2020版高考数学大二轮专题突破文科通用版专题突破练：18 空间中的垂直与几何体的体积 Word版含解析

专题突破练18空间中的垂直与几何体的体积1.
(2019山东青岛二模,文18)如图,在圆柱中,点O1、O2分别为上、下底面的圆心,平面MNFE是轴截
⏜的中点,点H与点G在平面MNFE的同面,点H在上底面圆周上(异于N、F),点G为下底面圆弧ME
侧,圆柱的底面半径为1.
(1)若平面FNH⊥平面NHG,证明:NG⊥FH;
(2)若直线O1H∥平面FGE,求H到平面FGE的距离.
2.
如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.
(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值;
(2)求BM与平面A1B1M所成的角的大小.
3.
(2019陕西咸阳一模,文19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=120°,PA=PC,PB=PD,AC∩BD=O.
(1)求证:PO⊥平面ABCD;
(2)若PB=BD=2,求点O到平面PBC的距离.
4.(2019全国卷3,文19)图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图②.
(1)证明:图②中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图②中的四边形ACGD的面积.
5.
(2019山东潍坊三模,文18)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BCD=60°,平面FBC⊥平面ABCD,EF∥AB,FB=FC,H为BC的中点.
(1)求证:FH⊥平面ABCD;
(2)若△FBC为等边三角形,Q为线段EF上的一点,求三棱锥A-CDQ的体积.
6.
(2019山西吕梁4月模拟,文18)如图,在三棱锥P-ABC中,底面ABC是等边三角形,D为BC边的中点,PO⊥平面ABC,点O在线段AD上.
(1)证明:∠PAB=∠PAC;
,求点C到平面PAB的距离.
(2)若AB=PB=2,直线PB和平面ABC所成的角的正弦值为3
4
7.(2019湖北省一月模拟,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥PC,AD∥BC,AD⊥CD,且PC=BC=2AD=2CD=2√2,PA=2.
(1)证明PA⊥平面ABCD;
(2)已知点M在线段PD上,且PM=2MD,求点D到平面MAC的距离.
参考答案
专题突破练18空间中的垂直
与几何体的体积
1.(1)证明由题知平面FNH⊥平面NHG,平面FNH∩平面NHG=NH.
因为NH⊥FH,FH⊂平面FHN,所以FH⊥平面NHG,所以FH⊥NG.
(2)解连接O1O2,如图所示,
因为O1O2∥EF,O1O2⊄平面FGE,EF⊂平面FGE,所以O1O2∥平面FGE.
又因为直线O1H∥平面FGE,O1H∩O1O2=O1,
所以平面O1HO2∥平面FGE,所以H到平面FGE的距离等于O2到平面FGE的距离.取线段EG的中点V,因为O2V⊥EG,O2V⊥EF,EG∩EF=E,所以O2V⊥平面FGE,
所以H到平面FGE的距离为O2V,在等腰直角三角形EO2G中,O2E=O2G=1,
,
所以O2V=√2
2
所以所求的距离为√2
.
2
2.解(1)∵C1D1∥B1A1,
∴∠MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角.
∵A1B1⊥平面BCC1B1,
∴∠A1B1M=90°.
又A1B1=1,B1M=√2,
∴tan∠MA1B1=B1M
A1B1
=√2.
即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为√2.
(2)由A1B1⊥平面BCC1B1,BM⊂平面BCC1B1,得A1B1⊥BM.由(1)知,B1M=√2,
又BM=√BC2+CM2=√2,B1B=2,
∴B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M=B1,
∴BM⊥平面A1B1M,
∴BM与平面A1B1M所成的角为90°.
3.(1)证明∵四边形ABCD是菱形,
∴O为AC,BD的中点.
又PA=PC,PB=PD,
∴PO⊥AC,PO⊥BD,
∵AC∩BD=O,且AC,BD⊂平面ABCD,
∴PO⊥平面ABCD.
(2)解∵PB=BD=2且PB=PD,
∴△PBD为等边三角形,则PO=√3.
∵∠ABC=120°,四边形ABCD为菱形,∴BC=2,CO=√3.
由(1)PO⊥平面ABCD,得到PC=√6,∴S△PBC=1
2×√6×√10
2
=√15
2
.
又S △BOC =1
2×1×√3=
√3
2
,PO ⊥平面ABCD ,设O 到平面PBC 的距离为h ,由V P-BOC =V O-PBC ,
得1
3×S △BOC ×PO=1
3×S △PBC ×h ,解得h=
√15
5
. 4.(1)证明 由已知得AD ∥BE ,CG ∥BE ,所以AD ∥CG ,故AD ,CG 确定一个平面,从而A ,C ,G ,D 四点共面.
由已知得AB ⊥BE ,AB ⊥BC ,故AB ⊥平面BCGE. 又因为AB ⊂平面ABC ,所以平面ABC ⊥平面BCGE. (2)解 取CG 的中点M ,连接EM ,DM.
因为AB ∥DE ,AB ⊥平面BCGE , 所以DE ⊥平面BCGE ,故DE ⊥CG.
