2020年四川省成都市天府新区中考数学一诊试卷

中考数学一诊试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列是一元二次方程的是（）
A. x2-2x-3=0
B. x-2y+1=0
C. 2x+3=0
D. x2+2y-10=0
2.一个由半球和圆柱组成的几何体如图水平放置，其俯视图为（）
A.
B.
C.
D.
3.菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的面积是（）
A. 10
B. 20
C. 24
D. 48
4.在△ABC中，若∠C=90°，cos A=，则∠A等于（）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
5.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2：3，则S△ABC：S△DEF为（）
A. 2：3
B. 4：9
C. ：
D. 3：2
6.如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A，D两
个端点之间的距离为10m，，则容器的内径是（）
A. 5cm
B. 10cm
C. 15cm
D. 20cm
7.如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF=2：5，那么下列结论正确的
是（）
A. AC：EC=2：5
B. AB：CD=2：5
C. CD：EF=2：5
D. AC：AE=2：5
8.某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元，如果平
均每月增长率为x，则由题意可列方程（）
A. 100（1+x）2=500
B. 100+100•2x=500
C. 100+100•3x=500
D. 100[1+（1+x）+（1+x）2]=500
9.在同一坐标系中，函数y=和y=kx+3（k≠0）的图象大致是（）
A. B.
C. D.
10.如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并
延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE
的面积为（）
A. 12
B. 15
C. 16
D. 18
二、填空题（本大题共9小题，共36.0分）
11.若，则=______．
12.抛物线y=x2-4x-4的顶点坐标是______．
13.设A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=-图象上的两点，若x1＜x2＜0，则y1
与y2之间的关系是______．
14.如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD
于点M，N；
②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，
两弧相交于点P；
③作AP射线，交边CD于点Q．
若QC=1，BC=3，则平行四边形ABCD周长为______
15.设a、b是方程x2+x-2021=0的两个实数根，则（a-1）（b-1）的值为______．
16.在一个不透明的袋中装有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小明在袋中放入
3个黑球（每个球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在
0.85左右，则袋中红球约有______个．
17.已知一列数a1，a2，…，a n（n为正整数）满足a1=1，a2==，…，a n=，
请通过计算推算a2019=______，a n=______．（用含n的代数式表示）
18.如图，点A在双曲线y=（k≠0）的第一象限的分支上，
AB垂直x轴于点B，点C在x轴正半轴上，OC=2AB，
点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，
连接CD，若△CDE的面积为1，则k的值为______．
19.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是A边上
一点，且AE=，点F是边BC上的任意一点，把△BEF
沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则
四边形AGCD的面积的最小值为______．
三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）
20.（1）计算：（π-2）0-2cos30°-
（2）解方程：x2-5x+4=0．
21.已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且
MB=MC．求证：四边形ABCD是矩形．
22.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角
分别为45°，35°．已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整数）
（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）
23.今年猪肉价格受非洲猪瘟疫情影响，有较大幅度的上升，为了解某地区养殖户受非
洲猪瘟疫情感染受灾情况，现从该地区建档的养殖户中随机抽取了部分养殖户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A级：非常严重；B级：严重；C级：一般；
D级：没有感染），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解决下列问题：
（1）本次抽样调查的养殖户的总户数是______；把图2条形统计图补充完整．（2）若该地区建档的养殖户有1500户，求非常严重与严重的养殖户一共有多少户？
（3）某调研单位想从5户建档养殖户（分别记为a，b，c，d，e）中随机选取两户，进一步跟踪监测病毒传播情况，请用列表或画树状图的方法求出选中养殖户e的概率．
24.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+m的图象与反比例函数y=（x＞0）的
图象交于A、B两点，已知A（2，4）.
