高三数学上学期第二次段考试题理扫描

高级中学2021届高三数学上学期第二次段考试题理〔扫描版〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

高中高三年级第二次段考理数参考答案
一、选择题1-5 CADDC 6-10 AADAC 11-12 BD
二、填空题13、π24 14、5050 15、
3
6
16、①③④ 三、解答题
17、]1,32[tan sin 2
1
,2cos ,,2)1(-∈====∠=⋅→
→
θθθθab S ab ACB CB CA 得由 所以412
);,0(],1,32[tan π
θπ
πθθ≤
≤∈-∈所以
而 2分
()sin 2,cos2m =A A ，()cos2,sin 2n =B B
∴22sin 2cos 21m =A+A =，1n =
θπ2sin 2sin )22sin()22sin(2sin 2cos 2cos 2sin -=-=-=+=+=⋅C C B A B A B A n m θ2sin 45||44|||2|222-=+⋅+=+n n m m n m
，，所以
因为
2
26
4
12
π
θπ
π
θπ
≤
≤≤
≤]
3,1[2sin 45∈-θ,
∴[]
3
,12，∈+→
→n m 6
分
(2)2)4cos(cos sin 34)4sin()(--+-+=π
θθθπθθf
2cos sin 34)cos (sin 2--+=θθθθ 8分
设)4
sin(2cos sin π
θθθ+
=
+=t
2
43412π
πθππθπ≤+≤≤≤，所以因为
所以]2,26
[
∈t ，23223222
134222-++-=--⋅-=t t t t y 对称轴∉=
126t ]2,2
6[,所以当26
=t 时，2max -=y 10分
18.〔1〕证明：∵底面ABCD 是菱形，
60=∠ABC ，∴2===AC AD AB ， 在B AA 1∆中，由2
12
2
1B A AB AA =+知AB AA ⊥1. 同理，AD AA ⊥1.
又∵A AD AB = ，∴⊥1AA 平面ABCD . 6分
〔2〕解：当11=ED
E
A 时，//1
B A 平面EA
C . 7分 证明如下：连结B
D 交AC 于O ，当11=ED
E
A 时，即点E 为D A 1的中点时，连接OE ，那么
B A OE 1//，
∴//1B A 平面EAC .
直线B A 1与平面EAC 之间的间隔 等于点1A 到平面EAC 的间隔 .
∵点E 为D A 1的中点，可转化为D 到平面EAC 的间隔 ，ACD E EAC D V V --=， 9分
设AD 的中点为F ，连接EF ，那么1//AA EF ，∴⊥EF 平面ACD ，且1=EF ，可求得3=∆ACD S ， ∴3
3
3131=⨯⨯=
-ACD E V . 又2=
AE ，2=AC ，2=CE ，2
7
=
∆AEC S ， ∴
3331=⋅∆d S AEC 〔d 表示点D 到平面EAC 的间隔 〕，7
212=d ， ∴直线B A 1与平面EAC 之间的间隔 为
7
21
2. 12分
19解：〔1cos 2sin cos cos A C B A C A =,
)2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =，4分
又B 为三角形的内角，所以sin 0B ≠，于是cos 2
A =，又A 为三角形内角， 因此，6
A π
=. 6分
〔2〕255cos(
)2sin sin cos 1sin cos()1226
C B B C B B ππ
--=+-=+--，
553
sin cos
cos sin sin 1sin 1)16626B B B B B B πππ
=++-=-=--，
8分
由6
A π
=
可知，5(0,
)6B π∈，所以2(,)663
B πππ
-∈-， 10分
从而1
sin()(,1]62
B π
-
∈-,
2)1(1]62B π--∈-
， 故25cos(
)2sin 22
C
B π--
的取值范围为2(1]2-. 12分 20、解：〔1〕11a =,211222a S a === ∵12n n na S +=，∴1(1)2n n n a S --= (2n ≥)， 两式相减得，1(1)2n n n na n a a +--=(2n ≥) ∴1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n ++=( 2n ≥), 1(3).1
n n a n
n a n -=≥-
∴n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅--⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
---22
3
343221122334211(3n ≥)， 又11a =,22=a 也满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =(n ∈*N )。

2分
由2
12n n n b b b ++=⋅，知数列{}n b 是等比数列，其首项、公比均为
1
2
， ∴数列{}n b 的通项公式n n b )2
1
(=。

