版)数学建模鱼群竞争

2012上海第二工业大学数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： A
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话)：
所属学校（请填写完整的全名）: 上海第二工业大学
参赛队员(打印并签名）:1. 郑燕燕
2. 王赞
3。

指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：
日期：2012 年 5 月 3 日
竞争鱼群的最优捕获
摘要
根据目前资源短缺，能源危机的挑战，本文以生态经济着眼，首先用微分方程的思想建立了基本模型。

再根据题意，结合Logistic模型，建立了微分方程数学模型，利用Matlab软件编程画出了两种鱼群的数量随时间变化的曲线以及两种鱼群的相轨线，利用图像研究了两鱼群的数量在自然增长、彼此竞争和人类捕捞的情况下，随时间变化的情况。

再结合鱼群数量的变化，考虑到经济效益和人与自然的和谐发展，通过改变人类的捕捞方式,来保证鱼群数量的可持续增长，并且在此基础之上，使经济利益达到最大化.
关键字鱼群最优捕获Logistic 数学模型微分方程Matlab
目录
一、问题重述 (3)
二、模型假设 (3)
三、符号说明 (4)
四、模型建立与分析求解 (4)
4.1 问题1模型的建立与分析 (4)
4。

2 问题2模型的建立与分析 (6)
4.3 问题3模型的建立与分析 (7)
五、结果分析 (10)
六、模型评价与改进 (11)
七、参考文献 (11)
八、附录 (11)
8.1 问题1的程序代码 (11)
8。

2 问题2的程序代码 (12)
8。

3 问题3的程序代码 (12)
一问题重述
捕鱼与人类的生活品质，社会经济的发展以及人与自然的和谐发展息息相关.某水域中生活着两种鱼类，它们的数量分别记为x（t)和y(t），内禀增长率分别为r1、r2，最大容纳数量为N1、N2。

它们的增长速率除了受自身条件的限制外，还与鱼类之间的竞争和人类的捕捞相关。

竞争减少的增长率与两种鱼类数量的乘积成正比，比例系数分别为q1、q2。

由于人类的捕捞使得鱼减少的增长率与鱼的数量成正比（比例系数为分别为k1、k2）。

作出一些简化假设，用微分方程模型描述这种捕捞方式下鱼群数量的变化过程。

根据两种鱼群的数量变化过程，结合当前形式，考虑社会经济的发展效益和协调发展,通过捕捞方式的改变，达到最终目的。

1、假设水域中两种鱼类的数据如下：x(0)=1500，y(0）=800，r1=20，r2=30，N1=2500，
N2=1000,q1=0.03,q2=0.015。

捕鱼的数据如下：k1=0。

0001，k2=0.0003.用以上数据编程计算，画出两种鱼类的数量随时间变化的图形和两种鱼类数量的相轨线，用图形分析两种鱼类的数量随时间的变化趋势。

2、假设鱼类的数据和问题1相同,捕鱼用如下的数据：k1=0。

0002，k2=0。

0006。

编程计算,
并画出两种鱼类的数量随时间变化的图形和两种鱼类数量的相轨线,用图形分析两种鱼类数
量随时间的变化趋势。

3、试分析如何改变捕鱼方式,既能提高经济效益，又使得人与自然能够和谐发展。

二模型假设
1、该水域为非开放式的，且不与其他水域发生关系（即鱼群之间不发生大规模迁徙），从而构成一个独立的生态部落;
2、鱼群总量的增加虽然是离散的，但对大规模鱼群而言,我们可以认为鱼群的总量变化是随时间连续的；
3、持续捕获使各年龄组的鱼群数量呈周期变化，周期为1年，可以只考虑鱼群数量在1年内的情况；
4、假设同种鱼群个体之间是同质的，只考虑平均水平,不考虑个体差异；
5、假设连续捕获是各年龄的鱼群数量呈周期性变化，可以只考虑鱼群数量在短期内的变化情况；
6、捕捞也是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生。

