高一数学下学期期中试题含解析试题 2 (2)

宁夏高级中学〔中学分校〕2021-2021学年高一数学下学期期中试题
〔含解析〕
一、选择题：〔一共12小题，每一小题5分，一共60分〕
1.数列1，23，35，47，59
，…的一个通项公式n a 是〔 〕 A. 21n n + B. 23n n + C. 23n n - D. 21
n n - 【答案】D
【解析】
【分析】
通过观察数列的分子和分母，猜测出数列的通项公式.
【详解】由于数列的分母是奇数列，分子 是自然数列，故通项公式为21
n n a n =-.应选D. 【点睛】本小题考察观察数列给定的项，猜测数列的通项公式.根据分子和分母的规律，易得出正确的选项.属于根底题. 2.sin cos 1212π
π
的值是
A. 1
B. 12
C. 14
D. 18
【答案】C
【解析】 分析：首先观察题中所给的式子，结合正弦的倍角公式，可以确定其为
1sin 26π的值，借助于特殊角的三角函数值求得结果. 详解：根据正弦的倍角公式可得111sin
cos sin(2)sin 1212212264ππ
ππ=⨯==， 应选C. 点睛：该题考察的是有关三角函数值的求解问题，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，以及
特殊角的三角函数值，属于简单题目.
3. sin 70cos 20cos70sin 20+〔 〕
A. 0
B. -1
C. 1
D. sin50 【答案】C
【解析】
()sin70cos20cos70sin20sin 7020901sin +=+==.
应选C.
4.ABC ∆中，假设sin sin a A b B =，那么ABC ∆的形状为
A. 等腰三角形
B. 锐角三角形
C. 直角三角形
D. 等边三角形
【答案】A
【解析】 试题分析：由正弦定理得．
考点：正弦定理的应用．
5.假设三点()1,2--A 、()0,1B -、()5,C a 一共线，那么a 的值是〔
〕
A. 4
B. 4-
C. 2
D. 2- 【答案】A
【解析】
()1,2A --,()()0,1,5B C a -，三点一共线
AB AC λ∴→=→
即()()1162a λ=+，，
()1612a λ
λ=⎧⎨=+⎩
16
λ∴=,4a = 故答案选A
6.假设向量2a =，2b =，()a b a -⊥，那么a 、b 的夹角是〔 〕
A. 512π
B. 3π
C. 16π
D. 14
π 【答案】D
【解析】
【分析】
由()a b a -⊥，知()0a b a -⋅=，展开后得20a a b -⋅=，设向量a 与b 的夹角为θ，进而可得2cos 0a a b θ-=，再结合便不难求出θ的值.
【详解】设向量a 与b 的夹角为θ，由()a b a -⊥，知()0a b a -⋅=， 展开后得20a a b -⋅=，即2cos 0a a b θ-=，
将2a =，2b =，代入上式，可得cos 2
θ=， 又因为0θπ≤≤，所以4π
θ=，即向量a 、b 的夹角是14
π. 应选：D .
【点睛】此题考察平面向量数量积的性质及其运算律，考察逻辑思维才能和运算才能，属于常考题.
7.在ABC ∆中，12BD DC =
，那么AD =〔 〕 A 1344
AB AC B. 2133AB AC + C. 1233AB AC + D.
2133AB AC - 【答案】B
【解析】
根据平面向量根本定理，结合平面向量一共线向量的性质和平面向量加法的几何意义进展求解即可.
【详解】
11121()().33333
AD AB BD AB BC AB BA AC AB AB AC AB AC =+=+=++=+-+=+应选：B
【点睛】此题考察了平面向量根本定理的应用，考察了平面向量加法的几何意义，考察了一共线向量的性质，属于根底题. 8.1sin 8
α=
，那么cos2α的值是( ) A. 3132- B. 3132 C. 6364 D. 6364- 【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用余弦的二倍角公式可得结果. 【详解】因为1sin 8
α=， 所以22131cos 212sin 12832
αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭ 应选：B
【点睛】此题考察的是三角函数恒等变形中的二倍角公式，属于根底题. 9.3cos ,52πααπ⎛⎫⎛⎫=-∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A. 17- B. 17 C. 7- D. 43
- 【答案】A
【分析】
根据角度的范围，使用平方关系，可得sin α，进一步可得tan α，然后利用两角和的正切公式展开，简单计算，可得结果. 【详解】由3cos 5α=-且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
所以24sin 1cos 5
αα，那么sin tan s 43co ααα==- 那么41tan tan
134tan 4471tan tan 1143παπαπα-++⎛⎫+===- ⎪⎛⎫⎝⎭-⋅--⋅ ⎪⎝⎭ 应选：A
【点睛】此题考察平方关系以及两角和的正切公式，重在于对公式的应用，考验计算才能，属根底题.