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求B点的坐标；
（3）连接AO、BO，求△AOB的面积．
25.如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线
MN，且∠MAC=∠ABC．
（1）求证：MN是⊙O的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过
点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
①求证：FD=FG．
②若BC=3，AB=5，试求AE的长．
26.为建设天府新区“公园城市”，实现城市生活垃圾减量化、资源化、无害化的目
标．近日，成都市天府新区计划在各社区试点实施生活垃圾分类处理活动，取得市民积极响应．某创业公司发现这一商机，研发生产了一种新型家庭垃圾分类桶，并投入市场试营销售．已知该新型垃圾桶成本为每个40元，市场调查发现，该垃圾
桶每件售价y（元）与每天的销售量为x（个）的关系如图．为推广新产品及考虑每件利润因素，公司计划每天的销售量不低于1000件且不高于2000件．
（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（个）的函数关系式；
（2）设该公司日销售利润为W（元），求每天的最大销售利润是多少元？
27.已知，在△ABC和△EFC中，∠ABC=∠EFC=90°，点E在△ABC内，且∠CAE+∠CBE=90°
（1）如图1，当△ABC和△EFC均为等腰直角三角形时，连接BF，
①求证：△CAE∽△CBF；
②若BE=2，AE=4，求EF的长；
（2）如图2，当△ABC和△EFC均为一般直角三角形时，若=k，BE=1，AE=3，CE=4，求k的值．
28.已知，如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（1，9），经过抛物线上的两
点A（-3，-7）和B（3，m）的直线交抛物线的对称轴于点C．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）在抛物线上A，M两点之间的部分（不包含A，M两点），是否存在点D，使得S△DAC=2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）上下平移直线AB，设平移后的直线与抛物线交与A′，B′两点（A′在左边，B'在右边），且与y轴交与点P（0，n），若∠A′MB′=90°，求n的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是一元二次方程，故此选项正确；
B、是二元一次方程，故此选项错误；
C、是一元一次方程，故此选项错误；
D、是二元二次方程，故此选项错误；
故选：A．
根据一元二次方程的定义即可求出答案．
此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】A
【解析】解：这个几何体的俯视图为：
故选：A．
根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形作答．
本题考查了简单几何体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了菱形的性质．菱形的面积等于对角线积的一半是解此题的关键．
由菱形的两条对角线的长分别是6和8，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案．
【解答】
解：∵菱形的两条对角线的长分别是6和8，
∴这个菱形的面积是：×6×8=24．
故选C．
4.【答案】C
【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，cos A=，
∴∠A=60°．
故选：C．
根据∠A为△ABC的内角，且∠C=90°可知∠A为锐角，再根据cos A=即可求出∠A的度数．
本题比较简单，考查的是直角三角形的性质及特殊角的三角函数值．
5.【答案】B
【解析】解：因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
所以S△ABC：S△DEF=（）2=，故选B．
因为两相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以．
本题比较容易，考查了两个相似三角形面积比等于相似比的平方的性质．
6.【答案】C
【解析】解：连接AD、BC，
∵，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△BOC，
∴==，
∵A，D两个端点之间的距离为10m，
∴BC=15m，
故选：C．
首先连接AD、BC，然后判定△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质可得==，进
而可得答案．
此题主要考查了相似三角形的应用，关键是掌握相似三角形的判定和性质．
7.【答案】A
【解析】解：∵AB∥CD∥EF，
∴AC：EC=BD：DF=2：5，
AC：AE=BD：BF=2：7．
故选：A．
根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．8.【答案】D
【解析】解：设平均每月增长率为x，
100[1+（1+x）+（1+x）2]=500．
故选：D．
如果平均每月增长率为x，根据某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元，可列方程．
本题考查理解题意的能力，分别求出一，二，三月份的，以总和为等量关系列出方程．9.【答案】C
【解析】解：分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；
②当k＜0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、
四象限．
故选C．
根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函
数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
