专题03 相似三角形的判定压轴题型全攻略(解析版)

专题03相似三角形的判定压轴题型全攻略
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目录
【典型例题】 (1)
【考点一相似三角形判定定理的识别】 (1)
【考点二相似三角形中有关直线个数的判断】 (2)
【考点三相似三角形判定定理的应用】 (2)
【考点四相似三角形的拓展提高】 (3)
【过关检测】 (4)
【典型例题】
【考点一相似三角形判定定理的识别】【例题1】如图，12∠=∠，那么添加一个条件后，仍不能判定ABC 与ADE V 相似的是（）
C ADE
∠=∠AB BC AD DE =AB AC AD AE =
形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
【变式1】下列命题中假命题是（）
A ．任意两个等腰直角三角形都相似
B ．任意两个含36°内角的等腰三角形相似
C ．任意两个等边三角形都相似
D ．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似
B.任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似
C.等边三个角都相等，故两三角形相似；
D.任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似
故选：B
【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
【变式2】如图，在ABC 中，72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠= .则图中相似三角形共有（）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
【答案】C 【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案．
【详解】解：72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠= ，
180180727236ABC C A =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∴∠，
180180367272ADE A AED =︒∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒，
180180727236DBC C BDC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
AED ABC ∠=∠ ，
//ED BC ∴，
36EDB DBC ∴∠=∠=︒，
1801803636108BED EBD EDB ∴∠=-∠-∠=-︒-︒=︒，
180180727236DBC C BDC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，7236108ADB ADE EDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒，AED ABD ∠=∠ ，ADE ACB ∠=∠，
AED ABC \，
AED C ∠=∠ ，ADE BDC ∠=∠，
AED BCD ∴ ，
ABD C ∠=∠ ，ACB BDC ∠=∠，
BCD ABC ∴ ，
A EBD ∠=∠ ，AD
B BED ∠=∠，
EBD DAB ∴ ．
故相似的三角形对数为4对：
故选：C ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【考点二相似三角形中有关直线个数的判断】
【例题2】如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截Rt ABC △，使截得的三角形与Rt ABC △相似，则过点P 满足这样条件的直线最多有条（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【分析】过点P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．
【详解】解：由于ABC 是直角三角形，过P 点作直线截ABC ，则截得的三角形与ABC 有一公共角，
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt ABC △相似，如图，过点P 可作AB 的垂线、AC 的垂线、BC 的垂线，共3条直线．
故选：C ．
【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用，运用两角法(有两组角对应相等的两个三角形相似)来判定两个三角形相似是解题关键．
【变式1】ABC 中，D 是AB 上的一点，再在AC 上取一点E ，使得ADE V 与ABC 相似，则满足这样条件的E 点共有（）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
【答案】C
【分析】ADE V 与ABC 中，有公共角A ∠，因此只要作ADE B ∠=∠或ADE C ∠=∠，即可得出两三角形相似．
【详解】解：根据题意得：当DE BC ∥时，ADE ABC △△∽；
当ADE C ∠=∠时，由A A ∠=∠，可得ADE ACB ∽．
所以有2个．
故选：C ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
【变式2】在三边都不相等的ABC 的边AB 上有一点D ，过点D 画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与ABC 相似，这样的直线最多可以画（）
A ．5条
B ．4条
C ．3条
D ．2条
【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解．
【详解】解：如图，画直线DE BC ∥交AC 于点E ，则ADE ABC △△∽；
如图，画直线DE 交AC 于点E ，使AED B ∠=∠，
∵A A ∠=∠，
∴AED ABC ∽△△；
如图，画直线∥DE AC 交BC 于点E ，则BDE BAC △△∽；
如图，画直线DE 交BC 于点E ，使BED A ∠=∠，
∵B B ∠=∠，
∴BDE BCA ∽ ；
∴这样的直线最多可以画4条．
故选：B