4分 〔2〕∴211111
2()(1)()()22
22n n n T n n -=
+⋅++-⋅+⋅ ①
∴23111111
()2()(1)()()222
22
n n n T n n +=+⋅++-+ ②
由①-②,得231111111
()()()]()222222
n n n T n +=+++
+-⋅1212n n ++=-,
∴2
2.
2n n n T +=-
6分
又
(1)
123....2n n n n s +=++++=
8分
不等式22(3)n n n n nT b S n b λλ+<+ 即2(1)3(2)2()222
n n n n n n n n λλ++-
+<+，即2
(1)(12)60n n λλ-+--<〔*n ∈N 〕恒成立. 也即226
2n n n n
λ+->+〔*n ∈N 〕恒成立，
令226
()2n n f n n n +-=+．那么22611()1112422(6)1066
n f n n n n n n n n +=-=-=-++++-++, 10分
由67n +≥，24
(6)106
n n ++
-+单调递增且大于0，∴()f n 单调递增，
当n →+∞时，()1f n →，且()1f n <，故1λ≥，∴实数λ的取值范围是[1,)+∞。

12分
21.〔1〕以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图
法1：那么(0,0,0),(0,,0),(,0,0)C A a B a 设(,,0)P x y ，
AP PB λ=(,,0)(,,0)x y a a x y λ⇒-=--,,11a a x y λλλ⇒=
=++(,,0)11
a a
P λλλ∴++ 从而(0,,0),1a E λ+(,0,0),1a F λλ+于是'(0,,)11a a A λλλ++，'(,0,)11
a a
B λλλ++，
平面A PE '的一个法向量为(0,,0)1
a
CE λ=+， 又(
,0,)11
a a
CB λλλ'=++，0CB CE '⋅=，从而'//B C 平面'A PE :6分 法二：因为//FC PE ，FC ⊄平面'A PE ，所以//FC 平面'A PE ，因为平面'A PE ⊥平面ABC ，且
'A E PE ⊥，所以'A E ⊥平面ABC ．同理，'B F ⊥平面ABC ，所以'//'B F A E ，从而'//B F 平面'A PE ．所以平面'//B CF 平面'A PE ，从而'//B C 平面'A PE ．6分
〔2〕解：由〔1〕中解法一有：'(0,
,)11a a CA λλλ=++，(1)''(,,)111
a a a A B λλλλλ-=-+++， '(0,,)11a a B P λλ=-++。

可求得平面''CA B 的一个法向量1
(,,1)m λλ
=-，平面''PA B 的一个法向量
(1,1,1)n =，由0m n ⋅=，即1
10λλ
+-=，又0λ>，210λλ-+=，由于30∆=-<，
所以不存在正实数λ，使得二面角C A B P ''--的大小为0
90．12分 22.〔1〕()ln 1f x x '=+〔0x >〕． 令()0f x '>，即ln 10x +>，得1x e >
，故()f x 的增区间为1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭； 令()0f x '<，即ln 10x +<，得1x e <
，故()f x 的减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
； ∴()f x 的单调增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，()f x 的单调减区间为10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
．4分 〔2〕()2F ln 1x ax x =++〔0x >〕
()2121
F 2ax x ax x x
+'=+=〔0x >〕
当0a ≥时，恒有()F 0x '>∴()F x 在()0,+∞上为增函数，故()F x 在()0,x ∈+∞上无极值；
当0a <时，令()F 0x '=，得x =
x ⎛∈ ⎝，()F 0x '>，()F x 单调递增，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭
，()F 0x '<，()F x 单调递减．
∴()1F F ln 2x ==+极大值()F x 无极小值； 综上所述：0a ≥时，()F x 无极值
0a <时，()F x 有极大值12+无极小值．8分 〔3〕证明：设()ln x g x e x =-〔0x >〕，那么即证()2g x >，只要证()min 2g x >
∵()1
x
g x e x
'=-，∴()1
20.52 1.720g e '=-<-<，()110g e '=->
又()1
x
g x e x
'=-
在()0,+∞上单调递增 ∴方程()0g x '=有唯一的实根x t =，且()0.5,1t ∈．
∵当()0,x t ∈时，()()0g x g t ''<=．当(),x t ∈+∞时，()()0g x g t ''>= ∴当x t =时，()min ln t g x e t =-
∵()0g t '=即1t e t =，那么t
t e -= ∴()min 11ln 2t
g x e
t t
t -=-=+>= ∴
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。