10.【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC=AB=4．
设OA=r，则OC=r-2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r-2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE===6，
∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12．
故选：A．
先根据垂径定理求出AC的长，再设OA=r，则OC=r-2，在Rt△AOC中利用勾股定理求出r的值，再求出BE的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：∵=，
∴3（x+y）=5y，
∴3x=2y，
∴=．
故答案为：．
根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可．
本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，需熟记．12.【答案】（2，-8）
【解析】解：解法1：利用公式法y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为（，），
代入数值求得顶点坐标为（2，-8）；
解法2：利用配方法y=x2-4x-4=x2-4x+4-8=（x-2）2-8，
所以顶点的坐标是（2，-8）．
故答案为：（2，-8）．
本题可以运用配方法求顶点坐标，也可以根据顶点坐标公式求坐标．
本题考查求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．
13.【答案】y2＞y1＞0
【解析】解：∵反比例函数y=-中，k=-2＜0，
∴函数图象的两个分支位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴y2＞y1＞0．
故答案为：y2＞y1＞0．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0即可得出结论．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
14.【答案】14
【解析】解：∵由作图可知，AQ是∠DAB的平分线，
∴∠DAQ=∠BAQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，
∴∠DAQ=∠DQA，
∴△AQD是等腰三角形，
∴DQ=AD=3．
∵QC=1，
∴CD=DQ+CQ=3+1=4，
∴平行四边形ABCD周长=2（DC+AD）=2×（4+3）=14．
故答案为：14．
根据角平分线的性质可知∠DAQ=∠BAQ，再由平行四边形的性质得出CD∥AB，
BC=AD=3，∠BAQ=∠DQA，故可得出△AQD是等腰三角形，据此可得出DQ=AD，进而可得出平行四边形ABCD周长．
本题考查的是复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
15.【答案】-2019
【解析】解：∵a、b是方程x2+x-2021=0的两个实数根，
∴a+b=-1，ab=-2021，
∴（a-1）（b-1）=ab-（a+b）+1=-2021+1+1=-2019，
故答案为：-2019．
根据根与系数的关系得出a+b=-1，ab=-2021，再代入计算即可．
本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
16.【答案】17
【解析】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.85左右，口袋中有3个黑球，
∵假设有x个红球，
∴=0.85，
解得：x=17，
经检验x=17是分式方程的解，
∴口袋中有红球约有17个．
故答案为：17．
根据口袋中有3个黑球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
17.【答案】
【解析】解：根据题意得，
a1=1=；
a2=；
a3==；
…
发现规律：
∴a n=．
∴a2019==．
故答案为：，．
根据题意先计算出前几个数，发现规律即可求解．
本题考查了规律型-数字的变化类，解决本题的关键是写出前几个数之后，寻找规律，总结规律，运用规律．
18.【答案】
【解析】解：设A（a，b），
∵OC=2AB，点D为OB的中点，
∴C（2a，0），D（0，b），
∵AE=3EC，△CDE的面积为1，
∴S△ADC=4S△CDE=4，
∵S梯形ABOC=S△ABD+S△OCD+S△ADC，
∴（a+2a）•b=•a•b+•2a•b+4，
∴ab=，
∵点A在双曲线y=（k≠0）的图象上，
∴k=．
故答案为．
设A（a，b），则C（2a，0），D（0，b），根据三角形面积公式，由AE=3EC得到S△ADC=4S△CDE=4，由于S梯形ABOC=S△ABD+S△OCD+S△ADC，则（a+2a）•b=•a•b+•2a•b+4，整理得ab=，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到k=．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一
个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
19.【答案】
【解析】解：如图，
在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∠B=∠D=90°，
连接AC，
∴AC=5，
∵AB=3，AE=，
∴点F是边BC上的任意位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
S四边形AGCD=S△ACD+S△ACG
=3×4+×5h，
=6+h．
要使四边形AGCD的面积的最小，
即h最小．
∵点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的内部．
过点E作EH⊥AC，交圆E于点G，此时h最小．
