【学校】重庆市2017届高三12月月考数学文试题Word版含答案

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重庆市第十一中学校高2017级12月月考数学(文)试题
命题人：刘爱莲审题人：刘翠碧
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={3，log2（a2+）}，B={a，b}，若A∩B={2}，则实数a的值等于（）A．1或-4 B．C．4 D．-1或4
2.曲线在点处切线的倾斜角是（）
A．1 B. C. D.
3. 数列{an}的首项a1=2，且（n+1）an=nan+1，则a3的值为（）
A．5 B．C．7 D．8
4．若，b=，，则( )
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b
5．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0笔直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0
6．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中Array位数相同，平均数也相同，则图中的m、n的比值=
（）
A．1 B．C．D．
7 . 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，且，（）A．若，则
B．若，则
C．若，则D．若，则
8．函数的图象向左平移（＞0）个单位后关于原点对称，则的最小值为（）A．B．C．D．
9．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4﹣72+8=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b2b8b11等于（）
A．1 B．C．4 D．8
10.在正方体ABCD—A1B1D1的侧面AA1BB1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距
离相等，则动点P所在曲线的形状为( )
11．执行如图所示的程序框图，则输出的“S+n”的值为（）
A．﹣19 B．﹣C．﹣21 D．﹣18
12．点为双曲线的右焦点，点为双曲线左支上一点，线段与圆相切于点，且，则双曲线的离心率等于（）
A．B．C．D．2
二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卷的相应位置。

13．复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=
14．函数f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，则f（﹣a）= _____
15．设变量x，y满足约束条件，则的最小值为___
16．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，B的角平分线交过点A且与BC平行的直线于D，AC与BD交于点O．
（Ⅰ）求△OAB与△OBC的面积之比；（Ⅱ）求sin∠BAD的值．18．学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机表法从中抽取100名学生进行统计分析，抽出的100名学生的数学、语文成绩如表：
（Ⅰ）将学生编号为000，001，002，…499，500，若从第五行第五列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4～第7行）；
12 56 85 99 26 96 96 68 27 3105 03 72 93 15 57 12 10 14 21 88 26 49 81 76
55 59 56 35 6438 54 82 46 2231 62 43 09 9006 18 44 32 5323 83 01 30 30
16 22 77 94 3949 54 43 54 8217 37 93 23 7887 35 20 96 4384 26 34 91 64
84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 06 76
（Ⅱ）若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；
(Ⅲ)在语文成绩为良的学生中，已知m≥13，n≥11，求数学成绩“优”比良的人数少的概率．19．如图已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，D，E分别为AB，PC的中点，BF=2FC．
（I）求证：PD∥平面AEF；
（Ⅱ）求几何体P﹣AEF的体积
20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，⊙M过坐标原点和F点，且圆心M到抛物线C的准线距离为
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知抛物线C上的点N（s，4），过N作抛物线C的两条互相笔直的弦NA和NB，判断直线AB是否过定点？并说明理由．
21．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）当时，求的单调区间
（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求a的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin （θ+），点M的极坐标为（4，），且点M在曲线C上．
（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；
（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．
选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（I）当a=﹣3时，求不等式的解集；
（II）若的解集包含1，2]，求a的取值范围．
重庆十一中高2017级高三12月月考数学(文)答案
命题人：刘爱莲审题人：刘翠碧
一、选择题：
1、A
2、D
3、B
4、C
5、A
6、D
7、D
8、B
9、D 10、C 11、A12、C
二、填空题：
13．若复数（其中i为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a=1．14．函数f（x）=x3+sinx+2016（x∈R），若f（a）=2015，则f（﹣a）=_2017______．
15．设变量x，y满足约束条件，则z=（）2x﹣y的最小值为______．
16．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．
解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，
根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V
圆柱﹣V
圆锥
）=2（π×22×5﹣）=．
故答案为：．
三、解答题
17．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，B的角平分线交过点A且与BC平行的直线于D，AC与BD交于点O．
（1）求△OAB与△OBC的面积之比；
（2）求sin∠BAD的值．
【考点】余弦定理的应用．
【分析】（1）运用三角形的内角平分线定理和三角形的面积公式，计算即可得到所求值；（2）由等腰三角形的定义和平行线的性质，结合诱导公式可得sin∠BAD=sinC，运用余弦定理和同角的平方关系，计算即可得到所求值．
【解答】解：（1）BD为∠ABC的平分线，
由角平分线定理知：， 2
即有； 5
（2）由AD∥BC且AB=AC，
可得∠ABC=∠ACB=∠CAD，
即有sin∠BAD=sin（∠BAC+∠CAD）=sin（∠BAC+∠ABC）=sinC，
在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，7
可得，9
即有sinC==，
故sin∠BAD 的值为．12
18．某校高三文科500名学生参加了1月份的模拟考试，学校为了了解高三文科学生的数学、语文情况，利用随机表法从中抽取100名学生进行统计分析，抽出的100名学生的数学、语文成绩如表：
语文
优良及格
数学优8 m 9 良9 n 11 及格8 9 11