三符号说明
x t：甲种鱼类随时间变化的增长率；
()
()y t ：乙种鱼类随时间变化的增长率；
11
()()(1)x t r x t N -：甲种鱼类满足Logistic 模型的自然增长率； 22()()(1)y t r x t N -
:乙种鱼类满足Logistic 模型的自然增长率; 1()()q x t y t :由题意可得的甲种鱼类的竞争减少的增长率;
2()()q x t y t ：由题意可得的乙种鱼类的竞争减少的增长率;
1()k x t ：由题意可得的甲种鱼类因人类捕捞减少的增长率；
2()k x t :由题意可得的乙种鱼类因人类捕捞减少的增长率；
():i x t 在t 时刻i 龄鱼条数,1,2,3,4i =；
:k 4龄鱼捕捞强度系数；
:n 每年产卵量；
i a 每年初i 龄鱼的数量,1,2,3,4i =；
四 模型建立与分析求解
4。

1问题一模型的建立与分析:
1、 问题分析：
根据题意可知，在满足假设的条件下,影响两种鱼群数量的因素有同种鱼群的种类竞争（在
内禀增长率之下的数量）、两种鱼群的种间竞争和人类的捕捞，综合以上三种因素，本文以微分方程的方法建立了类似Logistic 模型的数学模型。

鱼类的增长率由自然增长率、竞争减少的增长率、由于人类捕捞减少的增长率共同组成。

2、建立模型：
11112222()()()(1)()()()()()()(1)()()()x t x t r x t q x t y t k x t N y t y t r x t q x t y t k y t N ⎧=---⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩
3、编程计算：
Matlab 编程计算可得x 和y 关于t 的图像及x 与y 的相轨线
如图所示：（其中比例系数1
20.0001,0.0003k k ==）
4、结果分析：
①由甲乙两类鱼的数量变化曲线可以看到，甲种鱼群数量的初始值为1500，乙种鱼群数量的初始值为800；
②由于甲乙两鱼群的相互竞争以及人类的捕捞，甲鱼群的数量在持续减少,乙鱼群在减少约
0.05个时间单位后增长；
③在约0。

18时间单位时，甲乙两鱼群的数量相等，达到平衡点。

④平衡点后甲鱼群数量仍旧减少,直至约0.7个时间单位后减少为零；乙鱼群在约0。

05个时间单位后增长，经过平衡点后,仍旧增长，直至增长到最大容纳数量1000后稳定；
⑤生态学中有一个竞争排斥原理：若两个种群的单个成员消耗的资源差不多相同，而环境能承受的种群甲最大容量比种群乙大，那么种群乙终将灭亡；
⑥由相轨线可以看到，随着甲种鱼群数量的增加乙种鱼群的数量一直在减少，直至甲种鱼群的数量从0增加到800时,乙种鱼群的数量由1000减少至约550，而后随着甲种鱼群数量继续增加,乙种鱼群的数量开始增加，当甲种鱼群数量为1500时，乙种鱼群数量达到800。

从而可以得到，当甲种鱼群数量在约[0,550]，甲种鱼群数量的增长会抑制乙种鱼群数量,当甲种鱼群数量大于550，甲乙两鱼群会同时增加。

4.2问题二模型的建立与分析: 1、问题分析：
此问题的模型与问题一的模型相同，只是改变了人类捕捞系数的大小。

重复问题一的解题步骤，做出新的图象。

2、编程计算:
Matlab 编程计算可得x 和
y 关于t 的图像及x 与y 的相轨线
如图所示：(其中比例系数1
20.0002,0.0006k k ==)
3、结果分析：
改变人类捕捞系数后,与问题一相比，甲乙两鱼群的数量变化以及相轨线的变化均不明显。