在Rt△ABC中，sin∠BAC==，
在Rt△AEH中，AE=，
sin∠BAC==，
解得EH=AE=，
EG=BE=AB-AE=3-，
∴h=EH-EG=-（3-）=-3．
∴S四边形AGCD=6+×（-3）
=-=．
故答案为：．
根据矩形ABCD中，AB=3，BC=4，可得AC=5，由AE=可得点F是边BC上的任意位置时，点C始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，要使四边形AGCD的面积的最小，即h最小．所以点G在以点E为圆心，BE为半径的圆上，且在矩形ABCD的
内部．过点E作EH⊥AC，交圆E于点G，此时h最小．根据锐角三角函数先求得h的值，再分别求得三角形ACD和三角形ACG的面积即可得结论．
本题考查了翻折变换，解决本题的关键是确定满足条件的点G的位置，运用相似、锐角三角函数等知识解决问题．
20.【答案】解：（1）原式=1-2×-4+-1
=1--4+-1
=-4；
（2）分解因式得：（x-1）（x-4）=0，
可得x-1=0或x-4=0，
解得：x1=1，x2=4．
【解析】（1）原式利用零指数幂法则，特殊角的三角函数值，算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；
（2）方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程的解法，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SSS），
∴∠A=∠D=90°，
即可得出平行四边形ABCD是矩形．
【解析】根据平行四边形的两组对边分别相等可知△ABM≌△DCM，可知∠A=∠D=90°，所以是矩形．
此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，即有一个角是90度的平行四边形是矩形．
22.【答案】解：作AD⊥BC交CB的延长线于D，
设AD为x，
由题意得，∠ABD=45°，∠ACD=35°，
在Rt△ADB中，∠ABD=45°，
∴DB=x，
在Rt△ADC中，∠ACD=35°，
∴tan∠ACD=，
∴=，
解得，x≈233m．
【解析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角和俯角的概念、掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，解答时，注意正确作出辅助线构造直角三角形．
作AD⊥BC交CB的延长线于D，设AD为x，表示出DB和DC，根据正切的概念求出x 的值即可．
23.【答案】60
【解析】解：（1）21÷35%=60户，60-9-21-9=21户，
故答案为：60，补全条形统计图如图所示：
（2）1500×=750户，
答：若该地区建档的养殖户有1500户中非常严重与严重的养殖户一共有750户；
（3）用表格表示所有可能出现的情况如下：
共有20种不同的情况，其中选中e的有8种，
∴P（选中e）==，
（1）从两个统计图可得，“B级”的有21户，占调查总户数的35%，可求出调查总户数；求出“C级”户数，即可补全条形统计图：
（2）样本估计总体，样本中“严重”和“非常严重”占，估计总体1500户的
是“严重”和“方程严重”的户数；
（3）用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
24.【答案】解：（1）将A（2，4）代入y=-x+m与y=（x＞0）中
得4=-2+m，4=，
∴m=6，k=8，
∴一次函数的解析式为y=-x+6，反比例函数的解析式为y=；
（2）解方程组得或，
∴B（4，2）；
（3）设直线y=-x+6与x轴，y轴交于C，D点，易得D（0，6），
∴OD=6，
∴S△AOB=S△DOB-S△AOD=×6×4-×6×2=6．
【解析】（1）由点A的坐标利用一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数解析式；
（2）联立方程，解方程组即可求得；
（3）求出直线与y轴的交点坐标后，即可求出S△AOD和S△BOD，继而求出△AOB的面积．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式；利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．
25.【答案】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°；
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB，
∴MN是⊙O的切线；
（2）①证明：∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC=∠ABD，
∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD=90°，
∵∠DBC=∠ABD，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，
∴FD=FG；
②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．
∵∠DBC=∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，
∴DE=DH，
在Rt△BDE与Rt△BDH中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△BDH（HL），
∴BE=BH，
∵D是弧AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE与Rt△CDH中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDH（HL）．
∴AE=CH．
∴BE=AB-AE=BC+CH=BH，即5-AE=3+AE，
∴AE=1．
【解析】（1）由AB为直径知∠ACB=90°，∠ABC+∠CAB=90°．由∠MAC=∠ABC可证得∠MAC+∠CAB=90°，则结论得证；
