2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高一(上)第三次模块检测数学试卷

2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）第三次模块检测数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 集合M ＝{x|x =kπ2
+π
4, k ∈Z}，N ＝{x|x =kπ4
+π
2, k ∈Z}，则（ ）
A.M ＝N
B.M ⊋N
C.M ⊊N
D.M ∩N ＝⌀
2. 设a =20.1，b =lg 5
2，c =log 39
10，则a ，b ，c 的大小关系是 ) A.b >c >a B.a >c >b C.b >a >c D.a >b >c
3. 设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →
=3CD →
，则（ ） A.AD →
=−13AB →
+43AC →
B.AD →
=13AB →−43AC →
C.AD →
=43AB →
+13AC →
D.AD →
=43AB →
+13AC →
4. 已知|a →
|＝1，|b →
|＝2，a →
与b →
的夹角为60∘，则a →
+b →
在a →
方向上的投影为（ ） A.2 B.1 C.
2√7
7
D.√7
7
5. 已知|a →
|＝10，|b →
|＝12，且(3a →
)⋅(15b →
)＝−36，则a →
与b →
的夹角是（ ） A.60∘
B.120∘
C.135∘
D.150∘
6. 若√
1+sin α1−sin α=
1+sin αcos α
，则α的终边在（ ）
A.y 轴右侧
B.y 轴左侧
C.x 轴上方
D.x 轴下方
7. 要得到函数y =sin (2x +π
6)的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象（ ） A.向左平移π
6个单位
B.向右平移π
6个单位
C.向左平移π
3个单位 D.向右平移π
3个单位
8. 若函数y ＝A sin (ωx +φ)+ℎ的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x =π
3是其图象的一条对称轴，则下列符合条件的函数解析式是（ ） A.y ＝2sin (4x +π
6)+2 B.y ＝2sin (4x +π
3)+2 C.y ＝2sin (2x +π3)+2 D.y ＝4sin (4x +π
6)
9. 设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且DC →
=2BD →
，CE →
=2EA →
，AF →
=2FB →
，则AD →
+BE →
+CF →
与BC →
( ) A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
10. 函数f(x)=
|1−x 2|1−|x|
的图象是( )
A. B.
C.
D.
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
已知a →
=(x, 3)，b →
=(−2, 4)，a →
⊥b →
，则实数x ＝________．
若函数f(x)=lg (x 2
+ax −a −1)在区间[2, +∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是________．
已知函数f(x)={x 2+sin x ，x ≥0，−x 2+cos (x +α)，x <0
是奇函数，则sin α=________．
对任意的x ∈[−π
6, π2]，不等式sin 2x +a sin x +a +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．
已知f(x)＝sin (ωx +
π12)(ω>0)，f(π12
)＝f(π4
)且f(x)在区间(π12
，π4
)有最小值无最大值，则ω＝________17
2
．
三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
已知|a →
|＝2，|b →
|＝3，a →
与b →
的夹角为60∘，c →
=5a →
+3b →
，d →
=3a →
+kb →
，当实数K 取何值时： （1）c →
∥d →
（2）c →
⊥d →．
已知向量a →
=(cos α, sin α)，b →
=(cos β, sin β)，0<α<β<π． (Ⅰ)若|a →
−b →
|=√2，求证a →
⊥b →
；
(Ⅱ)设c →
=(0, 1)，若a →
+b →
=c →
，求α，β的值．
已知a >0，函数f(x)=−2a sin (2x +π
6
)+2a +b ，当x ∈[0, π
2
]时，−5≤f(x)≤1．
(1)求常数a ，b 的值；
(2)设g(x)=f(x +π
2)且lg [g(x)]>0，求g(x)的单调区间．
我国加入WTO 后，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P 的关系允许近似的满足：y =
P(x)=2(1−kt)(x−b)2
（其中t 为关税的税率，且t ∈[0,1
2
））．（x 为市场价格，b 、k 为正常数），当t =1
8
时的市场
供应量曲线如图
（1）根据图象求k 、b 的值；
（2）若市场需求量为Q ，它近似满足Q(x)=211−1
2x ．当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格．为使市场平衡价格控制在不低于9元，求税率t 的最小值．
已知函数f(x)=
−2x +m 2x+1+n
，（其中m 、n 为参数）
（1）当m ＝n ＝1时，证明：f(x)不是奇函数；
（2）如果f(x)是奇函数，求实数m 、n 的值；
（3）已知m >0，n >0，在（2）的条件下，求不等式f(f(x))+f(1
4)<0的解集．
参考答案与试题解析
2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高一（上）第三次模块检测数学试卷
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.
