2019-2020学年安徽省示范中学高二上学期入学考试数学试题(解析版)

2019-2020学年安徽省示范中学高二上学期入学考试数学试
题
一、单选题
1．已知集合{}2|log 2A x x =<，{|2}B x x =<，则A B =( )
A ．{|2}x x <
B ．{|4}x x <
C ．|02}x x 〈<<
D ．{}|04x x <<
【答案】C
【解析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可． 【详解】
因为{}2|log 2{|04}A x x x x =<=<<，所以{|02}A B x x ⋂=<<.选C. 【点睛】
考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算． 2．在等比数列{}n a 中，24681,4a a a a +=+=，则2a =( ) A ．2 B ．4 C ．
12
D ．
13
【答案】D
【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由条件得q 4=4，解得q 2
．进而得出结果．
【详解】
因为()4
2468241,4a a a a a a q +=+=+=，解得2
2q =.
因为(
)2
24211a a a q +=+=，所以2
1
3
a
=
.选D. 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．从数字0,1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数不大于20的概率为( ) A ．
1
4
B ．
516
C ．
12
D ．
1116
【答案】B
【解析】这个两位数不大于20，①若十位为1，个位可以从0，2，3，4中选择一个，故包含4个基本事件，②若十位为2，则个位必须为0．数出所有基本事件个数，和基本事件总数即可求概率． 【详解】
从数字0,1,2,3,4中任取两个不同的数字构成的两位数有
10,12,13,14,20,21,23,24,30,31,32,34,40，41,42,43，共16个，其中不大于20的有10,12,13,14,20，共5个，故所求概率5
16
P =.选B. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率，计数原理，解题时要注意不要漏掉20．本题属于基础题．
4．设,x y 满足约束条件304203260x y x y x y -+⎧⎪
+-⎨⎪+-⎩
…
…
…，则34z x y =-+的最小值是( ) A ．12- B ．10-
C ．8-
D ．6-
【答案】D
【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为斜截式直线方程，数形结合得到优解，代入目标函数得答案． 【详解】 作出可行域
，当直线34z x y =-+经过点()20，
时，z 取最小值-6. 故选D. 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 5．已知平面向量,a b 满足1
,13
a b =
=，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为( ) A ．6
π
B ．
3π C ．
23
π D ．
56
π 【答案】C
【解析】设a 与b 的夹角为θ，由题意求得cos θ的值，可得θ的值．
因为2a b a b +=+，所以2
2
2a b a b +=-，
即2222
442a a b b a a b b +⋅+=+⋅-，
因为113a b =
=，所以32
a b ⋅=-， 记a 与b 的夹角为θ，则1
cos 2a b a b
θ⋅==-，
解得23
πθ=，即a 与b 的夹角为23π. 故选C. 【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题． 6．执行如图所示的程序框图，则输出的n =( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C
【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值并输出相应变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】
解：模拟程序的运行，可得 S =0，n =1 S =2，n =2
满足条件S ＜30，执行循环体，S =2+4=6，n =3 满足条件S ＜30，执行循环体，S =6+8=14，n =4 满足条件S ＜30，执行循环体，S =14+16=30，n =5 此时，不满足条件S ＜30，退出循环，输出n 的值为5． 故选：C ．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知6b =，6
A π
=，若该三角形
有两解，则a 的取值范围是( ) A ．（3,6） B ．（0,3）
C
．()
D
．()
+∞
【答案】A
【解析】利用正弦定理列出关系式，将a b sinA ，，的值代入表示出sinB ，根据B 的度数确定出B 的范围，要使三角形有两解确定出B 的具体范围，利用正弦函数的值域求出
x 的范围即可．
【详解】
解：∵在△ABC 中, 6,6
b A π
==
，
∴由正弦定理得1
6sin 32sin b A B a a a
⨯
===， ∵6
A π=
，
∴506
B π
<<
， 要使三角形有两解，得到：
56
6
B π
π<<
，且2B π≠，即1
sin 12B <<
∴
13
12a
<< 解得：36a <<， 故选：A ． 【点睛】
此题考查了正弦定理，以及正弦函数的性质，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于中档题．
8．如图，这是某校高一年级一名学生七次月考数学成绩（满分100分）的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是( )
A ．87,9.6
B ．85,9.6
C ．87,5,6
D ．85,5.6
【答案】D
【解析】去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为82，84，84，86，89，由此能求出所剩数据的平均数和方差． 【详解】 平均数8284848689
855
x ++++=
=，
方差()()()()()2
2
2
2
2
282858485848586858985 5.65
s -+-+-+-+-=
=，选D.
