【最高考】2015届高考数学二轮专题突破高效精练第28讲不等式选讲

第28讲 不等式选讲
1. 已知实数x 、y 、z 满足x ＋y ＋z ＝2，求2x 2＋3y 2＋z 2的最小值．
解：由柯西不等式得(x ＋y ＋z)2≤[(2x)2＋(3y)2＋z 2]·⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫132＋12，故2x 2＋3y 2＋z 2≥2411，当且仅当2x 12＝3y 13
＝z 1，即x ＝611，y ＝411，z ＝1211时，2x 2＋3y 2＋z 2取得最小值为2411
. 2. 解不等式：|2x ＋1|－|x －4|＜2(x ∈R )．
解：当x ≥4时，2x ＋1－(x －4)＜2，∴ x ∈；
当－12≤x ＜4时，2x ＋1＋x －4＜2，∴ －12≤x<53
； 当x ＜－12时，－2x －1＋x －4＜2，∴ －7＜x ＜－12
. 综上，该不等式解集为⎝⎛⎭⎫－7，53. 3. 设a 1、a 2、a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝m ，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m
. 证明：∵ ⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3
m ＝(a 1＋a 2＋a 3)(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥3·3a 1·a 2·a 3·331a 1·1a 2·1a 3＝9，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝m 3
时等号成立．又a 1＋a 2＋a 3＝m ＞0， ∴ 1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m
. 4. 已知x 、y 、z ∈R ，且x ＋2y ＋3z ＋8＝0.求证：(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.
证明：因为[(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2](12＋22＋32)
≥[(x －1)＋2(y ＋2)＋3(z －3)]2
＝(x ＋2y ＋3z －6)2＝142，
当且仅当x －11＝y ＋22＝z －33
，即x ＝z ＝0，y ＝－4时，取等号， 所以(x －1)2＋(y ＋2)2＋(z －3)2≥14.
5. 设a 、b 、c 均为正数，abc ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c
≥a ＋b ＋ c. 证明：由a 、b 、c 为正数，根据平均值不等式，得
1a ＋1b ≥2ab ，1b ＋1c ≥2bc ，1c ＋1a ≥2ca
. 将此三式相加，得2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2ab ＋2bc ＋2ca
， 即1a ＋1b ＋1c ≥1ab ＋1bc ＋1ca
. 由abc ＝1，则有abc ＝1.
所以1a ＋1b ＋1c ≥abc ab ＋abc bc ＋abc ca
＝a ＋b ＋ c. 6. 若正数a 、b 满足a ＋b ＝1，求13a ＋2＋43b ＋2
的最小值． 解：(解法1)因为a ＋b ＝1，所以(3a ＋2)＋(3b ＋2)＝7. 所以13a ＋2＋43b ＋2＝17⎝
⎛⎭⎫13a ＋2＋43b ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)] ≥17⎝
⎛⎭⎪⎫13a ＋2·3a ＋2＋43b ＋2·3b ＋22＝97
. 当且仅当3a ＋2＝3b ＋22，即a ＝19，b ＝89时取等号．
所以13a ＋2＋43b ＋2
的最小值为97. (解法2)因为a ＋b ＝1，所以(3a ＋2)＋(3b ＋2)＝7.
所以13a ＋2＋43b ＋2＝17⎝
⎛⎭⎫13a ＋2＋43b ＋2[(3a ＋2)＋(3b ＋2)] ＝17⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1＋3b ＋23a ＋2＋4（3a ＋2）3b ＋2＋4 ≥17⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋23b ＋23a ＋2·4（3a ＋2）3b ＋2＝97
. 当且仅当3b ＋23a ＋2＝4（3a ＋2）3b ＋2
，即a ＝19，b ＝89时取等号． 所以13a ＋2＋13b ＋2
的最小值为97.。