数学归纳法

课题探究
通过有限个步骤的推理， 证n取所有正整数都成立
多米诺骨牌游戏原理
（1）第1块骨牌倒下。 （2）如果第k块倒下时，
(1)当n=1时，验证猜想正确。 (2)如果n=k 时猜想成立 ak
1 k
一定能导致第k+1块也倒下。
根据(1)和(2)，可知不论有
一定能推出当n=k+1时猜想也成立 ak 1
1 k 1
多少个骨牌都能全部倒下。
根据(1)和(2)，可知对所有的正 整数n，猜想都成立。
1
an 1 对于数列 an , 若a1 1, an1 . 求证：an (n N * ) 1 an n 1 1 a1 1 , 正确。 分析: (1)当n=1时， 1 1 两个步骤可推 1 1 1 1 出 n 取所有正整 a a a5 k 1 3 2 (2)若 ak k 4 3 k5 1 2 4 数都成立！
4.当n＝k+1时，此时左边比n=k时多了几项？ . (2k+2)，(2k+3) 当n＝k+1时，左边= . 1+2+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3)
1
an 1 对于数列 an , 若a1 1, an1 . 求证：an (n N *). 1 an n

1 （依据） 证明: (1)当n=1时，a1 = 1 = 1 , 命题成立。 1 命题成立, 即 ak , (2)假设当n=k 时， k
布置作业：
再 见
1 (1 2 1 2
)
2
k 1
1
=右边，
错因:没有用到假设！
即当n=k+1时等式也成立。 根据(1)和(2)可知，等式对任何nN*成立。
2
用数学归纳法证明：（ 1 ） 1 n
n
(其中 1, n是正整数)。
课堂小结
1.数学归纳法能够解决哪一类问题？ 用于证明某些与正整数有关的数学命题。 2.数学归纳法证明命题的步骤？ (1)证明当n取第一个值(初始值)时结论正确； (2)假设当n取k时结论正确，推导n取k的下一个 值时结论也正确. 3.数学归纳法证明命题的关键？ 在第二步推导中归纳假设要用到。 4.数学归纳法体现的核心思想？ 递推思想，用“有限”的推理，解决“无限”的问题。
1 a2 2 1 a3 3 1 a4 4

1
an 1 对于数列 an , 若a1 1, an1 . 求证：an (n N *). 1 an n

1 （依据） 证明: (1)当n=1时，a1 = 1 = 1 , 命题成立。 1 命题成立, 即 ak , (2)假设当n=k 时， k
用数学归纳法证明：
1 2 22
证明： （1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 （2）假设当n＝k (kN*)时，等式成立，即
错解！
2n1 2n 1
1 2 2
2
(nN*)
2
k 1
k 1
2 1
k
当n=k+1时 等比数列求和！ 左边= 1 2 22 2k 1 2k
当n=k+1时，
ak 1
1 1 ak k 1 k 1 1 ak 1 k
归纳递推
既当n=k+1时，命题成立.
1 an (n N *)成立. （结论） 由(1)(2)知， n
巩固练习 用数学归纳法证明：
1 2 2
2
2
n 1
2 1.
n
(nN*)
评讲练习
当n=k+1时，
ak 1
1 1 ak k 1 k 1 1 ak 1 k
归纳递推
既当n=k+1时，命题成立.
1 an (n N *)成立. （结论） 由(1)(2)知， n
方法归纳
验证n=n0 时 命题成立 归纳奠基
若n = k ( k ≥ n ) 时命题成 立 n=k+1时命题也成立
0
归纳递推
结论
命题对所有的正整数n ( n ≥ n 0)都成立。
两个步骤， 一个结论。
小组讨论
用数学归纳法证明：
1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1) (nN*)
1.当n＝1时，左边= ； 1+2+3 2.当n＝2时，左边= 1+2+3+4+5 . 3.当n＝k时，左边= 1+2+…+(2k+1).
1 1 1 a5 , a6 , a7 , • • • • • • • • • 6 7 5
逐一验证，不可能！
观察下面的视频，对我们解决问题有什么启示？
课题探究
问：多米诺骨牌全部倒下，必须具备哪两个条件？
(1)第一块骨牌倒下； (2)前一块倒下必导致后一块倒下。 条件(2)给出了一个递推关系，若第K块倒下，则 相邻的第K+1块也倒下.
归纳推理：
由部分到整体、由个别到一般的推理。
情境导入
an 问题：对于数列 an , 若a1 1, an1 . 求 an。 1 an 1 1 1 计算: a1 1, a2 2 , a3 验证:
1 an (n N *) n
不完全归纳法 后面是否成立？
§2.4 数学归纳法
情境导入
讲故事
从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。 先生写一横，告诉他的儿子是“一”字；写两横， 告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字。学到 这里,儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教 了。”于是，财主很高兴，把教书先生给辞退了。 有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖。 可是老半天不见儿子写好，他就去催儿子。儿子抱怨说： “你不识字，不知道写字有多难。此人姓万，我手都写 酸了，才刚刚写完三千横！”