10.在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，那么这两个数的和是( )
A. 1144
B. 1134
C. 1124
D. 1114
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题设条件，设中间两数为x ，y ，由3，x ，y 成等比数列，知2
3x y =，由x ，y ，9等比数列，知29y x =+，列出方程组2329x y y x ⎧=⎨=+⎩
，解方程组从而求得这两个数的和． 【详解】设中间两数为x ，y ，
那么2329
x y y x ⎧=⎨=+⎩， 解之得92274
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以4511144
x y +=
=． 应选：D ． 【点睛】此题主要考察等差中项等比中项的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.
11.在△ABC 中，假如sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 〔 〕 A. 23 B. 23- C. 13- D. 14
- 【答案】D
【解析】
【详解】解：由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4
可设a=2k ，b=3k ，c=4k 〔k ＞0〕由余弦定理可得，cosC=1-4
,选D 12.在数列{}n a 中，114a =-，1
11(1)n n a n a -=->，那么2019a 的值是〔 〕 A.
45 B. 14- C. 5 D. 以上都不
对 【答案】A
【解析】
【分析】
列举出数列的前几项，找到数列的周期，由此求得2019a 的值. 【详解】依题意23411231141115,1,154
a a a a a a a =-==-==-=-=，故数列是周期为3的
周期数列，故2019345
a a ==，应选A. 【点睛】本小题主要考察递推数列，考察数列的周期性，考察合情推理，属于根底题.
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13.0
01tan151tan15
-=+ ．
【解析】
【分析】
根据两角差的正切公式，可直接求出结果.
【详解】00000001tan15tan 45tan15tan 301tan151tan 45tan 513
-==+-=+
故答案为3
【点睛】此题主要考察两角差的正切公式，熟记公式即可，属于常考题型.
14.向量()4,5a =-，(),1b λ=，假设()//a b b -，那么λ的值是__________. 【答案】45-
【解析】
【分析】
先算出a b -的坐标，然后由()//a b b -建立方程求解即可.
【详解】因为()4,5a =-，(),1b λ=，
所以()4,4a b λ-=--，
因为()//a b b -，所以44λλ=--，解得45λ=-
故答案为：45
-
【点睛】假设()()1122,,,,//a x y b x y a b ==，那么1221x y x y =
15.{}n a 是等差数列,471015a a a ++=,那么其前13项和13S =___________.
【答案】65
【解析】
因为471015a a a ++=，所以1137713713()315,5,1365.2
a a a a S a +==∴=== 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用根本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目的明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列根本规律的深入表达，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进展适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量〞的方法.
16.数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，那么该等差数列的通项公式n a =______．
【答案】41n -
【解析】
【分析】
由2n ≥时，1.1n n n a S S n -=-=时，11a S =即可得解.
【详解】22n S n n =+，2n ≥时，(22
12[21)141n n n a S S n n n n n -⎤=-=+--+-=-⎦． 1n =时，113a S ==，对于上式也成立．
41n a n ∴=-．
故答案为41n -．
【点睛】给出n S 与n a 的递推关系求n a ，常用思路是：一是利用1,2n n n a S S n -=-≥转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求
n a . 应用关系式11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩时，一定要注意分1,2n n =≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.．
三、解答题〔一共70分〕
17.向量(1,0)a =，(1,1)b =． 〔Ⅰ〕分别求a b +，a b -的值；
〔Ⅱ〕当λ为何值时，a b λ+与b 垂直？ 【答案】(1) 1a b -=.
(2) 当12λ=-时，a b λ+与b 垂直. 【解析】
分析：〔1〕根据题意结合向量坐标运算，求出()()2,1,0,1a b a b +=-=-，再计算模长即可；〔2〕a b λ+与b 垂直故()
0a b b λ+⋅=，代入坐标计算即可.