【点睛】
本题考查所剩数据的平均数和方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．边长为m 的正方形内有一个半径为2m n n ⎛
⎫
<
⎪⎝⎭
的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为
3
4
，则圆周率π的值为( ) A ．34m n
B ．22
34m n C ．34n m
D ．2
2
34n m
【答案】B
【解析】由几何概型中的面积型概率的求法，求出圆周率π的值即可得解． 【详解】
由几何概型可知2
234n m π=，则2
2
34m n
π=.选B. 【点睛】
本题考查了几何概型中的面积型，属基础题． 10．已知,αβ为锐角，45
tan ,cos()313a αβ=+=-，则()cos αβ-=( ) A ．
253
325
B ．323325
C ．253
325
- D ．323325-
【答案】B
【解析】直接利用同角三角函数关系式的变换和诱导公式的应用求出结果．
【详解】
因为α为锐角，4tan 3α=所以43sin ,cos 55αα==，所以247
sin2,cos22525
αα=
=-.因为,αβ为锐角.且()5cos 13αβ-=-，所以()12
sin 13
αβ+=，则
()()()()35288323
cos cos 2cos2cos sin2sin 325325325
αβααβααβααβ⎡⎤-=-+=⋅++⋅-=-=⎣⎦.选B. 【点睛】
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
11．已知函数()2log f x x =，当0m n <<时，()()f m f n =，若()f x 在2
,m n ⎡⎤⎣⎦上
的最大值为2，则
n
m
=( ) A ．2 B ．
52
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】由题意可得22log log m n -=，从而化得1mn =；从而可得
2222()log 2log 2f m m m ==-=，从而解得．
【详解】
因为()2log f x x =，且当0m n <<时，()()f m f n =，所以1mn =，且1n >，
01m <<，所以2m m <，
则()f x 在2
,m n ⎡⎤⎣⎦上的最大值为()2
2
22
2log log 2f m
m
m ==-=，
解得1
2
m =
， 所以2n =，故4n
m
=.选D. 【点睛】
本题考查了对数函数的应用，属于基础题．
12．已知向量2
2sin
2
2
2a α
α
⎛=-
⎭，cos ,2b m α⎛
⎫= ⎪⎝
⎭，若对任意的[]1,1m ∈-，1
2
a b ⋅>
恒成立，则角α的取值范围是（ ） A ．()572,21212k k k Z ππππ⎛⎫+
+∈ ⎪⎝
⎭
B ．()7132,21212k k k Z ππππ⎛
⎫+
+∈ ⎪⎝
⎭
C ．()52,21212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝
⎭
D ．()72,21212k k k Z ππππ⎛
⎫-+∈ ⎪⎝
⎭
【答案】A
【解析】
利用数量积运算可将不等式化简为sin cos m αα+>
，根据恒成立条件可
得不等式组sin cos 2
sin cos 2αααα⎧+>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩
，利用三角函数知识分别求解两个不等式，取交集得
到结果. 【详解】
22sin
cos
2cos 1cos 2
2
2222
a b α
α
αα
α⎛⎫⋅=+
-=+ ⎪
⎝⎭ 12a b ⋅>
s i n c o s
2
m αα∴+
>
当[]1,1m ∈-时，sin cos m αα+>
恒成立，则sin cos sin cos
αααα⎧
+>⎪⎪⎨
⎪->⎪⎩
当sin cos 2αα+>42πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭ 1s i n 42πα⎛⎫∴+> ⎪⎝⎭
5226
4
6k k π
π
ππαπ∴+
<+
<+
，k Z ∈，解得：7221212
k k πππ
απ-<<+，k Z ∈
当sin cos 2αα->
42πα⎛⎫-> ⎪⎝
⎭ 1s i n 42πα⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭
5226
4
6k k π
π
ππαπ∴+
<-
<+
，k Z ∈，解得：513221212
k k πππαπ+<<+，k Z ∈
∴sin cos 2
m αα+>
在[]1,1m ∈-时恒成立可得：()572,21212k k k Z ππαππ⎛⎫∈+
+∈ ⎪⎝
⎭
本题正确选项：A 【点睛】
本题考查三角函数中的恒成立问题的求解，关键是能够根据数量积将恒成立不等式转化为两个三角不等式的求解问题，利用辅助角公式将问题转化为根据正弦型函数的值域求
解角的范围的问题.