【答案】 C
【考点】
集合的包含关系判断及应用 【解析】
从元素满足的公共属性的结构入手，对集合N 中的k 分奇数和偶数讨论，从而可得两集合的关系． 【解答】
对于集合N ，当k ＝2n −1，n ∈Z ，时，N ＝{x|x =nπ2
+π
4
, n ∈Z}＝M ，
当k ＝2n ，n ∈Z ，时N ＝{x|x =
n+12
π, n ∈Z}，
∴ 集合M 、N 的关系为M ⊊N ． 2. 【答案】 D
【考点】
对数值大小的比较 【解析】
利用幂函数，指数函数，以及对数函数的性质判断即可． 【解答】
解：∵ 20.1>20=1=lg 10>lg 5
2>0>log 3
910
，
∴ a >b >c . 故选D . 3. 【答案】 A
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义 【解析】
根据向量减法的几何意义便有，AC →
−AB →
=3(AD →
−AC →
)，而根据向量的数乘运算便可求出向量AD →
，从而找出正确选项． 【解答】 BC →
=3CD →
；
∴ AC →
−AB →
=3(AD →
−AC →
)；
∴ AD →
=−13AB →+43AC →
． 4.
【答案】 A
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 【解析】
求出向量a ，b 的数量积，再求(a →
+b →
)⋅a →=2，由a →
+b →
在a →
方向上的投影为(a →+b →)⋅a →
|a →
|
，计算即可得到．
【解答】
|a →
|＝1，|b →
|＝2，a →
与b →
的夹角为60∘， 则a →
⋅b →
=|a →
|⋅|b →
|⋅cos 60∘＝1×2×1
2=1， 则(a →
+b →
)⋅a →=a →2+a →
⋅b →
=1+1＝2， 则a →
+b →
在a →
方向上的投影为(a →+b →)⋅a →
|a →
|
=2
1
=2．
5. 【答案】 B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角 平面向量数量积的性质及其运算 平面向量数量积的运算
【解析】
根据向量数乘和数量积的变化得到向量的数量积，把向量的模和数量积代入夹角公式，得到向量夹角的余弦值，根据向量夹角的范围，得到向量的夹角． 【解答】
由(3a →
)⋅(15b →
)＝−36得a →
⋅b →
=−60． ∴ cos <a →
，b →
>=a →⋅b
→
|a →||b →
|
=−6010×12=−1
2．
又0∘≤θ≤180∘，
∴ <a →
，b →
>=120∘． 6.
【答案】 A
【考点】
象限角、轴线角
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
由题意可得cosα>0，则α的终边在则α的终边在y轴的右侧，从而得出结论．【解答】
√1+sinα1−sinα=1+sinα
cosα
，即1+sinα
|cosα|
=1+sinα
cosα
，∴cosα>0，
则α的终边在则α的终边在y轴的右侧，
7.
【答案】
B
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
先根据诱导公式进行化简y＝cos2x为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案．【解答】
y＝cos2x＝sin(2x+π
2)，函数y＝sin(2x+π
2
)的图象经过向右平移π
6
而得到函数y＝sin[2(x−π
6
)+π
2
]＝sin(2x+
π
6
)的图象，
8.