（1）将学生编号为000，001，002，…499，500，若从第五行第五列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的5个人的编号（下面是摘自随机数表的第4～第7行）；
12 56 85 99 2696 96 68 27 3105 03 72 93 1557 12 10 14 2188 26 49 81 76
55 59 56 35 6438 54 82 46 2231 62 43 09 9006 18 44 32 5323 83 01 30 30
16 22 77 94 3949 54 43 54 8217 37 93 23 7887 35 20 96 4384 26 34 91 64
84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 3350 2583 92 12 06 76
（2）若数学成绩优秀率为35%，求m，n的值；
（3）在语文成绩为良的学生中，已知m≥13，n≥11，求数学成绩“优”比良的人数少的概率．
【解答】解：（1）由随机数表法得到5个人的编号依次为：385，482，462，231，309． (3)
（2）由=0.35，得m=18， 5
因为8+9+8+18+n+9+9+11+11=100，得n=17．7…
（3）由题意m+n=35，且m≥13，n≥11，
所以满足条件的（m，n）有：
（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）、（18，17）、
（19，16）、（20，15）、（21，14）、（22，13）、（23，12）、（24，11）共12种，10
且每组出现都是等可能的．…
记：“数学成绩“优”比“良”的人数少”为事件M，
则事件M包含的基本事件有（13，22）、（14，21）、（15，20）、（16，19）、（17，18）共5种，所以P（M）=． (12)
19．如图已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，D，E分别为AB，PC的中点，BF=2FC．
（I）求证：PD∥平面AEF；
（Ⅱ）求几何体P﹣AEF的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，
在线段BC上，取BG=GF，连接PG，DG，
在△ABF中，∵BG=GF，AD=DB，∴GD∥AF， 3
在△PCG中，∵CF=GF，PE=EC，∴EF∥PG，
又PG∩GG，∴平面PGD∥平面AEF，
则PD∥平面AEF； 6
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABC，AB=AC=PA=2，∠BAC=90°，
∴=，9
又E为PC的中点，∴．12
20．已知F是抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，⊙M过坐标原点和F点，且圆心M到抛物线C的准线距离为
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知抛物线C上的点N（s，4），过N作抛物线C的两条互相垂直的弦NA和NB，
判断直线AB是否过定点？并说明理由．
【解答】解：（I）抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．
∵⊙M过坐标原点和F点，∴M在直线x=上．
∴M到抛物线的准线的距离d=，解得p=2．
∴抛物线方程为y2=4x． 5
（II）把y=4代入抛物线方程得x=4．即N（4，4）．
设A（，y1），B（，y2）．
k NA==，k NB==，k AB==．7 ∵直线NA和直线NB互相垂直，∴，即y1y2=﹣4（y1+y2）﹣32．
∴直线AB的方程为y﹣y1=（x﹣），即y=+=﹣4，9 即AB方程为y+4=（x﹣8）．
∴直线AB过定点（8，﹣4）．12
20．已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）为单调递减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求a 的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）略4（Ⅱ）问题转化为h（x）=xf（x）在（0，+∞）递减，求出h（x）的导数，得到a≤﹣，（x＞0），令m（x）=﹣，（x＞0），根据函数的单调性求出a 的范围即可．
【解答】（Ⅱ）当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，
即x1f（x1）﹣x2f（x2）]（x1﹣x2）＜0在（0，+∞）恒成立，8
即h（x）=xf（x）在（0，+∞）递减，
而h（x）=ax2+2xlnx﹣a，h′（x）=2（ax+1+lnx），
由h′（x）≤0得：ax+1+lnx≤0，
即a≤﹣，（x＞0），10
令m（x）=﹣，（x＞0），m′（x）=，
令m′（x）＞0，解得：x＞1，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴m（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴m（x）min=m（1）=﹣1，
∴a≤﹣1．12
选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数，m是常数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为ρ=asin（θ+），点M的极坐标为（4，），且点M在曲线C上．
（I）求a的值及曲线C直角坐标方程；
（II ）若点M关于直线l的对称点N在曲线C上，求|MN|的长．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）将M的极坐标代入曲线C的极坐标方程，可得a，由两角和的正弦公式，结合极坐标和直角坐标的关系：x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C直角坐标方程；
（II ）求得曲线C表示的圆的圆心和半径，由点M关于直线l的对称点N在曲线C上，可得直线l经过圆心，求得m，进而得到直线l的普通方程，运用点到直线的距离公式，可得M到直线l的距离，进而得到所求MN的长．
【解答】解：（I）将点M的极坐标（4，）代入曲线C极坐标方程ρ=asin（θ+），
可得4=asin（+），解得a=4， 2
由ρ=4sin（θ+）即ρ=4（sinθ+cosθ），
即有ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，即为x2+y2﹣2x﹣2y=0，
即曲线C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4； 5
（II ）曲线C：（x﹣）2+（y﹣1）2=4为圆心C（，1），半径为2，
则点M关于直线l的对称点N在曲线C上，直线l过圆C的圆心，
由，可得m=2，t=﹣，
这时直线l：，消去t，可得x+y﹣2=0，8
点M的极坐标为（4，），可得M（2，2），
即有M到直线l的距离为d==，
可得|MN|的长为2．10
选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含1，2]，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．
【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，
再取并集即得所求．
（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，
或③．
解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．
把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}． 5
（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在1，2]上恒成立，
等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在1，2]上恒成立．
故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，
故a的取值范围为﹣3，0]．10
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