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【考点三相似三角形判定定理的应用】【例题3】在ABC 中，90ACB ∠︒＝，用直尺和圆规在AB 上确定点D ，使ACD CBD △∽△，根据作图痕迹判断，正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】根据ACD CBD △∽△，可得90CDA BDC ∠=∠=︒，即CD 是AB 的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【详解】解：当CD 是AB 的垂线时，ACD CBD △∽△．
CD AB ⊥ ，
90CDA BDC ∴∠=∠=︒，
90ACB ∠=︒ ，
90A ACD ACD BCD ∴∠+∠=∠+∠=︒，
A BCD ∴∠=∠，
ACD CBD ∴△∽△．
根据作图痕迹可知，
A 选项中，CD 是AC
B ∠的角平分线，不符合题意；
B 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意；
C 选项中，C
D 是AB 的垂线，符合题意；
D 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意．
故选：C ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
【变式1】如图，在ABC 中，78,6,9A AB AC ∠=︒==．将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．C．D．
A ．只有甲同学正确
B ．乙和丙同学都正确
C ．甲和丙同学正确
D ．三个同学都正确
【答案】D 【分析】在ABC 中，依据三角形外角及已知可得BAD CDE ∠=∠，结合等腰三角形易证ABD DCE △△；结合AD DE =，易证ABD DCE ≌△△，得到BD CE =；当DE AC ⊥时，结合已知求得50EDC ∠=︒，易证AD BC ⊥，依据等腰三角形“三线合一”得BD CD
=【详解】解：在ABC 中，
AB AC = ，
40C B ∴∠=∠=︒，
B BAD CDE ADE ∠+∠=∠+∠ ，40ADE B ∠=∠=︒，
BAD CDE ∴∠=∠，
ABD DCE ∴~ ，
甲同学正确；
C B ∠=∠ ，BA
D CD
E ∠=∠，AD DE =，
ABD DCE ∴ ≌，
BD CE ∴=，
乙同学正确；
当DE AC ⊥时，
90DEC ∴∠=︒，
9050EDC C ∴∠=︒-∠=︒，
90ADC ADE EDC ∴∠=∠+∠=︒，
AD BC ∴⊥，
AB AC = ，
BD CD ∴=，
D 为BC 的中点，
丙同学正确；
综上所述：三个同学都正确
故选：D ．
【点睛】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得到BAD CDE ∠=∠．【答案】1
3
【分析】根据矩形性质得到点Q ，则有OQF AEF ∽∴OQF AEF ∽，OQP ∽
A ．22
B ．【答案】
C 【分析】如图，连接CA '设=AB x ，A
D y =，
12
BF GC =，设=BF k ，则=2GC k ，
(1)如图1，当045α︒<<︒时，求证：ABD ACE ∽．
(2)如图2，当45α=︒时，点E 在AB 的延长线上，延长DB 交CE 于点F ，求证：BCF FBC ∠=∠．
(3)如图3，当4590α︒<<︒时，延长DB 交CE 于点F ，求证：F 是CE 的中点．由旋转的性质可知：AD AB =∴1267.5∠=∠=︒，3ACE ∠=∠∴2467.5∠=∠=︒，
∴1803445BFE ∠=︒-∠-∠=∴135BFC ∠=︒．
∵BCF ACE ACB ∠=∠-∠=
∴在BFC △中，180********.522.5FBC BFC FCB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∴BCF FBC ∠=∠．
（3）证明：如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，过点C 作CN DF ⊥，交DF 的延长线于点N ，
∴90DME EMF BNC ∠=∠=∠=︒．
由旋转的性质可知：DE BC =，AD AB =，90ADE ABC ∠=∠=︒，
∴12∠=∠，1490∠+∠=︒，2318090ABC ∠+∠=︒-∠=︒，
∴3=4∠∠，
∴()AAS DEM BCN ≌△△，
∴EM CN =，
又∵56∠=∠，90EMF CNF ∠=∠=︒，
∴()AAS FEM FCN ≌△△，
∴EF CF =，
即F 是CE 的中点．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意添加辅助线是解题关键．
【过关检测】
1.如图，根据图中给出的数据，一定能得到（）
A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键．2.如图，在ABC 中，AG 平分BAC ∠，点D 在边AB 上，线段CD 与AG 交于点E ，且ACD B ∠=∠，下列结论中，错误的是（）
A ．ACD ABC
△△∽B ．ADE ACG ∽ C ．ACE ABG
∽△△D ．ADE CGE
∽△△【答案】D 【分析】由ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，可直接证明ACD ABC △△∽，即可判断A ；由角平分线的定义得出DAE CAG ∠=∠，再结合三角形外角的性质即可得出AED AGC ∠=∠，从而可证ADE ACG ∽ ，即可
【答案】213
3
/213
3
【分析】先运用勾股定理求出BE
ODE OAB
∽解题即可．
33
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
5.如图，在Rt ABC
△中，CD是斜边
相似的三角形的个数是
【答案】4
【分析】根据CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，得90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定，即可．
【详解】∵CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，
∴90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，
