人教B版高中数学必修第二册课后习题 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 .1 实数指数幂及其运算

第四章4.1 指数与指数函数
4.1.1 实数指数幂及其运算
A 级必备知识基础练
1.[探究点三]式子√m ·√m 4
3
√m 5
6
(m>0)的计算结果为( ) A.1
B.m 120
C.m 512
D.m
2.[探究点一]若√4a 2-4a +1=√(1-2a )3
3,则实数a 的取值范围是( )
A.[1
2,+∞)
B.(-∞,1
2]
C.[-12
,1
2
]
D.R
3.[探究点二](多选题)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A.-√x =(-x )12
B.√y 26
=y 13(y<0) C.x
-13=
√x
3
(x>0)
D.[√(-x )2
3
]34
=x 1
2(x>0)
4.[探究点二](多选题)下列各式既符合分数指数幂的定义,值又相等的是( ) A.(-1)13
和(-1)26
B.343
和
13
-43
C.212
和414
D.4-32
和
116
-
34
5.[探究点三]设α,β是方程5x 2+10x+1=0的两个根,则2α·2β= ,(2α)β= .
6.[探究点三·上海高一专题练习]已知a,b 为正数,化简
√a 5b 2
·
a 2b
-1
·√b 3= .
7.[探究点三](1)化简:
3x
-34y 12
(-14x 14y -13)(65
x -1y -16)(x,y>0);
(2)计算:1100
-12
−√(1-√2)2
-8×(√5−√3)0
+81
6
.
B 级关键能力提升练
8.化简√-a 3
·√a 6
的结果为( ) A.-√a
B.-√-a
C.√-a
D.√a
9.如果x=1+2b ,y=1+2-b ,那么用x 表示y,则y= ( )
A.
x+1x -1
B.
x+1x
C.
x -1
x+1
D.
x
x -1
10.(1)计算:(-338
)-2
3+(0.002)-1
2-10×(√5-2)-1+(√2−√3)0;
(2)设a>0,化简:√a4√a-3
3
√√a4
3a4
.
C级学科素养创新练
11.《代数学》中多处使用汉语化的表现形式表达数学运算法则,如用
“天四
天三=天三天
天三
=天
一
”来表示“x
4
x3
=x3x
x3
=x”,用“(甲⊥乙)三=甲三⊥三甲二乙⊥
三甲乙二⊥乙三”来表示“(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3”.那么下列表述正确的序号是( )
①“天 八天 二
=
天 二天 六天 二
=
天 六一
”表示“
x 8x 2
=
x 2x 6x 2
=x 6”;
②“
天 二十天
一七
=天 一七天 三天 一七
=
天 三
一
”表示“
x 20x 17
=
x 17x 3
x 17
=x 3”;
③“(甲⊥乙)二=甲二⊥二甲乙⊥乙二”表示“(x+y)2=x 2+2xy+y 2”. A.①②③
B.②③
C.①③
D.①②
12.若x 12
+x -12
=3(x>0),则x 2
-x -2
= ,x 32
−x -
32
= . 13.(1)计算:(-0.12)0
+(32
)
-2
×(33
8
)23
-(√3√3)43
+√(1-√2)2
;
(2)化简:(a 23·b -1)-1
2·a -1
2·b 1
3
√a ·b 5
6
(a>0,b>0).
14.[浙江温州高一校联考]对下列式子化简求值. (1)求值:1
2
×(√2×√33
)6
-4×
827
-
23
+2 0220;
(2)已知a x 2
−a -
x 2
=2(a>0且a≠1),求a 2x +a -2x a x +a -x
的值.
参考答案 4.1 指数与指数函数 4.1.1 实数指数幂及其运算
1.D √m ·√m 4
3
√m 5
6
=
m 12·m 43
m 56
=m
12+43-56
=m.故选D.
2.B
因为√4a 2-4a
+1=√(1-2a )3
3
,
则√(2a -1)2
=√(1-2a )3
3
,
可得|2a-1|=1-2a,所以1-2a≥0,即a≤1
2
.故选B.
