高考数学一轮复习第六章平面向量解三角形复数4解三角形课件新人教A版

2 + 2 - = 4,
联立方程组
解得 a=2,b=2.
= 4,
②由题意得 sin C+sin(B-A)=sin 2A,
得到 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Acos A,
即 sin Acos B+cos Asin B+sin Bcos A-cos Bsin A=2sin Acos A,
63
=sin Acos C+cos Asin C=65.


sin
又因为
=
,所以 b=
sin
sin
sin
=
21
.
13
-11知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为
.
等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,
c
C=2R ;
(3)a∶b∶c=sin A∶
sin B∶sin C
余弦定理
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=a2+c2-2accos B;
c2=a2+b2-2abcos C
b 2 +c 2 -a 2
cos A=
2bc
a 2 +c 2 -b 2
cos B=
;
;
2ac
a 2 +b 2 -c 2
cos C=
(2)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.
( √ )
(3)在△ABC中,sin A>sin B的充分不必要条件是A>B. ( × )
(4)在△ABC中,a2+b2<c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条
件. ( √ )
(5)在△ABC的角A,B,C,边长a,b,c中,已知任意三个可求其他三个.
=
9+9-16
2×3×3
1
= 9.
-10知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
4
5
5
13
4.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,
a=1,则 b=
21
13
.
4
5
5
13
解析 因为 cos A= ,cos C= ,且 A,C 为△ABC 的内角,
3
12
所以 sin A=5,sin C=13,sin B=sin[π-(A+C)]=sin (A+C)
所以有 sin Bcos A=sin Acos A,
π
当 cos A=0 时,A=2,△ABC 为直角三角形;
当 cos A≠0 时,得 sin B=sin A,
由正弦定理得 a=b,△ABC 为等腰三角形.
-23考点1
考点2
考点 3
考点3
考点4
正弦定理、余弦定理与三角变换的综合问题
cos cos
π
π
又 0<B<3 ,所以当 B=6 时,△ABC 周长取得最大值 3+2√3.
-14考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得1.已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正
弦定理解三角形.正弦定理的形式多样,其中a=2Rsin A,b=2Rsin
B,c=2Rsin C能够实现边角互化.
2.已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边
则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.
cos
cos
代入 +
=
=

sin
sin
cos
cos
中,有sin + sin

=

=k(k>0).
sin
=
sin
,
sin
变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).
2 + 2 - 2
有 cos C=
2
=
√2
.
2
π
又因为 C∈(0,π),所以 C=4 .
π
②在△ABC 中,由正弦定理及 C=4 ,a=2√2,c=√13,
sin
可得 sin A=

2√13
=
13
2√13
③由 a<c 及 sin A=
13
.
,可得 cos A= 1-sin2 =
2ab
-3知识梳理
定理
双基自测
正弦定理
(1)已知两角和任一边,求
其他两边和一角;
解决的
(2)已知两边和其中一边
问题
的对角,求另一边和其他
两角
余弦定理
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹
角,求第三边和其他两角
-4知识梳理
双基自测
2.三角形中的常见结论
(1)在△ABC中,A+B+C=π.
解析 (1)由于 3sin A=2sin B,根据正弦定理可得 3a=2b.
又 a=2,所以 b=3.
于是由余弦定理可得 c= 2 + 2 -2cos
=
22
+
32 -2
×2×3×
1
-4
=4.
-17考点1
考点2
考点3
考点4
(2)解:①在△ABC 中,由余弦定理及 a=2√2,b=5,c=√13,
3
∴2sin
√3
B+ 2 cos B=√3,即 sin(B+30°)=1.
∵0°<B<120°,∴30°<B+30°<150°.
∴B+30°=90°,即 B=60°.
∴A=B=C=60°,∴△ABC 为等边三角形.
-20考点1
考点2
考点3
考点4
解题心得判断三角形的形状时主要有以下两种方法:
(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因
12
5
3√13
进而 sin 2A=2sin Acos A=13,cos 2A=2cos2A-1=13.
π
π
π
所以,sin 2 + 4 =sin 2Acos4 +cos 2Asin 4
12
= 13 ×
√2
2
5
+ 13 ×
√2
2
=
17 √2
26
.
13
,
-18考点1
考点2
考点3
考点4
考点 2
判断三角形的形状
3
4
5
2
3.(2020 全国Ⅲ,理 7)在△ABC 中,cos C= ,AC=4,BC=3,则 cos
3
B=( A )
1
1
A.9
B.3
C.
D.
1
2
2
3
2
解析:∵AB2=AC2+BC2-2·
AC·
BC·
cos C=16+9-24× =9,∴AB=3,
3
2 + 2 - 2
∴cos B=
2··
都能直接运用余弦定理解三角形,在运用余弦定理时,要注意整体
思想的运用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边
和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有
界性和大边对大角定理进行判断.
-15考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练 1(1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且
-5知识梳理
双基自测
4.实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标
视线的夹角,目标视线在水平视线 上方 的角叫做仰角,目标视
线在水平视线 下方 的角叫做俯角(如图①).
-6知识梳理
双基自测
(2)方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30°、北偏西45°、
西偏北60°等.
(2)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.
(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
3.△ABC 的面积公式
1
(1)S△ABC=2a·h(h 表示 a 边上的高).
1
1
1