在Rt ABC △和Rt ACD △中，
∵90A A ADC ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩
，∴Rt Rt ABC ACD ；
在Rt ABC △和Rt CBD △中，
∵B B CDB ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩
，∴Rt Rt ABC CBD ；
∵DE BC ⊥，
∴AC DE ∥，
∴Rt Rt ABC DBE ；
∵A B ∠∠=︒+90，90B DCB ∠+∠=︒，
∴A DCB ∠=∠，
在Rt ABC △和Rt CDE △中，
A DC
B ACB CED
∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CDE ；
∴图中与Rt ABC △相似的三角形有4个．
故答案为：4．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
6．在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①ABC ，②ACD ，③ADE V ，④AEF △，
【答案】①③/③①
【分析】两三角形三条边对应成比例，两三角形相似，据此即可解答．【详解】解：设每个小正方形的边长为
的各边长分别为1、
①ABC
【答案】2或4/4或
【分析】根据AE EB
=
相似三角形对应边成比例求出【详解】解：AE=
∴=，
2
AD AE
【答案】ACP B ∠=∠（答案不唯一）
【分析】APC 和ACB 有公共角【详解】解：PAC CAB ∠=∠
【答案】③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】解：①2A ∠=∠，C ∠②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，③
BC CD AC AB =，C C ∠=∠时，不能推出④BC CD DB AC BC AB
==，C C ∠=∠时，故答案为：③
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．
答案】6
【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．
【详解】解：∵ABCD 是平行四边形
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型．
12．如图，在ABC 中，2BAC B ∠=∠．请用尺规作图法，在BC 边上求作一点M ，使CMA CAB ∽△△．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】作BAC ∠的平分线，交BC 边于点M ，此时CMA CAB ∠=∠．
【详解】解：点M 即为所作，
∵AM 平分BAC ∠，
∴BAM CAM ∠=∠，
∵2BAC B ∠=∠，
∴B CAM ∠=∠，
∵MCA ACB ∠=∠，
∴~CMA CAB ．
【点睛】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
13．如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交CD 边于点E ，将BCE 绕点C 顺时针旋转到DCF 的位置，并延长BE 交DF 于点G ．求证：
(1)BDG DEG ∽；
(2)BG DF ⊥．
【分析】（1）先判断出FDC EBC ∠=∠，再利用角平分线判断出FDC EBC ∠=∠，即可得出结论；（2）由三角形的内角和定理可求90DGE BCE ∠=∠=︒，可得结论．
【详解】（1）证明：由旋转可知：BCE DCF ≅ ，
FDC EBC ∴∠=∠．
BE 平分DBC ∠，
DBE EBC ∠=∠∴，
FDC DBE ∴∠=∠，
DGE DGB ∠=∠ ，
BDG DEG ∴ ∽；
（2）证明：EBC GDE ∠=∠ ，BEC DEG ∠=∠，
90DGE BCE ∴∠=∠=︒．
BG DF ∴⊥．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
14．如图，在AEC △中，B 为EC 上一点，且满足ABD C E ∠=∠=∠．
(1)求证：AEB BCD ；
(2)当AE BD ∥时，30C ∠=︒，10CD =，求AD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由三角形外角的性质和角的和差可得ABC ABD DBC E EAB ∠=∠+∠=∠+∠，再结合ABD E ∠=∠可得DBC EAB ∠=∠，然后结合C E ∠=∠运用两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论；
∵30C ∠=︒，10CD =，
∴152
DH CD ==，∵AE BD ∥，
(1)求证：ABD DCE ∽△△；
(2)如图2，当D 运动到BC 的中点时，求线段CE 的值；
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到等的三角形相似求解．
（2）由题意易得AD BC ⊥，1102
BD CD BC ==
=的性质可进行求解．
【详解】（1）证明： 三角形ABC 是等边三角形，
60B C ∠=∠=︒∴，
ADC B BAD ∠=∠+∠ ，ADC ADE CDE ∠=∠+∠B BAD ADE CDE ∴∠+∠=∠+∠，ADE B ∠=∠ ，
BAD CDE ∴∠=∠，
B C ∠=∠ ，
ABD DCE ∴ ∽；
（2）解：ABC 是等边三角形，点D 是BC 中点，
AD BC ∴⊥，1102
BD CD BC ==
=，90ADC ∴∠=︒，
(1)求证：ABF DFE ；
(2)若2sin 3
DFE ∠=，6AF =，求【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】（1）根据矩形的性质可知可得90AFB DFE ∠+∠=︒，进而可得（2）由ABF DFE 可得DFE ∠
【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念等知识点，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键．
中，AC
18．如图1，在ABC
==，∵AC BC DC
∴BAC ABC
∠=∠，。