3.CD 对于选项A,因为-√x =-x 12
(x≥0),而(-x )12
=√-x (x≤0),所以A 错误; 对于选项
B,因为√y 26
=-y 1
3(y<0),所以
B 错误;
对于选项C,因为x
-13=
√x
3
(x>0)成立,所以C 正确;
对于选项D,当x>0时,[√(-x )2
3
]34
=|-x |2×13×
34
=x
2×13×
34
=x 12
,所以D 正确.
故选CD.
4.BC A 不符合题意,(-1)13和(-1)26
虽然符合分数指数幂的定义,但(-1)13
=√-13
=-1,(-1)26
=√(-1)26
=1,值不相等;B 符合题意,
1
3
-43
=343
;C 符
合题意,414=212
;D 不符合题意,4-
32
和116
-
34
均符合分数指数幂的定义,但
4
-32
=
143
2
=18
,
116
-
34
=23=8,值不相等.
5.1
4
215 ∵α,β是方程5x 2+10x+1=0的两个根,
∴α+β=-2,αβ=1
5
.
∴2α·2β=2
α+β
=2-2
=1
4
,(2α)β=2αβ
=215
.
6.a 12
b 12
原式=a 52
b 2
·
a -2
b -1
·b 32=a 12b 12
. 7.解(1)原式=
3x -
34y 12
-310
x -34y -12=3×(-10
3
)x
-34+
34
·y
12+12
=-10y.
(2)原式=(100-1
)-
12-(√2-1)-8+(23
)16
=10012
−√2+1-8+212
=10+1-8=3. 8.A 由题意,可知a≥0,∴√-a 3
·√a 6
=(-a )13
·a 16
=-a 13
·a 16
=-a 13+16
=-a 12
=-√a .
故选A.
9.D 由x=1+2b ,得2b =x-1, 所以y=1+2-b =1+1
2b =1+
1x -1
=
x
x -1
.
故选D.
10.解(1)原式=(-1)-23
×
(338)
-2
3+(
1
500
)-
12
−
√5-2
+1=(278)-2
3+(500)1
2-10×(√5+2)+1=49+10√5-10√5-20+1=-167
9.
(2)原式=
a 43·a -1
2a 2
3·a 2
=a
-
116
.
11.A 由题知,“
天 四天 三
=天 三天天 三
=天
一
”来表示“
x 4x 3
=
x 3x x 3
=x”,相当于同底数
幂相除,底数不变,指数相减,所以①②正确;由“(甲⊥乙)三=甲三⊥三甲二乙⊥三甲乙二⊥乙三”来表示“(x+y)3=x 3+3x 2y+3xy 2+y 3”可知⊥是加号,所以③是完全平方公式,所以③正确.故选A.
12.±21√5 ±8√5 因为x 12
+x -
12=3,所以(x 12
+x -
1
2
)2=9,整理得x+x -1=7,令t=x 12
−x -
12,则t 2
=(x 12
−x -
1
2)2=x+x -1
-2=5,所以x 12
−x -
12
=±√5,所以
x 2
-x -2
=(x+x -1
)·(x -x -1
)=(x+x -1
)·(x 12
+x -
12)·(x 12
−
x -
12
)=7×3×(±√5)=±21√5.
x 32
−x -
32=(x 12
−x -
12
)·(x+x -1+1)=±8√5. 13.解(1)(-0.12)0+(32
)
-2
×(338)2
3
-(√3√3)43
+√(1-√2)2
=1+49×[(32
)3]2
3
−
[(3·312
)12]43+√2-1=1+49×9
4-3+√2-1=√2-2; (2)原式=
a -13
b 1
2·a -1
2·b 1
3
a 16·
b 56=a
-13-12-
16
·b
12+13-56
=a -1=1
a
.
14.解(1)原式=12
×23×32-4×9
4
+1=36-9+1=28.
(2)∵a x 2
−a -
x 2=2,∴(a x 2
−a -
x
2
)2=a x +a -x -2=4, ∴a x +a -x =6.
同理,a2x+a-2x=(a x+a-x)2-2=34,
∴a 2x+a-2x
a x+a-x =17
3
.。