高考数学模拟复习试卷试题模拟卷第03节 几何概型0015 10

高考模拟复习试卷试题模拟卷第03节 几何概型
A 基础巩固训练
1.在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x≥cos x”发生的概率为( ) A.14 B.12 C.3
4 D ．1 【答案】 C
【解析】 ∵sin x≥cos x ，x ∈[0，π]， ∴π
4
≤x≤π， ∴事件“sin x≥cos x”发生的概率为π－
π4π－0＝3
4
.
2.(·西城模拟)在区间[0,2]上任取两个实数a ，b ，则函数f(x)＝x3＋ax －b 在区间[－1,1]上有且只有一个零点的概率是( )
A.18
B.14
C.34
D.7
8
【答案】D
3.如图10-6-8所示，墙上挂有一边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，a
2为半径的扇形，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，
则他击中阴影部分的概率是( ) A ．1－π4B.π
4
C ．1－π
8
D.与a 的取值有关
【解析】 由题意知，阴影部分的面积为a2－4×14×π⎝⎛⎭⎫a 22＝
⎝⎛⎭⎫1－π4a2，故概率为1－π
4. 【答案】 A
4. (·阜阳模拟)一艘轮船从O 点的正东方向10 km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10 km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( ) A.
2－1
2
B.1－
22
C.2－1
D.2－ 2
【答案】 D
【解析】 以O 为圆心，r 为半径作圆，易知当r ＞52时，轮船会遭受台风影响，所以P ＝10－52
10－5＝
10－52
5
＝2－ 2. 5.在棱长为2的正方体ABCD －A1B1C1D1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A1B1C1D1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 【答案】1－π
12
B 能力提升训练
1. 【高考辽宁卷第6题】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（ ） A ．
2π B ．4π C ．6π D ．8
π
【答案】B
2. 在区间（0,1
）内任取两个实数，则这两个实数的和大于1
3
的概率为（
）
A．
17
18
B．
7
9
C．
2
9
D．
1
18
【答案】A
3.【湖北八校高三第二次联考数学试题】记集合{}
22
(,)|4
A x y x y
=+≤和集合{}
(,)|20,0,0
B x y x y x y
=+-≤≥≥表示的平面区域分别为
1
Ω和
2
Ω，若在区域
1
Ω内任取一点(,)
M x y，则点M落在区域
2
Ω的概率为.
【答案】
1
2π
B
A
y
x
O
4.一只小蜜蜂在一个棱长为4的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )
A ．18
B ．116
C ．127
D ．2764
【答案】A
【解析】根据几何概型知识，概率为体积之比，即P ＝
4－2343
＝18
. 5. (·福建三明质量检测)已知集合M ＝{x|－2≤x ≤8}，N ＝{x|x2－3x ＋2≤0}，在集合M 中任取一个元素x ，则“x ∈(M ∩N)”的概率是( )
A ．110
B ．16
C ．310
D ．12
【答案】A
【解析】因为N ＝{x|x2－3x ＋2≤0}＝[1,2]，所以M ∩N ＝[1,2]，所以所求的概率为2－18＋2＝1
10
.
C 思维扩展训练
1. 【东莞市高三模拟考试一】已知(2,1)A ，(1,2)B -，31,55C ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，动点(,)P a b 满足02OP OA ≤⋅≤且
02OP OB ≤⋅≤，则点P 到点C 的距离大于1
4
的概率为（ ）
A ．5164π-
B ．564π
C ．116
π
- D ．16π 【答案】A
2. 【高考重庆卷第15题】某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）
【答案】
9
32
【解析】用x表示小张到校的时间，3050
x
≤≤,用y表示小王到校的时间，3050
y
≤≤
则所有可能的结果对应直角坐标平面内的正方形区域ABCD
记“小张比小王至少早到5分钟”为事件M,则M所对区域为图中的阴影部分DEF
∆
所以()
1
15159
2
202032
DEF
ABCD
S
P A
S
∆
⨯⨯
===
⨯
正方形
，所以答案应填：
9
32
.
3. （济南市高三3月考模拟考试）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A—A1BD内的概率为．
【答案】
1
6
4. 【北京市丰台区高三一模】设不等式组
2210
x y
y
⎧+-≤
⎨
≥
⎩
，
表示的平面区域为M，不等式组
2
01
t x t
y t
-≤≤
⎧⎪
⎨
≤≤-
⎪⎩
，
表示的平面区域为N.在M内随机取一个点，这个点在N内的概率的最大值是_________.【答案】
2
π
5. 若k∈[－3,3]，则k的值使得过A(1,1)可以作两条直线与圆(x－k)2＋y2＝2相切的概率等于( )
A ．12
B ．13
C ．23
D ．34
【答案】C
【解析】点在圆外，过该点可做两条直线与圆相切．故使圆心与点A 的距离大于半径即可，即(1－k)2＋1＞2，解得k ＜0或k ＞2，所以所求k ∈[－3,0)∪(2,3]，所求概率P ＝46＝2
3
.
高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆
一．基础题组
1.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1）若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于( )
A ．1
B ．13-
C ．2
3
-
D ．2- 2.（文昌中学高三模拟考试、文、15）圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．
3.（重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线
)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为.
4.（重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16）若实数c b a ,,成等差数列，点)0,1(-P 在动直线
0:==+c by ax l 上的射影为M ，点)3,0(N ，则线段MN 长度的最小值是．
二．能力题组
1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2
1y x =+在点（1，2）处的切线为l ，则直线l 上的任意点P 与圆22
430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是（ ）
A.
4515- B.25
15
- C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14）已知圆的方程为()2
2
14x y +-=。

