2019年初中数学-八年级证明角平分线的三种途径

证明角平分线的三种途径
从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.几何学习中，关于角平分线的证明问题屡见不鲜.解答它们，既可以根据定义，又可以利用角平分线的判定定理，还可以借助等腰三角形的性质.
一、考虑要证明的角平分线把角分成两个相等的角，根据定义证明
例1. 如图，E 、F分别为△ABC的边AB及边CA的延长线上的点，且AE＝AF，AD∥EF.求证：AD平分∠BAC.
B C
D
简析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠1＝∠2.
证明：在△AEF中，
因为AE＝AF,
所以∠AEF＝∠F.
因为AD∥EF，
所以∠1＝∠AEF，∠2＝∠F.
所以∠1＝∠2.
所以AD平分∠BAC.
二、考虑要证明的角平分线上某一点到角的两边距离相等，利用角平分线的判定定理证明
例2.如图，在△ABC中，外角∠BCE和外角∠CBD的平分线CF、BF相交于点F.求证：AF平分∠BAC.
D
A C
简析：要证明AF平分∠BAC，只要证明点F到∠BAC的两边AB和AC的距离相等.
证明：过F作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，FP⊥AC于点P.
因为BF平分∠CBD，所以FM＝FN.
因为CF平分∠BCE，所以FP＝FN.所以FM＝FP.
所以点F到∠BAC的两边AB和AC的距离相等.
所以点F在∠BAC的平分线上.所以AF平分∠BAC.
三、考虑要证明的角平分线为等腰三角形底边上的中线或高，借助等腰三角形的性质证明
例3. 如图，点D是△ABC的BC边的中点，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
A
B
D
C
简析：要证明AD平分∠BAC，只要证明AD是等腰△ABC底边BC上的中线.
证明：在△ABD和△ACD中，因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,所以∠1＝90°，∠2＝90°.
所以△BDE和△CDF都是直角三角形.
因为BE＝CF，BD＝CD,所以△BDE≌△CDF（HL）.
所以∠B＝∠C, △ABC是等腰三角形.所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线.
所以AD平分∠BAC.。