可以得出在此种模型下，由于人类捕捞减少的增长率对鱼群的增长率的影响非常小。

但也有可能是因为系数过小，并且改变的范围过小，仍旧会没有什么明显的变化。

4.3问题三模型的建立与分析：
1、问题分析：
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度。

一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益。

我们假设把两种鱼看做一个整体，鱼群之间的竞争为内部竞争，因竞争造成的死亡看作是
自然死亡，捕鱼的经济效益与所捕鱼的总产量相关，与鱼的种类无关。

考虑鱼群的最优捕捞方式：我们把这两种鱼分4个年龄组，称为1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼。

各年龄组每条鱼的平均质量分别为20。

50、130。

55、517。

86、1022.99（g ），各年龄组的自然死亡率为0.7(1/年）,这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1。

309×105(个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n 之比)为1。

22×105/(1。

22×105+n)。

渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨设为捕捞强度系数，只捕捞3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞系数之比为0.42:1.
2、建立模型:
①死亡率
我们给出鱼的自然死亡率为0。

7（1/年），理解为平均死亡率,这是单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数,由假设可知，它是一个与环境等其他因素无关的常数。

鱼群的数量是连续变化的,且1龄鱼、2龄鱼在全年及3龄鱼、4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关,各龄鱼的数量满足
()
0.7()i i dx t x t dt
=-，t ∈[0，1］（i=1,2） ()
0.7()i i dx t x t dt
=-，t ∈［2/3,1]（i=3,4）
②捕捞强度系数
单位时间4龄鱼捕捞量与4龄鱼群总数成正比，比例系数即为捕捞强度k,它是一定的,且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3龄鱼，4龄鱼。

所以,一方面捕捞强度系数决定了3龄鱼、4龄鱼在捕捞期内的数量,其变化规律为
33()
(0.70.42)()dx t k x t dt
=-+，t ∈[0，2/3］ 44()
(0.7)()dx t k x t dt
=-+，t ∈[0,2/3］ 另一方面也决定了t 时刻捕捞3龄鱼、4龄鱼,其数量分别为30.42()kx t 和 4()kx t 。

③成活率
由于只有3龄鱼、4龄鱼在每年8月底一次产卵，因此可将每年的产卵量n 表示为
53422
1.30910[0.5()()]33
n x x =⨯⨯+
问题分析中已经说明成活率为5
5
1.22101.2210n
⨯⨯+,所以每年年初的1龄鱼的数量为 5
15
1.2210(0) 1.2210x n n
⨯=⨯⨯+
模型如下：
2233340
max(())517.860.42()1022.99()total k kx t dt kx t dt =+⎰⎰
s.t
11()
0.7()dx t x t dt
=- ，t ∈[0,1］ 22()
0.7()dx t x t dt
=-，t ∈［0，1］ 33()
(0.70.42)()dx t k x t dt
=-+，t ∈[0,2/3] 33()
0.7()dx t x t dt
=-，t ∈[2/3,1］ 44()
(0.7)()dx t k x t dt
=-+,t ∈［0,2/3］ 44()
0.7()dx t x t dt
=-，t ∈［2/3，1]
3、编程计算：
用Matlab 编程可得如下数据和图像：
看到k = 17。

99995188885500， total = 1。

398478407687244e+007;
4、结果分析：
由数据可以得到:
当4龄鱼捕捞强度系数为k=17.99995188885500时，3龄鱼的捕捞强度系数为0。

42k 时,最高年收获量为totalT=1.398478407687244e+007(g)。

由捕捞强度—-总收获量曲线图可以得到：
随着捕捞强度系数小于k时，随着捕捞强度系数的增加，收获量也会随之增加;当捕捞强度系数达到上述k值时，收获量达到最大；捕捞强度系数大于k值时,收获量呈下降趋势，即为收获量会减少。

可以看到，并不是捕捞强度系数越大，收获量就会越高。

五结果分析
通过对上述三个问题的分析、建模、结果分析，得到了同一水域下，两种鱼群在有相互竞争和人类捕捞的情况下的增长率的变化方程，利用matlab编程计算得到两种鱼群数量的变化情况。