【答案】
A
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
由函数y＝A sin(ωx+φ)+m的最大值是4，最小值是0联立方程组求解A，m的值，再由函数周期求得ω值，最后验证选项得答案．
【解答】
∵函数y＝A sin(ωx+φ)+m的最大值是4，最小值是0，
则{A+m=4
−A+m=0，解得{A=2
m=2
．
又函数y＝A sin(ωx+φ)+m的最小正周期π
2
，
∴2π
|ω|=π
2
，|ω|＝4．
结合选项可知函数解析式为y＝2sin(4x+φ)+2．又直线x=π
3
是其图象的一条对称轴，
经验证y＝2sin(4x+π
6)+2符合，即φ=π
6
．
∴适合题目中条件的解析式是y＝2sin(4x+π
6
)+2．9.
【答案】
A 【考点】
两条直线垂直的判定
平面向量的基本定理
直线与平面平行的判定
【解析】
根据向量的定必分点性质可分别表示出AD
→
=AC
→
+2AB
→
1+2
=1
3
AC
→
+2
3
AB
→
，BE
→
=1
3
BC
→
+2
3
BA
→
，CF
→
=1
3
CA
→
+2
3
CB
→
，然后三者相加即可得到答案．
【解答】
由定比分点的向量式得：AD
→
=AC
→
+2AB
→
1+2
=1
3
AC
→
+2
3
AB
→
，BE
→
=1
3
BC
→
+2
3
BA
→
，CF
→
=1
3
CA
→
+2
3
CB
→
，
以上三式相加得AD
→
+BE
→
+CF
→
=−1
3
BC
→
，
10.
【答案】
C
【考点】
函数的图象
【解析】
根据函数的定义域，特殊值，结合选项可选出答案．
【解答】
解：由函数式子有意义可知x≠±1，排除A；
∵f(0)=1，排除D；
∵当x>1时，|1−x2|>0，1−|x|<0，
∴当x>1时，f(x)<0，排除B．
故选C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
【答案】
6
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
根据题意，由向量垂直与向量数量积的关系可得a
→
⋅b
→
=(−2)x+3×4＝0，解可得x的值，即可得答案．【解答】
根据题意，已知a
→
=(x, 3)，b
→
=(−2, 4)，
若a
→
⊥b
→
，则a
→
⋅b
→
=(−2)x+3×4＝0，解可得x＝6；
【答案】
(−3, +∞)
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
令t =x 2+ax −a −1,由外函数y =lg t 为增函数,可知要使复合函数f(x)=lg (x 2+ax −a −1)在区间[2, +∞)上单调递增,则{
−a
2≤222+2a −a −1>0
,求解不等式组得答案．
【解答】
解：令t =x 2+ax −a −1,外函数y =lg t 为增函数,
要使复合函数f(x)=lg (x 2+ax −a −1)在区间[2, +∞)上单调递增，
则{−a
2≤222
+2a −a −1>0
，解得a >−3．
∴ 实数a 的取值范围是：(−3, +∞)． 故答案为：(−3, +∞)． 【答案】 −1
【考点】 诱导公式
函数奇偶性的性质 【解析】
由已知中函数f(x)={x 2+sin x ，x ≥0
−x 2
+cos (x +α)，x <0是奇函数，可得cos (x +α)=sin x 恒成立，进而α=−π
2+
2kπ，k ∈Z ，进而可得sin α的值． 【解答】
解：当x <0时，−x >0， 则f(x)=−x 2+cos (x +α)，
f(−x)=(−x)2+sin (−x)=x 2−sin x . ∵ 函数f(x)是奇函数， ∴ f(−x)=−f(−x)，
∴ cos (x +α)=sin x 恒成立， ∴ α=−π
2+2kπ，k ∈Z ，
∴ sin α=−1. 故答案为：−1. 【答案】 a ≥−2 【考点】
函数恒成立问题 三角函数的最值 【解析】
利用换元法令t ＝sin x ，不等式可整理为t 2
+at +a +3≥0恒成立，得a ≥−t 2−3t+1
，利用分离常数法求出右式
的最大值即可． 【解答】 令t ＝sin x ， ∴ t ∈[−1
2, 1]，
∴ t 2+at +a +3≥0恒成立，
∴ a ≥
−t 2−3t+1
=−(t +1)−4
t+1+2，
令f(t)＝−(t +1)−4t+1
=−[(t +1)+
4
t+1
]，
∴ f(t)≤−4， ∴ −(t +1)−4t+1
+2≤−2，
∴ a ≥−2． 【答案】 17 【考点】
三角函数的最值 【解析】