（2）①证明∠BDE=∠DGF即可．∠BDE=90°-∠ABD；∠DGF=∠CGB=90°-∠CBD．因为D 是弧AC的中点，所以∠ABD=∠CBD．则问题得证；
②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，可得AE=CH．根据AB=BH可求出答案．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键．
26.【答案】解：（1）设y与x的函数解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵函数图象过点（1500，55）和（2000，50），
∴，
∴，
∴y与x的函数解析式为：y=-0.01x+70；
（2）由题意得，
w=（y-40）x=（-0.01x+70-40）x=-0.01x2+30x，
即w=-0.01x2+30x，
∵-0.01＜0，
∴当x=时，，
∵1000≤x≤2000，
∴当每天销售1500件时，利润最大为22500元．
∴每天的最大销售利润是22500元．
【解析】（1）设y与x的函数解析式为：y=kx+b（k≠0），将函数图象上的两个点的坐标代入列出方程组，进行解答便可；
（2）根据“利润=（售价-进价）×销售量“列出函数解析式，然后根据二次函数的性质，求出其最大值．
本题是一次函数与二次函数的应用的综合题，主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，待定系数法求函数的解析式，求二次函数的最大值，关键是正确运用待定系数法和从实际问题中列出二次函数的解析式．
27.【答案】解：（1）①∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，
∴∠ECF=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACE，
∵△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，
∴CE=CF，AC=CB，
∴=，
∴，
∴△BCF∽△ACE；
②由①知，△BCF∽△ACE，
∴∠CBF=∠CAE，=，
∴BF=AE=×4=2，
∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
即：∠EBF=90°，
根据勾股定理得，EF===2；
（2）如图（2），连接BF，
在Rt△ABC中，tan∠ACB==k，
同理，tan∠ECF=k，
∴tan∠ACB=tan∠ECF，
∴∠ACB=∠ECF，
∴∠BCF=∠ACE，
在Rt△ABC中，设BC=m，则AB=km，
根据勾股定理得，AC==m；
在Rt△CEF中，设CF=n，则EF=nk，同理，CE=n
∴，=，
∴，
∵∠BCF=∠ACE，
∴△BCF∽△ACE，
∴∠CBF=∠CAE，
∵∠CAE+∠CBE=90°，
∴∠CBF+∠CBE=90°，
即：∠EBF=90°，
∵△BCF∽△ACE，
∴，
∴BF=AE=，
∵CE=4，
∴n=4，
∴n=，
∴EF=，
在Rt△EBF中，根据勾股定理得，BE2+BF2=EF2，
∴12+（）2=（）2，
∴k=或k=-（舍），
即：k的值为．
【解析】（1）①先判断出∠BCF=∠ACE，再判断出，即可得出结论；
②先判断出∠CBF=∠CAE，进而判断出∠EBF=90°，再求出BF=2，最后用勾股定理求解即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF=∠ACE，再判断出，进而判断出△BCF∽△ACE，进而表示出BF=，再表示出EF=，最后用勾股定理得，BE2+BF2=EF2，建立方程求解即可
得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，判断出∠EBF=90°是解本题的关键．
28.【答案】解：（1）抛物线的表达式为：y=a（x-1）2+9，
将点A的坐标代入上式并解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+8，
将点B坐标代入上式并解得：m=5，
故点B（3，5）；
（2）过点M、C、A分别作三条相互平移的平行线，分别交y轴于点G、H、N，直线l 与抛物线交于点D，
设直线m的表达式为：y=kx+t，将点M的坐标代入上式并解得：t=9-k，
故直线m的表达式为：y=kx+9-t，即点G（0，9-t），
同理直线l的表达式为：y=kx+1-k，故点H（0，1-k），
同理直线n的表达式为：y=kx+3k-7，故点N（3k-7），
S△DAC=2S△DCM，则HN=2GH，
即1-k-（3k-7）=2（9-k-1+k），
解得：k=-2，
故直线l的表达式为：y=-2x+3…②，
联立①②并解得：x=5（舍去）或-1，
故点D（-1，5）；
（3）直线A′B′的表达式为：y=2x+n，
设点A′、B′的坐标分别为：（x1，y1）、（x2，y2），
将抛物线与直线A′B′的表达式联立并整理得：
x2+n-8=0，
故x1+x2=0，x1x2=n-8，
y1+y2=2（x1+x2）+2n=2n，同理可得：y1y2=4n-32+n2，
过点M作x轴的平行线交过点A′与y轴的平行线于点G，交过点B′与y轴的平行线于点H，
∵∠A′MB′=90°，
∴∠GMA′+∠GA′M=90°，∠GMA′+∠MHB′=90°，
∴∠GA′M=∠HMB′，故tan∠GA′M=tan∠HMB′，
即：，而x1+x2=0，x1x2=n-8，y1+y2=2n，y1y2=4n-32+n2，
整理得：n2-13n+30=0，
解得：n=3或10（舍去10），
故n=3．
【解析】（1）抛物线的表达式为：y=a（x-1）2+9，将点A的坐标代入上式并解得：a=-1，即可求解；
（2）S△DAC=2S△DCM，则HN=2GH，即1-k-（3k-7）=2（9-k-1+k），即可求解；
（3）∠GA′M=∠HMB′，故tan∠GA′M=tan∠HMB ′，即：，而
x1+x2=0，x1x2=n-8，y1+y2=2n，y1y2=4n-32+n2，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
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