若过点11,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的方程为。

3.（武汉市部分学校 新高三调研、文、15）圆O 的半径为1,P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.
三．拔高题组
1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7）过点),(a a A 可作圆
0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．3-<a 或1>a
B ．2
3<
a C ．13<<-a 或2
3
>
a D ．3-<a 或231<<a
2.（大庆铁人中学高三第一阶段考试、文、7）一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆
22(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A ．53-
或35-B ．32-或23-C ．54-或45-D ．43-或3
4
- 3.(齐齐哈尔市实验中学高三期末考试、文、9）若),(y x P 是直线)0(04>=++k y kx 上一动点，
PB PA ,是圆02:22=-+y y x C 的两条切线，B A ,是切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则=
k （ ）
A. 3
B.
2
21
C. 22
D. 2 4.（云南师范大学附属中学月考、文、12）设直线l 与抛物线x2=4y 相交于A, B 两点，与圆C ：
222(5)x y r +-= (r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是
（ ）
A.（1，3)
B. (1,4)
C. (2, 3)
D. (2, 4)
5.（玉溪市第一中学高三月考、文、16）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线
30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值是
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题； 【重点知识梳理】 1．正、余弦定理
在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理 内容
a sin A ＝
b sin B ＝
c sin C ＝2R
a2＝b2＋c22bccos__A ；
b2＝c2＋a22cacos__B ； c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见 变形
(1)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin__B ，c ＝2Rsin_C ；
(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R ； (3)a ∶b ∶c ＝sin__A ∶sin__B ∶sin__C ； (4)asin B ＝bsin A ，bsin C ＝csin B ，asin C ＝csin A
cos A ＝b2＋c2－a2
2bc ； cos B ＝
c2＋a2－b2
2ac
； cos C ＝
a2＋b2－c22ab
2.S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝1
2(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r.
【高频考点突破】
考点一利用正、余弦定理解三角形
例1、(1)在△ABC 中，∠ABC ＝π
4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝() A.1010
B.105
C.31010
D.55
(2)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝22
3，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为________．
【提分秘籍】 利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数．
【变式探究】
在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2asin ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝c.
(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin Bsin C 的取值范围．
考点二三角形形状的判断
例2、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc os C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为()
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
【提分秘籍】
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法
(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．
注意：在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．
【变式探究】
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b2＋c2＝a2＋bc.
(1)求角A 的大小；
(2)若sin B·sin C ＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．
考点三三角形的面积问题
例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c.已知cos 2A －3cos(B ＋C)＝1.
(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin Bsin C 的值． 【方法技巧】
三角形的面积求法最常用的是利用公式S ＝12absin C ＝12acsinB ＝12bcsin A 去求．计算时注意整体运算及
正、余弦定理的应用．
【变式探究】
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若acos2C 2＋ccos2A 2＝32b.
(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；
(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 考点四解三角形
例4、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B 2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－
3
5.
(1)求cos A 的值；
(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．
【提分秘籍】
正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题、多以解答题形式出现．
【真题感悟】
【高考广东，文5】设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos A =，且b c <，则b =（ ） A ．3B ．2C ．22D ．3
【高考福建，文14】若ABC ∆中，3AC =045A =，075C =，则BC =_______．
【高考重庆，文13】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,且
12,cos ,4
a C 3sin 2sin A B ,则c=________.
【高考安徽，文12】在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .
【高考北京，文11】在C ∆AB 中，3a =，6b =，23
π∠A =，则∠B =． 4
π【高考山东，文17】ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知36cos ,sin (),2339
B A B ac =+==求sin A 和c 的值. 【高考天津，文16】（本小题满分13分）△AB
C 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4b c A -==-
（I ）求a 和sinC 的值;
（II ）求πcos 26A ⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值. 【高考新课标1，文17】（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.
（I ）若a b =，求cos ;B
（II ）若90B =，且2,a =求ABC ∆的面积.
【高考天津，文16】（本小题满分13分）△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为315,12,cos ,4b c A -==-
（I ）求a 和sinC 的值;
（II ）求πcos 26A ⎛⎫+
⎪⎝⎭
的值.
【押题专练】
1．在△ABC 中，A ，B ，C 为内角，且sin Acos A ＝sin Bcos B ，则△ABC 是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形 2．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B·cos C ，且tan B·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π4B.π3
C.π2
D.3π4 3．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b.若2asin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12B.π6
C.π4
D.π3
4．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且acos C ，bcos B ，ccos A 成等差数列，则B 的值为
( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ac ＝3，且a ＝3bsin A ，则△ABC 的面积等于
( )
A.12
B.32
C ．1 D.34
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )
A.14
B.34
C.24
D.23
7．△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a2－c2＝2b ，且sin B ＝6cos A·s in C ，则b 的值为________．
8．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边，且3a ＝2csin A.
(1)求角C 的度数；
(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．
9．已知函数f(x)＝2sin xcos x ＋23cos2x －3，x ∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在锐角△ABC 中，若f(A)＝1，AB →·AC →＝2，求△ABC 的面积．
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A)cos B ＝0.
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，2bcos C＝2a－c，
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3，求b的取值范围．
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a,2c－
b)，且m∥n.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．高考模拟复习试卷试题模拟卷。