由题意利用正弦函数的图象特征可得当x =π6
时，f(x)取得最小值，即ω⋅π6
+
π12
=2kπ+
3π2
，k ∈z ，由此求
得ω的值． 【解答】
由f(x)＝sin (ωx +π
12)(ω>0)，f(π
12)＝f(π
4)，可得f(x)的图象关于直线x =π12+π4
2
=π
6 对称，
在区间(π
12，π
4)有最小值无最大值，故当x =π
6时，f(x)取得最小值， 故有ω⋅π
6+
π12=2kπ+
3π2
，k ∈z ，∴ ω＝12k +
172
．
ω⋅π
12+π12>2kπ+π
2，ω⋅π
4+π
12<2kπ+5π2
，k ∈z ，
∴ ω>24k +5，ω<8k +896
，
∵ 5<172<
896
，
∴ ω=
172
．
三、解答题（本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】
当c →
∥d →
，c →
=λd →
，则5a →
+3b →
=λ(3a →
+kb →
)∴ 3λ＝5，且kλ＝3∴ k =9
5．
当c →
⊥d →
，c →
⋅d →
=0，则(5a →
+3b →
)⋅(3a →
+kb →
)=0，∴ 15a ⇀
2+3kb →
2+(9+5k)a →
⋅b →
=0，∴ k =−29
14．
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】
（1）先计算a →
⋅b →
的值，当 c →
 // d →
时，由 c →
=λd →
，利用向量的坐标运算法则及向量相等的条件，解出实数k 的值．
（2）当 c →
⊥d →
时，由 c →
⋅d →
=0，利用两个向量的数量积公式解出实数k 的值． 【解答】
当c →
∥d →
，c →
=λd →
，则5a →
+3b →
=λ(3a →
+kb →
)∴ 3λ＝5，且kλ＝3∴ k =9
5
．
当c →
⊥d →
，c →
⋅d →
=0，则(5a →
+3b →
)⋅(3a →
+kb →
)=0，∴ 15a ⇀2
+3kb →
2
+(9+5k)a →
⋅b →
=0，∴ k =−29
14． 【答案】
（1）∵ |a →
−b →
|=√2，∴ (a →
−b →
)2＝2，即a →
2−2a →⋅b →
+b →
2＝2， ∵ a →2＝cos 2
α+sin 2
α＝1，b →
2＝cos 2β+sin 2β＝1，
∴ a →
⋅b →
=0，∴ a →
⊥b →
（2）∵ a →
+b →
=(cos α+cos β, sin α+sin β)＝(0.1)． ∴ {cos α+cos β=0sin α+sin β=1 ，①2+②2得cos (β−α)=−1
2．
∵ 0<α<β<π，∴ 0<β−α<π． ∴ β−α=
2π
3
，即β=α+2π3
，
代入②得sin α+sin (α+2π
3
)＝1，整理得1
2sin α+√3
2
cos α=1，
即sin (α+π
3)＝1．
∵ 0<α<π，∴ π
3<α+π
3<
4π3
，
∴ α+π3
=π2
，∴ α=π6
，β＝α+2π3
=
5π6
，
【考点】
同角三角函数间的基本关系 平面向量数量积的性质及其运算 两角和与差的三角函数 【解析】
（1）证明a →
⋅b →
=0即可；
（2）根据向量相等列出方程组，解出α，β．
【解答】
（1）∵ |a →
−b →
|=√2，∴ (a →
−b →
)2＝2，即a →
2−2a →⋅b →
+b →
2＝2， ∵ a →2＝cos 2
α+sin 2
α＝1，b →
2＝cos 2β+sin 2β＝1，
∴ a →
⋅b →
=0，∴ a →
⊥b →
（2）∵ a →
+b →
=(cos α+cos β, sin α+sin β)＝(0.1)． ∴ {cos α+cos β=0sin α+sin β=1 ，①2+②2得cos (β−α)=−12．
∵ 0<α<β<π，∴ 0<β−α<π．
∴ β−α=
2π3
，即β=α+
2π3
，
代入②得sin α+sin (α+2π
3
)＝1，整理得1
2sin α+√3
2
cos α=1，
即sin (α+π
3)＝1．
∵ 0<α<π，∴ π3<α+π3<
4π3
，
∴ α+π
3=π
2，∴ α=π
6，β＝α+2π3
=
5π6
，
【答案】
解：(1)∵ x ∈[0, π
2]，
∴ 2x +π6∈[π6, 7π
6]， ∴ sin (2x +π
6
)∈[−1
2
, 1]，
∴ −2a sin (2x +π
6
)∈[−2a, a]，
∴ f(x)∈[b, 3a +b]，又−5≤f(x)≤1．
∴ {b =−5,3a +b =1,解得{a =2,
b =−5.