二、填空题
13．一组数据从小到大排列，依次为2,3,4,,9,10x ，若它们的中位数与平均数相等，则x =______. 【答案】8
【解析】先计算平均数和中位数，根据题意得出关于x 的方程，解方程得到x 的值. 【详解】
因为数据2,3,4，x ，9,10的中位数与平均数相等，所以4234910
26
x x ++++++=，解得8x =. 【点睛】
主要考查了平均数，中位数的概念和方程求解的方法．要掌握这些基本概念才能熟练解题．
14．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，,4
3
B C π
π
=
=
,c =，则
a =______.
3
【解析】由已知利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，进而根据正弦定理可求a 的值． 【详解】
因为,,4
3
B C c π
π
=
=
=
sin sin c B
b C
=
==
因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，
所以1cos cos 32a b C c B =+=-=. 【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 15
．若函数()2cos 21,,33f x x x x ππ⎡⎤
=--∈-
⎢⎥⎣⎦
的图象与直线y m =恰有两个
不同交点，则m 的取值范围是______. 【答案】(3,2]--
【解析】化简函数解析式为()2sin(2)16
f x x π
=-
- ，可求范围52,662x π
ππ⎡⎤
-
∈-⎢⎥⎣⎦
，由题意方程2sin(2)16x m π
--=在,33x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
上有两个不同的解，作出函数的图象，数形结合可得m 的取值范围． 【详解】
(
)cos212sin 216f x x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝
⎭，,33x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦，画出()f x
的图象，
可得32m -<≤-. 【点睛】
本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题． 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若376,28S S ==，则14
n
n a a S ++的最大值是______. 【答案】
17
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ．由
36S =,728S =,1336a d +=,176
7282
a d ⨯+
=,联立解得：
1,a d ,可得4,n n a S +,利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】
因为36S =，728S =，所以11336,72128a d a d +=+=， 解得11a =，1d =，
则()+1,2
n n n n a n S ==
，故()()()()()1421++1++4+5+4+52
n n n a a n
n n S n n +==
，
令*
1,t n t N =+∈，()()1422
12+3+4+7n n a a t S t t t t
++==+，
当12
+
t t 取最小值时，14
+n n a a S +的最大，
所以当3t =或4t =，
即2n =或3时，14n n a a S ++有最大值1
7
.
