2010高数下期中复习
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
z
o
y
x
1
1 x2
4x2 y2
(1) dx
dy
f (x, y, z) dz
1
1x2
3( x2 y2 )
(2)
2
0
d
01
d
4 2 3
f ( cos, sin , z)dz
(3)
2
0
d
06
d
2
0
f
(r
sin
cos
,
r
sin
sin
,
r
cos
)
r2 sin dr
1
x2 y2 z2 5
哪一个平面与三个坐标面所围成的
立体的体积最小。
（a＝6，b＝3，c＝1）
8.
1
1
dy
1
y 3 cos x5dx
0
3y
1
dx
x3
1
y3
cos
x5dy
0
0
3 sin1. 20
9.计算二重积分 y2 xydxdy ，
D
其中 D 是由直线 y x, y 1, x 0 所围成的平面区域.
21. Ñ L
9x2 4y2
,
L : x2 y2 1,顺时针。 49
(0).
Байду номын сангаас
Ñ 22.设L : 4x2 y2 1, 取正向，求
ydx xdy L 4x2 y2
Ñ 23.设L : x2 y2 1, 取正向，求
ydx xdy L 4x2 y2
24．求 I C
x x2
y y2
10. (x y)dxdy, D : x2 y2 2ax 0 D
xdxdy
D
2
d 2a cos 0
cos
d
2
y
(x a)2 y2 a2
oD
x
11. 设 D : x2 y2 y，f CD ,
f (x, y) 1 x2 y2 8 f (x, y)dxdy，
D
求f (x, y)..
C
B(a, 0)
x
故 I 0 。
25．设曲线积分 xy2dx y( x)dy 与路径无关，其中 ( x) 具 C
有连续导数，且 (0)0 ，计算
(1,1)
x
y2d
x
y(
x)dy
的值。
(0,0)
dx
x x2
y y
2
dy
，其中
C
从点
A(a,
0) 经
上半椭圆
x2 a2
y2 b2
1(
y0)
到达点
B(a,
0) 的弧段，且 0ba 。
解：当( x, y)(0,0)时 ，
P
x x2
y y2
，Q
x x2
y y2
，
P y2 x2 2xy Q
且 y
( x2 y2 )2
，. x
y
C1
A(a, 0) oo
Ñ 15.
L
x2
y2
z2
ds,
L
:
z 1
Ñ 16. (2xy 3x2 4 y2 )ds, L : x2 y2 1,
L
43
L的周长为a。
17. 1 4z dA,
: z x2 y2与 z 1围成区域的整个边界
解:
1 4z dA
1
1 4(x2 y2 ) x2 y2 1
1 4(x2 y2 )dxdy
0 5 2 dx dy 125 2 x2 y 2 25
Ñ 19.求 （x2 y）dx (x2 y2 )dy c (x y z)dz.
其中是
x2 z
y2 1
x
z
2
2 11的交线，其方向 y2
与z轴正向成右手系
－ .
20.
(x3 y e y )dx (xy3 xe y 2 y)dy
12. emax(x2 ,y2 )dxdy, D : 0 x 1, 0 y 1
D
ex2 dxdy e y2 dxdy
D1
D2
1
dx
x ex2 dy
1
dy
y e y2 dx e 1
0
0
0
0
13.
14. 把三重积分 f (x, y, z)dxdydz 分别化成直角 坐标,柱面坐标,球面坐标下的 累次积分,其中 : x2 y2 z2 4, z 3(x2 y2 )
[1 4(x2 y2)]dxdy 3 x2 y2 1
1 4z dA 1 4 dA 51 dA
2
2
2
18. (x y z) dA,
: y z 5, x2 y2 25
解:
dA 2 dx dy,
(x y z) dA (x 5) 2 dx dy
x2 y 2 25
. 重要关系:
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
. 多元复合函数求导问题
1.设z＝（f x－y，xy2），f 具有二阶
连续偏导数。求z ，z，dz，2 z
x y
xy
2.
3.方向导数的求法
4．
5.求z＝ 4－x3－y2 在圆域x2＋y2 1上的最值。
6.