并且画出两种鱼群的相轨线，分析其内部的关系.通过改变人类捕捞系数，研究人类捕捞系数对鱼群数量变化的影响。

得到：
由于甲乙两鱼群的相互竞争以及人类的捕捞，甲鱼群的数量在持续减少，乙鱼群在减少约0。

05个时间单位后增长；在约0.18时间单位时，甲乙两鱼群的数量相等，达到平衡点；平衡点后甲鱼群数量仍旧减少，直至约0。

7个时间单位后减少为零；乙鱼群在约0。

05个时间单位后增长,经过平衡点后，仍旧增长，直至增长到最大容纳数量1000后稳定.
生态学中有一个竞争排斥原理：若两个种群的单个成员消耗的资源差不多相同，而环境能承受的种群甲最大容量比种群乙大，那么种群乙终将灭亡。

由相轨线可以看到,随着甲种鱼群数量的增加乙种鱼群的数量一直在减少,直至甲种鱼群的数量从0增加到800时，乙种鱼群的数量由1000减少至约550，而后随着甲种鱼群数量继续增加，乙种鱼群的数量开始增加，当甲种鱼群数量为1500时,乙种鱼群数量达到800。

从而可以得到，当甲种鱼群数量在约[0,550］，甲种鱼群数量的增长会抑制乙种鱼群数量,当甲种鱼群数量大于550,甲乙两鱼群会同时增加。

改变人类捕捞系数后，甲乙两鱼群的数量变化以及相轨线的变化均不明显。

可以得出在此种模型下，由于人类捕捞减少的增长率对鱼群的增长率的影响非常小。

我们把原因归结为是捕捞系数太小,并且变化的范围也非常小，所以没有导致很明显的数量变化。

当4龄鱼捕捞强度系数为k=17.99995188885500时，3龄鱼的捕捞强度系数为0.42k时，最高年收获量为totalT=1。

398478407687244e+007（g)。

随着捕捞强度系数小于k时，随着捕捞强度系数的增加，收获量也会随之增加；当捕捞强度系数达到上述k值时，收获量达到最大；捕捞强度系数大于k值时，收获量呈下降趋势，即为收获量会减少。

可以看到，并不是捕捞强度系数越大，收获量就会越高。

自然界有自己的恢复能力，但是也不允许人类贪心的捕捞，过分捕捞，不仅不会致使利益最大，还会造成生态失衡.
六模型评价
本文研究了两个种群所构成的竞争系统的捕获优化问题，讨论了两个种群的数量的变化情况。

通过建立数学模型并用计算机编程画图，很好的解释了两种群数量的变化趋势,比较符合现实情况。

但是由模型计算可知，通过微小的改变捕鱼的捕捞系数，对种群数量的变化趋势几乎没有影响；但是也存在可能是模型建立的有些问题，所以才使人类捕捞系数的微小变化对种群数量的变化没有影响。

这是有待改进的地方.
从问题三可知为了提高经济效益，适当的改变捕捞方式，大胆地猜想并建立模型，通过合理
的假设，和现实的数据进行运算建立模型，并运用Matlab数学软件得出最优捕获系数和最大产量值，得出的数据符合现实现象，合理的指出了最佳捕鱼方式。

七参考文献
［1］张琨毕靖丛滨,《MATLAB 7.6从入门到精髓》，电子工业出版社, TP391.75/58:第四章。

数据可视化及数据保存
［2］严喜祖宋中民毕春加，《数学建模及其实验》，科学出版社，O141.4/45:第六章。

微分方程模型
[3] 姜启源谢金星叶俊，《数学模型》，高等教育出版社,第六章。

稳定性模型
［4] 李志林，欧宜贵，《数学建模及其典型案例分析》，北京：化学工业出版社，2006。

12［5］卢金荣,《提高鲤鱼苗成活率的经验》，中国水产,1982.04。

八附录
附录1：
问题一编程代码：
M文件中输入:
function dz=myfun1(t,z)
global r1 r2 n1 n2 q1 q2 k1 k2
x=z(1)；y=z(2);
dz(1) = r1＊x＊(1—x/n1)—q1*x。