详解：
〔Ⅰ〕 ()1,0a =，()1,1b =，()()2,1,0,1a b a b ∴+=-=-， 于是5a b +=，1a b -=；
〔Ⅱ〕 ()1,a b λλλ+=+，由题意可知：()0a b b λ+⋅=， 即10λλ++=，解得12λ=-，故当12λ=-时，a b λ+与b 垂直. 点睛：考察向量坐标的运算，向量模长，向量的垂直等式关系，对根本公式的定义的熟悉是解题关键，属于根底题.
18.,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，且1sin 3α=． 〔1〕求sin 2α的值；〔2〕假设()3
sin 5αβ+=-，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，求sin β的值．
【答案】(1) .
(2) 415
+. 【解析】
【详解】分析：〔1〕根据正弦的二倍角公式求解即可；〔2〕由()βαβα=+-，然后两边取正弦计算即可.
详解：
〔Ⅰ〕 2（，）παπ∈，且1sin 3α=，cos 3
α∴=-，-------2分
于是 sin22sin cos ααα== 〔Ⅱ〕,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,02πβ∈（，）,322（，）παβπ∴+∈,结合()3sin 5αβ+=-得：()4cos 5
αβ+=-， 于是 ()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+-+⎣⎦
341553⎛⎛⎫=-⋅--⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭点睛：考察二倍角公式，同角三角函数关系，三角凑角计算，对于()βαβα=+-的配凑是解第二问的关键，属于中档题.
19.设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =.
(1)求B 的大小．
(2)假设a =5c =，求b
【答案】(1) 6B π=
(2) b = 【解析】
【分析】
〔1〕根据正弦定理sin sin a b A B
=可解得角B ；〔2〕由余弦定理，将代入，可得b ． 【详解】解：〔1〕由2sin a b A =，得sin 2sin sin A B A =，又因B 为锐角，解得6B π
=．
(2)
由题得2222cos 27252552457b a c ac B =+-=+-⨯=-=
，解得b =
【点睛】此题考察正，余弦定理解三角形，属于根底题．
20.等比数列{}n a 中，15314a a a ==，
． 〔1〕求{}n a 的通项公式；
〔2〕记n S 为{}n a 的前n 项和．假设63m S =，求m ．
【答案】〔1〕()
12n n a -=-或者12n n a -= .
〔2〕6m =.
【解析】
分析：〔1〕列出方程，解出q 可得；〔2〕求出前n 项和，解方程可得m ．
详解：〔1〕设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=． 由得42
4q q =，解得0q =〔舍去〕，2q =-或者2q =．
故()12n n a -=-或者12n n a -=． 〔2〕假设()
12n n a -=-，那么()123n n S --=．由63m S =得()2188m
-=-，此方程没有正整数解． 假设12n n a -=，那么21n n S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．
综上，6m =．
点睛：此题主要考察等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于根底题．
21.等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a +=.
〔1〕求1a 及n a ；
〔2〕假设等比数列{}n b 满足11b a =，22b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .
【答案】〔1〕12a =，2n a n =；〔2〕2122n n S n n +=++-.
【解析】
【分析】
〔1〕直接利用等差数列公式计算得到答案.
〔2〕计算22n n n a b n +=+，再利用分组求和法计算得到答案.
【详解】〔1〕由126a a +=，得126a d +=，又2d =，∴12a =，∴()2212n a n n =+-=； 〔2〕由题意12b =，224b q ==，即2q
，∴2n n b =，于是22n n n a b n +=+， 故()()()2212212242222222212n
n n n n n S n n n ++-=+++++++=+=++--.
【点睛】此题考察了等差数列，等比数列通项公式，分组求和，意在考察学生对于数列公式方法的灵敏运用.
22.ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且32,cos 5a B ==
. (1)假设4b =,求sin A 的值;
(2)假设4ABC S ∆=,求b ,c 的值.
【答案】(1)
25
;(2)b =【解析】
【分析】
(1)先求出sin B ，再利用正弦定理可得结果；
(2)由ABC S ∆求出c ，再利用余弦定理解三角形.
【详解】(1)∵3cos 05
B =
>,且0B π<<，
∴4sin 5B ==， 由正弦定理得sin sin a b A B
=， ∴4
2sin 25sin 45a B A b
⨯=
==；
(2)∵1sin 42
ABC S ac B ∆==， ∴142c 425⨯⨯⨯=， ∴5c =， 由余弦定理得2222232cos 25225175
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯
=，
∴b =【点睛】此题考察正弦余弦定理解三角形，是根底题.
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不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

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播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

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百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。