7、经过（2，1、1）的所有平面中， 3
o
y
x
1
1 x2
4x2 y2
(1) dx
dy
f (x, y, z) dz
1
1x2
3( x2 y2 )
(2)
2
0
d
01
d
4 2 3
f ( cos, sin , z)dz
(3)
2
0
d
06
d
2
0
f
(r
sin
cos
,
r
sin
sin
,
r
cos
)
r2 sin dr
1
x2 y2 z2 5
哪一个平面与三个坐标面所围成的
立体的体积最小。
（a＝6，b＝3，c＝1）
8.
1
1
dy
1
y 3 cos x5dx
0
3y
1
dx
x3
1
y3
cos
x5dy
0
0
3 sin1. 20
9.计算二重积分 y2 xydxdy ，
D
其中 D 是由直线 y x, y 1, x 0 所围成的平面区域.
21. Ñ L
9x2 4y2
,
L : x2 y2 1,顺时针。 49
(0).
Байду номын сангаас
Ñ 22.设L : 4x2 y2 1, 取正向，求
ydx xdy L 4x2 y2
Ñ 23.设L : x2 y2 1, 取正向，求
ydx xdy L 4x2 y2
24．求 I C
x x2
y y2
10. (x y)dxdy, D : x2 y2 2ax 0 D
xdxdy
D
2
d 2a cos 0
cos
d
2
y
(x a)2 y2 a2
oD
x
11. 设 D : x2 y2 y，f CD ,
f (x, y) 1 x2 y2 8 f (x, y)dxdy，
D
求f (x, y)..
C
B(a, 0)
x
故 I 0 。
25．设曲线积分 xy2dx y( x)dy 与路径无关，其中 ( x) 具 C
有连续导数，且 (0)0 ，计算
(1,1)
x
y2d
x
y(
x)dy
的值。
(0,0)
dx
x x2
y y
2
dy
，其中
C
从点
A(a,
0) 经
上半椭圆
x2 a2
y2 b2
1(
y0)
到达点
B(a,
0) 的弧段，且 0ba 。
解：当( x, y)(0,0)时 ，
P
x x2
y y2
，Q
x x2
y y2
，
P y2 x2 2xy Q
且 y
( x2 y2 )2
，. x
y
C1
A(a, 0) oo
Ñ 15.
L
x2
y2
z2
ds,
L
:
z 1
Ñ 16. (2xy 3x2 4 y2 )ds, L : x2 y2 1,
L
43
L的周长为a。
17. 1 4z dA,
: z x2 y2与 z 1围成区域的整个边界
解:
1 4z dA
1
1 4(x2 y2 ) x2 y2 1
1 4(x2 y2 )dxdy
0 5 2 dx dy 125 2 x2 y 2 25
Ñ 19.求 （x2 y）dx (x2 y2 )dy c (x y z)dz.
其中是
x2 z
y2 1
x
z
2
2 11的交线，其方向 y2
与z轴正向成右手系
－ .
20.
(x3 y e y )dx (xy3 xe y 2 y)dy
12. emax(x2 ,y2 )dxdy, D : 0 x 1, 0 y 1
D
ex2 dxdy e y2 dxdy
D1
D2
1
dx
x ex2 dy
1
dy
y e y2 dx e 1
0
0
0
0
13.
14. 把三重积分 f (x, y, z)dxdydz 分别化成直角 坐标,柱面坐标,球面坐标下的 累次积分,其中 : x2 y2 z2 4, z 3(x2 y2 )
[1 4(x2 y2)]dxdy 3 x2 y2 1
1 4z dA 1 4 dA 51 dA
2
2
2
18. (x y z) dA,
: y z 5, x2 y2 25
解:
dA 2 dx dy,
(x y z) dA (x 5) 2 dx dy
x2 y 2 25
. 重要关系:
函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
. 多元复合函数求导问题
1.设z＝（f x－y，xy2），f 具有二阶
连续偏导数。求z ，z，dz，2 z
x y
xy
2.
3.方向导数的求法
4．
5.求z＝ 4－x3－y2 在圆域x2＋y2 1上的最值。
6.
7、经过（2，1、1）的所有平面中， 3