(2)f(x)=−4sin (2x +π
6
)−1，
g(x)=f(x +π2)=−4sin (2x +
7π
6
)−1=4sin (2x +π
6)−1， 又由lg [g(x)]>0，得g(x)>1， ∴ 4sin (2x +π6
)−1>1， ∴ sin (2x +π
6
)>1
2
，
∴ π6
+2kπ<2x +π6
<5
6
π+2kπ，k ∈Z ，
由π6+2kπ<2x +π6≤2kπ+π
2，得 kπ<x ≤kπ+π
6，k ∈Z ．
由π
2+2kπ≤2x +π
6<5
6π+2kπ，得
π6
+kπ≤x <π
3+kπ，k ∈Z ．
∴函数g(x)的单调递增区间为(kπ, π
6
+kπ](k∈Z)，
单调递减区间为[π
6+kπ, π
3
+kπ)(k∈Z).
【考点】
三角函数的最值
正弦函数的单调性
正弦函数的定义域和值域
【解析】
（1）由三角函数的性质求出用参数表示的函数的最值，由于函数的值域已知，故此两区间相等，故左端点与左端点相等，右端点与右端点相等，由此得到参数的方程，解出参数值即可．
（2）本题要求出在定义域中的单调区间，故要先求出其定义域，再由单调性求出其单调区间，由（1），
f(x)=−4sin(2x+π
6
)−1，代入即可求得g(x)的表达式，又由lg g(x)>0，可求得函数的定义域，再由g(x)的单调性求出其在定义域内的单调区间．
【解答】
解：（1）∵x∈[0, π
2
]，
∴2x+π
6∈[π
6
, 7π
6
]，
∴sin(2x+π
6)∈[−1
2
, 1]，
∴−2a sin(2x+π
6
)∈[−2a, a]，
∴f(x)∈[b, 3a+b]，又−5≤f(x)≤1．
∴{b=−5
3a+b=1，解得{a=2
b=−5．(2)f(x)=−4sin(2x+π
6
)−1，
g(x)=f(x+π
2)=−4sin(2x+7π
6
)−1=4sin(2x+π
6
)−1，
又由lg[g(x)]>0，得g(x)>1，∴4sin(2x+π
6
)−1>1，
∴sin(2x+π
6)>1
2
，
∴π
6+2kπ<2x+π
6
<5
6
π+2kπ，k∈Z，
由π
6+2kπ<2x+π
6
≤2kπ+π
2
，得
kπ<x≤kπ+π
6
，k∈Z．
由π
2+2kπ≤2x+π
6
<5
6
π+2kπ，得
π
6
+kπ≤x<π
3
+kπ，k∈Z．
∴函数g(x)的单调递增区间为(kπ, π
6
+kπ](k∈Z)，
单调递减区间为[π
6
+kπ, π
3
+kπ)(k∈Z).