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
17．已知02ω<<，函数()sin 4f x x πω⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，且()2f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若()f x 在[]
,t t -上单调递增，求t 的最大值. 【答案】（1）2π；（2）
4
π
. 【解析】（1）由题意可得()f x 的图象关于直线4
x π
=
对称，由此求得ω的值，可得它
的最小正周期．（2）根据()f x 在[-t ，t ]上单调递增，可得4
2
t π
π
-+≥-
，且4
2
t π
π
+
≤
，
由此解得t 的最大值． 【详解】
（1）因为()2f x f x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
， 所以()f x 的图象关于直线4
x π
=对称，
所以()4
4
2
k k Z π
π
π
ωπ⨯
+
=
+∈，解得()14k k Z ω=+∈，
又因为02ω<<，所以1ω=，
则()f x 的最小正周期22T ππω=
=. （2）因为()sin 4f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
，所以()f x 的单调递增区间为()32,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦
. 因为()f x 在[],t t -上单调递增，所以434t t t t ππ⎧⎪⎪⎪--⎨⎪>-⎪⎪⎩
……，解得04t π<≤. 故t 的最大值为
4π. 【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题． 18．在等差数列{}n a 中，()
*1363n n a a n n +=-+∈N . （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若2
11
243n n b a +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）3n a n =；（2）2235164832
n n n n +++. 【解析】（1）等差数列{a n }的公差设为d ，运用等差数列的通项公式，以及恒等式的性质，可得首项和公差，进而得到所求通项公式；
（2）11182n b n n ⎛⎫=
- ⎪+⎝⎭，再由数列的裂项相消求和，可得所求和． 【详解】
（1）因为()*1363n n a a n n N
+=-+∈，所以213233,39a a a a =-=-，
所以2133a a =-，3239a a =-
因为{}n a 是等差数列，所以1322a a a +=，所以()111918233a a a --=-， 解得123,6a a ==，则数列{}n a 的公差313d a a ===，
故()113n a a n d n =+-=.
（2）因为3n a n =，所以()131n a n +=+. 因为211
243n n b a +=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()21
111114282414n b n n n n n ⎛⎫==⨯=- ⎪++⎝⎭+-， 所以
111111111111183243546112n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即111118212n T n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭2235164832
n n n n +=++. 【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和恒等式的性质，考查数列的裂项相消求和，化简运算能力，属于中档题．
19．某销售公司拟招聘一名产品推销员，有如下两种工资方案：
方案一：每月底薪2000元，每销售一件产品提成15元；
方案二：每月底薪3500元，月销售量不超过300件，没有提成，超过300件的部分每件提成30元．
（1）分别写出两种方案中推销员的月工资y （单位：元）与月销售产品件数x 的函数关系式；
（2）从该销售公司随机选取一名推销员，对他（或她）过去两年的销售情况进行统计，得到如下统计表：
把频率视为概率，分别求两种方案推销员的月工资超过11090元的概率．
【答案】（1）3500,300,305500,300,x x y x x x ≤∈⎧=⎨->∈⎩N N
；（2）方案一概率为16,方案二概率为38. 【解析】（1）利用一次函数和分段函数分别表示方案一、方案二的月工资y 与x 的关系式；（2）分别计算方案一、方案二的推销员的月工资超过11090元的概率值．
【详解】
解：（1）方案一：152000y x =+，x ∈N ；
方案二：月工资为3500,300,30(300)3500,300,x x N y x x x N
∈⎧=⎨-+>∈⎩…, 所以3500,300,305500,300,x x y x x x ≤∈⎧=⎨->∈⎩
N N . （2）方案一中推销员的月工资超过11090元，则152********x +>，解得606x >， 所以方案一中推销员的月工资超过11090元的概率为41249546
P ==++++； 方案二中推销员的月工资超过11090元，则30(300)350011090x -+>，解得553x >， 所以方案二中推销员的月工资超过11090元的概率为543249548
P +=
=++++． 【点睛】
本题考查了分段函数与应用问题，也考查了利用频率估计概率的应用问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题．
20．已知△ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin (2)cos 02a B c b A π⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭. （1）求角A ；
（2）若ABC ∆
，当a 取最小值时，求BC 边上的高.
【答案】（1）3
π；（2
【解析】(1)利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sin C 不为0求出cos A 的值，即可确定出A 的度数．
(2)三角形的面积公可求4bc =，由余弦定理,基本等式可求24a bc ≥=，当且仅2a b c ===时等号成立，当a 取小值时，设BC 边上高为h ，利用三角面公式即可求解．
【详解】
（1）因为()sin 2cos 02a B c b A π⎛
⎫-+-= ⎪⎝⎭
， 所以cos 2cos cos 0a B c A b A -+-=，
由正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，
()sin 2sin cos A B C A +=，
即sin 2sin cos C C A =.