(2)S△ABC=2absin C=2acsin B=2bcsin A= 4 .
1
(3)S△ABC=2r(a+b+c)(r 为内切圆半径).
解三角形
-2知识梳理
双基自测
1.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
定理
正弦定理
a
内容
A
=
b
B
=
c
C
=2R(R 为
△ABC 外接圆的半径)
(1)a=2Rsin A,b=
2Rsin B,c=2Rsin C;
常见
变形
a
b
(2)sin A=2R ,sin B=2R ,sin
顺时针 转到目标方向线的水平角,
(3)方位角:指从正北方向
如B点的方位角为α(如图②).
(4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.
-7知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)在△ABC中,已知a,b和角B,能用正弦定理求角A;已知a,b和角C,
能用余弦定理求边c. ( √ )
( ×)
-8知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.在△ABC中,化简bcos C+ccos B的结果为( A )
A.a
B.b
C.c
1
D.2b
解析 由正弦定理得
bcos C+ccos B=2R(sin Bcos C+cos Bsin C)
=2Rsin(B+C)=2Rsin A=a.
-9知识梳理
1
双基自测
2
π
所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= 2 .
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
-12考点1
考点2
考点3
考点 1
考点4
利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=ac,c=2a,则
cos C=(Βιβλιοθήκη B )√243
√2
4
3
A.
B.-
C.
2 + 2 - 2
所以 cos C=
2
=
2 +2 2 -4 2
2× √2
√2
=- 4 ,故选 B.
(2)解:①由正弦定理和已知条件得 BC 2-AC 2-AB2=AC·
AB.(ⅰ)
由余弦定理得 BC 2=AC 2+AB2-2AC·
ABcos A.(ⅱ)
1
由(ⅰ)(ⅱ)得 cos A=-2.
1
a=2,cos C=-4,3sin A=2sin B,则 c=
4
.
(2)(2020 天津,16)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已
知 a=2√2,b=5,c=√13.
①求角 C 的大小;
②求 sin A 的值;
③求 sin 2 +
π
4
的值.
-16考点1
考点2
考点3
考点4
D.-
4
4
(2)(2020全国Ⅱ,理17)△ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
①求A;
②若BC=3,求△ABC周长的最大值.
思考已知怎样的条件能用正弦定理解三角形?已知怎样的条件能
用余弦定理解三角形?
-13考点1
考点2
考点3
考点4
(1)解析:由题意得,b2=ac=2a2,即 b=√2a,
得 2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即 bc=b2+c2-a2,
2 +2 -2
A= 2
1
∴cos
= 2,∴A=60°.
(2)∵A+B+C=180°,∴B+C=180°-60°=120°.
由 sin B+sin C=√3,得 sin B+sin(120°-B)=√3,
∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=√3.

-
sin2 2 = 2 ,则△ABC 的形状一定是 直角三角形
.
(2)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.
π
①若 c=2,C=3,且△ABC 的面积 S=√3,求 a,b 的值;
②若 sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC 的形状.
1-cos
-
2π
因为 0<A<π,所以 A= 3 .



②由正弦定理及①得sin = sin = sin =2√3,
从而 AC=2√3sin B,AB=2√3sin(π-A-B)=3cos B-√3sin B.
π
故 BC+AC+AB=3+√3sin B+3cos B=3+2√3sin + 3 .
式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
(2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数
间的关系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形
的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.
-21考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练 2(1)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若
例2在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,
且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若sin B+sin C= √3 ,试判断△ABC的形状.
思考判断三角形的形状时主要有哪些方法?
-19考点1
考点2
考点3
考点4
解 (1)由 2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C 及正弦定理,
在△ABC 中,由 A+B+C=π,有 sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,
=
,即
2
2

2 +2 -2
又由余弦定理,得 =
,

2
解析 (1)由题意,得

cos B= ,
整理得 a2+b2=c2,所以△ABC 为直角三角形.
-22考点1
考点2
考点3
考点4
(2)解 ①由余弦定理及已知条件,得 a2+b2-ab=4.
1
因为 S=√3,所以2absin C=√3,得 ab=4.