【答案】
由图可知，t=1
8
{2
(1−k
8
)(5−b)2=1
2(1−k8)(7−b)2=2
解得{k=6
b=5
当P＝Q时，得2(1−6t)(x−5)2=211−12x解得：t=1
6
[1−22−x
2(x−5)2
]=1
6
[1−17−(x−5)
2(x−5)2
]=−1
12
[17
(x−5)2
−1
x−5
−2]
令m=1
x−5
，∵x≥9，∴m∈(0, 1
4
]，则t=−1
12
(17m2−m−2)，
∴对称轴m=1
34
∈(0, 1
4
]，且开口向下；
∴m=1
4
时，t取得最小值19
192
，此时x＝9
∴税率t的最小值为19
192
．
【考点】
指数函数综合题
【解析】
第一问能根据图象求出k、b的值．第二问能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．考查的知
识综合性较强，对学生理解题意的能力也是一个挑战．
【解答】
由图可知，t=1
8
{2
(1−k
8
)(5−b)2=1
2(1−k8)(7−b)2=2
解得{k=6
b=5
当P＝Q时，得2(1−6t)(x−5)2=211−12x解得：t=1
6
[1−22−x
2(x−5)2
]=1
6
[1−17−(x−5)
2(x−5)2
]=−1
12
[17
(x−5)2
−1
x−5
−2]
令m=1
x−5
，∵x≥9，∴m∈(0, 1
4
]，则t=−1
12
(17m2−m−2)，
∴对称轴m=1
34
∈(0, 1
4
]，且开口向下；
∴m=1
4
时，t取得最小值19
192
，此时x＝9
∴税率t的最小值为19
192
．
【答案】
f(x)=−2x+1
2x+1+1
，
∴f(1)=−2+1
22+1
=−1
5
，f(−1)=
−1
2
+1
2
=1
4
，
∵ f(−1)≠−f(1)，∴ f(x)不是奇函数； ∵ f(x)是奇函数时∴ f(−x)＝−f(x)， 即−2−x +m
2−x+1+n =−−2x +m
2x+1+n 对定义域内任意实数x 成立．
化简整理得关于x 的恒等式(2m −n)⋅22x +(2mn −4)⋅2x +(2m −n)＝0， ∴ {2m −n =02mn −4=0 即{m =−1n =−2 或{m =1n =2 ． ...10分
（注：少一解扣 由题意得m ＝1，n ＝2， ∴ f(x)=
−2x +12x+1+2
=12
(−1+
2
2x +1
)，易判断f(x)在R 上递减，
∵ f(f(x))+f(1
4)<0， ∴ f(f(x))<−f(1
4)=f(−1
4)， ∴ f(x)>−1
4，
∴ 2x <3， ∴ x <log 23，
即f(x)>0的解集为(−∞, log 23) 【考点】
其他不等式的解法
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
（1）当m ＝n ＝1时，根据函数奇偶性的定义进行判断即可；
（2）如果f(x)是奇函数，根据奇函数的性质建立了方程关系即可求实数m 、n 的值； （3）根据函数的奇偶性将不等式进行转化即可得到结论． 【解答】 f(x)=−2x +1
2x+1+1， ∴ f(1)=
−2+122+1=−1
5，f(−1)=
−12
+12
=1
4，
∵ f(−1)≠−f(1)，∴ f(x)不是奇函数； ∵ f(x)是奇函数时∴ f(−x)＝−f(x)， 即−2−x +m
2+n =−−2x +m
2+n 对定义域内任意实数x 成立．
化简整理得关于x 的恒等式(2m −n)⋅22x +(2mn −4)⋅2x +(2m −n)＝0， ∴ {2m −n =02mn −4=0 即{m =−1n =−2 或{m =1n =2 ． ...10分
（注：少一解扣 由题意得m ＝1，n ＝2，
∴ f(x)=−2x +1
2x+1+2=1
2(−1+2
2x +1)，易判断f(x)在R 上递减，
∵ f(f(x))+f(1
4
)<0，
∴ f(f(x))<−f(14)=f(−1
4)， ∴ f(x)>−1
4，
∴ 2x <3，
∴ x <log 23，
即f(x)>0的解集为(−∞, log 23)。