在ABC ∆中，sin 0C ≠，故1cos 2A =
， 因为()0,A π∈，所以3A π
=.
（2）因为△ABC
1sin 23
bc π=4bc =， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，
所以2
22224116244442a c c c c ⎛⎫=+-⨯⨯=+-= ⎪⎝⎭…， 当且仅当2216c c
=，即2c =时取等号，此时a 的值为2. 所以当a 取最小值时，BC
边上的高为
2ABC S a ==【点睛】 此题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦弦定和余弦定理的应用，三形面积公式的应．熟练握相关公式理是解本题的关键，属于中档题．
21．函数2()(1)mx f x m n x n
=>>+，满足()11f -=-，且()f x 在()0,∞+上有最大
值3
. （1）求()f x 的解析式；
（2）当[1,2)(2,3]x ∈-⋃时，()24()32t f x x x +-…
恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）()243
x f x x =+；（2）[3,)+∞. 【解析】（1）利用基本不等式求最值，解出m ，n ，得到函数的解析式．
（2）将恒成立问题转化为求最值问题，从而求出参数取值范围.
【详解】
（1）因为()11f -=-，所以
11m n
-=-+，即1m n =+.① 当0x >时，(
)2mx m f x n x n x x ==++…，
因为()f x 在()0,∞+
=，②
联立①②，且1m n >>，解得4m =，3n =.
故()243
x f x x =+. （2）因为当[)(]1,22,3x ∈-⋃时，()()243|2|t
f x x x +-…恒成立， 所以2t x x ≥-在[)(]
1,22,3x ∈-⋃上恒成立. 令()222,2322,12
x x x g x x x x x x ⎧-<=-=⎨-+-<⎩……. 由()g x 的图象可知，()g x 在（-1,1）上单调递增，在（1,2）上单调递减，在（2,3）上单调递增.
因为()11g =，()33g =，所以()()max 33g x g ==，
故()max 3t g x ≥=，
故t 的取值范围为[)3,+∞.
【点睛】
本题考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查分析问题解决问题的能力． 22．数列{}n a 中，11a =，12310n n a a n ++++=，n n b a n =+.
（1）证明：数列{}n b 是等比数列.
（2）若2100m ≤≤，*m N ∈，且1122
n m n m b m b b m b ++-+=-+，求m n +的值. 【答案】（1）见解析（2）9或35或133
【解析】（1）分别写出1n b +和n b ，做商，再用12310n n a a n ++++=表示出1n a +，代入1n n
b b +即可得q ，由11a =可得1b ，得证；（2）由（1）得数列{}n b 的通项公式，代入1122
n m n m b m b b m b ++-+=-+并整理，根据2100m ≤≤即得m+n 的值。

【详解】
（1）证明：因为n n b a n =+，所以111n n b a n ++=++，所以
111n n n n b a n b a n
++++=+. 因为12310n n a a n ++++=，所以1231n n a a n +=---，
所以()1223112n n n n n n a n b a n n b a n a n
+-+---++===-++. 因为11a =，所以1112b a =+=.
故数列{}n b 是以2为首项，2-为公比的等比数列.
（2）解：由（1）可得()112n
n n b b q -==--. 因为1122n m n m b m b b m b ++-+=-+，所以()()()()11222222
n m n m m m ++-----+=-----+， 整理得()()1220n m m +--⋅-=，则()12n m m -+=-.
因为2100m ≤≤，*m N ∈，所以()
122100n m -+≤-≤，则1n m -+的值为2或4或
6. 当12n m -+=时，4m =，5n =，符合题意，则9m n +=；
当14n m -+=时，16m =，19n =，符合题意，则35m n +=；
当16n m -+=时，64m =，69n =，符合题意，则133m n +=.
综上，m n +的值为9或35或133.
【点睛】
本题考查求数列通项公式和已知通项公式求参数的和，解题关键在于细心验证m 取值是否满足题干要求。