＊y—k1＊x；
dz(2) = r2＊y*(1-y/n2)—q2＊x。

＊y-k2*y；
dz = ［dz（1）;dz(2)];
控制窗口输入：
global r1 r2 n1 n2 q1 q2 k1 k2
r1=20；r2=30；n1=2500;n2=1000;q1=0.03；q2=0.015;k1=0。

0001;k2=0.0003；t1=0；t2=1；x0=1500；y0=800;
[t,z]=ode45（＠myfun1，［t1,t2］,[x0，y0]）；
subplot(2,1,1);
plot（t,z(：，1）,t,z（：,2））；
title（'x,y关于t的函数图象'）；
subplot(2，1,2）；
plot（z(:,1）,z（:，2））；
title（’x，y的相图’）;
附录2：
M文件中输入：
function dz=myfun1（t，z）
global r1 r2 n1 n2 q1 q2 k1 k2
x=z（1）；y=z(2）;
dz(1）= r1＊x*(1—x/n1）—q1*x.*y-k1*x;
dz（2）= r2＊y＊(1—y/n2)—q2*x。

*y-k2＊y;
dz = ［dz（1）；dz(2)]
M文件中输入：
global r1 r2 n1 n2 q1 q2 k1 k2
r1=20;r2=30;n1=2500;n2=1000;q1=0。

03；q2=0。

015；k1=0。

0002；k2=0.0006；t1=0;t2=1；x0=1500;y0=800；
［t，z]=ode45（@myfun1,［t1，t2]，[x0，y0]）;
subplot（2,1，1）;
plot(t,z（:,1)，t,z（：，2）)；
title（'x，y关于t的函数图象')；
subplot（2，1，2）;
plot(z(:,1），z（：,2)）；
title('x，y的相图’);
附录3
计算机程序模拟实验程序：先建立两个M-file。

％[buyu。

m]最优捕鱼策略问题
function y=buyu(x)
global a1 a2 a3 a4 total k;
syms k a1;
x1=dsolve（’Dx1=-0.7＊x1'，’x1（0）=a1');
t=1；a2=subs（x1)；
x2=dsolve('Dx2=—0。

7*x2','x2(0）=a2’);
t=1；a3=subs(x2);
x31=dsolve（’Dx31=-（0.7+0。

42＊k）*x31’,’x31（0)=a3')；t=2/3；a31=subs（x31）；
x32=dsolve（’Dx32=—0。

7＊x32’，’x32（2/3)=a31’）；
t=1;a4=subs(x32)；
x41=dsolve（'Dx41=—（0。

7+k)*x41’,'x41(0）=a4’); t=2/3;a41=subs(x41）;
x42=dsolve（'Dx42=—0。

7＊x42’,'x42（2/3）=a41')；nn=1。

309＊10^5*(0。

5*a31+a41)；
eq1=a1—nn＊1.22*10^11/（1。

22＊10^11+nn)；
S=solve(eq1,a1）;a1=S（2);
syms t;
t3=subs（subs(int（0.42＊k＊x31,t，0,2/3）））；
t4=subs(subs（int（k＊a41,t，0,2/3))）；
total=517.86*t3+1022。

99*t4;
k=x;
y=subs(—total）；
%[buyu1.m］最优捕鱼策略问题
global a1 a2 a3 a4 total；
[k,mtotal]=fminbnd(’buyu',16，18);
ezplot(total,0,25)
xlabel（’捕捞强度系数'）
ylabel（’总收获量（g)')
title(’捕捞强度-—总收获量曲线图'）format long;
k
total=—mtotal
format short
clear
控制窗口输入：
Buyu1。