广东省汕头市潮南实验学校高中数学选修1-1课件：2.3.1抛物线及其标准方程 共31张 精品

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－
1 24
例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）
求它的标准方程。
解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所
求的标准方程为x2= -2py
由题意得
P 2
2
，即p=4
∴所求的标准方程为x2= -8y
变式
1
已知抛物线的准线方程是x =－4 ,求它 的标准方程。
解题感悟:
求抛物线标准方程的步骤： （1）确定抛物线的形式. （2）求p值 （3）写抛物线方程
寻找：区别与联系
二、四种形式标准方程的区别
y2 2 px y2 2 px x2 2 py x2 2 py
p 0 p 0 p 0 p 0
1、一次项(X或Y)定焦点和对称轴 2、一次项系数符号定开口方向.
抛物线的标准方程
怎样把抛物线的位置特 征（标准位置）和方程特 征（标准方程）统一起来？
p
即右焦点F（ 2 ，0），左准线L：x =-
p 2
﹒y
ox
但是，一条抛物线，由于它在坐标平面 内的位置不同，方程也不同，所以抛物 线的标准方程还有其它形式。
抛物线的标准方程
抛物线的标 准方程还有 哪些形式?
其它形式的
想
抛物线的焦
一
点与准线呢？
想
？
﹒图象 开口方向 标准方程 y o x 向右
焦点
抛物线及其标准方程
请同学们思考两个问题
想 一
1、我们对抛物线已有了哪些认识？
想 ？
2、二次函数的图像抛物线的
开口方向是什么？
生活中存在着各种形式的抛物线
赵州桥
喷泉
抛物线的生活实例 投篮运动
抛物线的生活实例 飞机投弹
复习提问：
若动点M满足到一个定点F的距离和它到一条定直线l 的距离的比是常数e.（直线 l 不经过点F）
p 2
)(p＞0）
o
x F
比较之下，显然方程 y2 = 2px（p＞0）更为简单
抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
焦点到准线的距离
抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）表示的抛物线，其焦点
位于X轴的正半轴上，其准线交于X轴的负半轴
解: ∵2P=6,∴P=3
3 是一次项系数的
所以抛物线的焦点坐标是（ 2，0）
1 4
准线方程是x= 3
是一次项系数的 1
2
的相反数
4
练习
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y 2 = -20 x 焦点F ( -5 , 0 ) 准线：x =5
（2） y = 6 x 2
焦点F ( 0
,
பைடு நூலகம்
1 24
)
准线：y
· N M
设动点M的坐标为（x，y） 由抛物线的定义可知，
·x
Ko F
(x p)2 y2 x p
2
2
化简得 y2 = 2px（p＞0）
抛物线标准方程的推导
如图，若以准线所在直线为y轴， y
则焦点F(P,0),准线L:x=0
L
由抛物线的定义，可导出
· N M
· 抛物线方程为
y2 = 2p(x-
（1）当0＜e ＜1时，点M的轨迹是什么? 是椭圆
（2）当e＞1时，点M的轨迹是什么? 是双曲线
l M
·F
l
M
l
M
· F
H
.
0＜e ＜1
e＞1
e=1？实验F 一
一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不 经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
其中 定点F叫做抛物线的焦点
定直线 l 叫做抛物线的准线
准线
﹒y o x 向左 ﹒y 向上
ox
﹒y o
向下
x
四种抛物线标准方程对比
寻找：区别与联系
一、四种形式标准方程的共同特征
y2 2 px y2 2 px x2 2 py x2 2 py
p 0 p 0 p 0 p 0
1、二次项系数都化成了___1____ 2、四种形式的方程一次项的系数都含2p 3、四种抛物线都过__O__点 ，且焦点与准 线分别位于此点的两侧
l
M
H· ·F
定义告诉我们：
1、判断抛物线的一种方法
2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|
抛物线标准方程的推导 l
求曲线方程 的基本步骤 是怎样的？
N M· ·F
想 一 想 ？
回顾求曲线方程的一般步骤是：
1、建立直角坐标系，设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程 4、化简 5、（证明）
抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？
解：抛物线的方程化为：y2=
1 a
x
即2p=
1 a
①当a>0时,
p 2
=
1 4a
,抛物线的开口向右
∴焦点坐标是（
1 4a
，0），准线方程是：
x=
1 4a
②当a<0时,
p 2
=
1 ,抛物线的开口向左
4a
∴焦点坐标是（
1 4a
，0），准线方程是：
x=
1 4a
课堂小结
想 一 想 ？
抛物线的标准方程
左右
标准方程为
抛
型
y2 =+2px
(p>0)
物
线
方
程
上下 型
标准方程为
x2 =+2py
(p>0)
开口向右:
y2 =2px
开口向左:
y2 = -2px
开口向上:
x2 =2py
开口向下:
x2 = -2py
例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
1。抛物线的定义 2。抛物线的标准方程与其焦点、准线
3。抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法
4。注重数形结合的思想
5。注重分类讨论的思想
注意:焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论
结束
例3：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线， 经反射聚集到焦点处。已知接收天线的径口（直径） 为4.8m，深度为0.5m。建立适当的坐标系，求抛物线 的标准方程和焦点坐标。
y
A
o .F x
B
课堂练习
练习1：求过点A（-3，2）的抛物线的
． 标准方程。
y
解：1）设抛物线的标准方程为
x2 =2py，把A（-3，2）代入， A
得p= 9
4
2）设抛物线的标准方程为
O
x
y2 = -2px，把A（-3，2）代入，
得p= 2
3
∴抛物线的标准方程为x2 = 9
y或y2
=
4
x
。
2
3
课堂练习
练习2:已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论
抛物线标准方程的推导
l
· N M
试 一
·试
K
F？
设焦点到准线的距离为常数P(P>0) 如何建立坐标系,求出抛物线的标 准方程呢？
抛物线标准方程的推导
解：如图，取过焦点F且垂直于准线L的直 y
线为x轴，线段KF的中垂线为y轴 l
设︱KpF︱= p ( p> 0) 则F（ 2 ，0），L：x =-
p 2