由已知,四边形BCGE 是菱形,且∠EBC=60°得EM ⊥CG ,故CG ⊥平面DEM. 因此DM ⊥CG.
在Rt △DEM 中,DE=1,EM=√3,故DM=2. 所以四边形ACGD 的面积为4. 5.(1)证明 因为FB=FC ,H 为BC 的中点, 所以FH ⊥BC.
因为平面FBC ⊥平面ABCD ,平面FBC ∩平面ABCD=BC , 所以FH ⊥平面ABCD.
(2)因为△FBC 为等边三角形,BC=2,所以FH=√3,
因为EF ∥AB ,EF ⊄平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD ,所以EF ∥平面ABCD.
因为点Q 在线段EF 上,所以点Q 到平面ABCD 的距离等于点F 到平面ABCD 的距离.
因为四边形ABCD 为菱形,AD=CD=2,∠ADC=120°,所以S △ACD =12×AD×CD×sin ∠ADC=12×2×2×√32=√3,
所以V A-CDQ =V Q-ACD =V F-ACD =13×S △ACD ×FH=13×√3×√3=1.
6.(1)证明 过O 作OE ⊥AB 于点E ,OF ⊥AC 于点F ,连接PE ,PF. ∵PO ⊥平面ABC ,∴PO ⊥OE ,PO ⊥OF ,PO ⊥AB ,PO ⊥AC.
∵底面ABC 是等边三角形,D 为BC 边的中点,
∴AD 是∠BAC 的角平分线,∴OE=OF ,∴Rt △POE ≌Rt △POF ,∴PE=PF. ∵AB ⊥OE ,AB ⊥PO ,OE ∩PO=O ,
∴AB ⊥平面POE ,
∴AB ⊥PE ,同理可得AC ⊥PF ,
∴Rt △PAE ≌Rt △PAF ,
∴∠PAB=∠PAC.
(2)解 ∵AB=PB=2,直线PB 和平面ABC 所成的角的正弦值为34, ∴PO=34PB=32,
∴V P-ABC =13×√34×22×32=√32
. 连接OB ,则OB=√PB 2-PO 2=
√72. ∴OD=√OB 2-BD 2=
√32, 又AD=√AB 2-BD 2=√3,∴O 是AD 的中点,由△AOE ∽ABD 可得OE BD =AO AB =√34,∴OE=√34
,
∴PE=√PO 2+OE 2=
√394, ∴S △PAB =12×2×√394=√394
. 设C 到平面PAB 的距离为h ,则V C-PAB =13×√394×h=√32,解得h=6√1313
.
7.(1)证明 ∵在底面ABCD 中,AD ∥BC ,AD ⊥CD ,且BC=2AD=2CD=2√2, ∴AB=AC=2,BC=2√2,
∴AB ⊥AC.
又AB ⊥PC ,AC ∩PC=C ,AC ⊂平面PAC ,PC ⊂平面PAC ,∴AB ⊥平面PAC. 又PA ⊂平面PAC ,∴AB ⊥PA.
∵PA=AC=2,PC=2√2,∴PA ⊥AC.
又PA ⊥AB ,AB ∩AC=A ,AB ⊂平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,
∴PA ⊥平面ABCD.
(2)解 方法一:在线段AD 上取点N ,使AN=2ND ,则MN ∥PA.
又由(1)PA ⊥平面ABCD ,可知MN ⊥平面ABCD.
又AC ⊂平面ABCD ,∴MN ⊥AC.
作NO ⊥AC 于点O.
∵MN ∩NO=N ,MN ⊂平面MNO ,NO ⊂平面MNO ,∴AC ⊥平面MNO.
又MO ⊂平面MNO ,∴AC ⊥MO.
设点D 到平面MAC 的距离为x ,则由V D-MAC =V M-ACD 得13×S △MAC ×x=13×S △ACD ×MN ,
∴点D到平面MAC的距离
x=S
△ACD
×MN
S
△MAC
=
1
2
×AD×CD×MN
1
2
×AC×MO
=AD×CD×MN
AC×MO
=√2×√2×2
3
2×√(2
3)2+(2
3
)2
=√2
2
.
方法二:由(1)知PA⊥平面ABCD,
∴平面PAD⊥平面ABCD.
∵CD⊥AD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴CD⊥平面PAD,∴平面PCD⊥平面PAD.又PA⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,
∴PA⊥AD.
又PA=2,AD=√2,∴PD=√6,
∴PM=2√6
3
,
∴PA
PD =PM
PA
,
∴Rt△PAM∽Rt△PDA,∴AM⊥PD.
平面PCD∩平面PAD=PD.
故AM⊥平面PCD,
∴平面AMC⊥平面PCD.
又平面AMC∩平面PCD=MC,
∴过D作DE⊥MC交MC于点E,
DE⊥平面AMC,即DE的长就是点D到平面MAC的距离.
在Rt△MDC中,DC=√2,MD=√6
3
,
∴DE=
√MD2+DC2=√2
2
.。