河北省定州中学高二(承智班)上学期第二次月考数学试题

高二第一学期承智班班第2次考试数学试题
一、单选题
1．已知函数f(x)=sin(cosx)-x 与函数g(x)=cos(sinx)-x 在区间(0， π
2
)都为减函数，设x 1,x 2,x 3∈(0，
π2
)，且cosx 1=x 1，sin(cosx 2)=x 2，cos(sinx 3)=x 3，则x 1,x 2,x 3的大小关系是（ ） A. x 1<x 2<x 3 B. x 3<x 1<x 2 C. x 2<x 1<x 3 D. x 2<x 3<x 1
2．已知三角形ABC ， 2AB =， 3BC =， 4AC =，点O 为三角形ABC 的内心，记
1•I OA OB =， 2•I OB OC =， 3•I OC OA =，则（ ）
A. 321I I I <<
B. 123I I I <<
C. 312I I I <<
D. 231I I I <<
3．已知三棱锥P ABC -的底面积ABC
是边长为 A 点在侧面PBC 内的射影H 为PBC ∆的垂心，二面角P AB C --的平面角的大小为60︒，则AP 的长为（ ）
A. 3
B.
4．数列{}n a 满足11a =，且对任意的*
,m n N ∈都有m n m n a a a m n +=++，
则12
2017
111
a a a +++
等于（ ）
A.
20162017 B. 20172018 C. 40342018 D. 4024
2017
5．设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有
()()()f xy f x f y =+，已知112f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足
()()()()
*11n n n f S f a f a n N =++-∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第
18项18a =（ ）
A. 1
36
B. 9
C. 18
D. 36 6
．
已
知
定
义
在
R
上
的
函
数
()
f x 满足
()()()()(](]22l o g 1
,1,00{ 17
3,,122
x x f x f x f x x x x --∈--+==---∈-∞-，且，若关于x 的方程()()f
x t t R =∈恰有
5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ，则12345x x x x x ++++的取值范围是
A. ()2,1--
B. ()1,1-
C. (1，2)
D. (2，3) 7．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，给出以下四个命题： ①()1,1x ∀∈-，有()()f x f x -=-； ②()12,1,1x x ∀∈-且12x x ≠，有
()()1212
0f x f x x x ->-；
③()12,0,1x x ∀∈，有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
； ④()1,1x ∀∈-， ()2f x x ≥. 其中所有真命题的序号是（ ）
A. ①②
B. ③④
C. ①②③
D. ①②③④
8．给出下列命题:①已知,a b ∈R ,“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件; ②已知平面向量,a b ,"1,1">>a b 是“1+>a b ”的必要不充分条件;
③已知,a b ∈R ,“22
1a b +≥”是“1+≥a b ”的充分不必要条件;
④命题:P “0x ∃∈R ,使00e 1x x ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝ “x ∀∈R ,都有
e 1x x <+且ln 1x x >-”.其中正确命题的个数是
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足17180,0S S ><,则
15
12
12
15
,,,
S S S a a a 中最大的项为
A.
77S a B. 88S a C. 1010S a D. 99
S a
10．直线2x =与双曲线2
214
x y -=的渐近线交于,A B 两点，设P 为双曲线上任一点，若(,,0OP aOA bOB a b R =+∈为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. 221a b +≥ B. 1ab ≥ C. 1a b +≥ D. 2a b -≥
11．已知函数()f x 的定义域是()0,+∞，且满足()()()f xy f x f y =+， 112f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
如果对于0x y <<，都有()()f x f y >，不等式()()3 2.f x f x -+-≥-的解集为（ ） A. [)(]-1,03,4⋃ B. []-1,4 C. (]3,4 D. [
)-1,0
12．已知函数y = ()f x 在0,2上是增函数,函数y = ()2f x +是偶函数,则下列结论正确的是
A. ()57122f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()57122f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. ()75122f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. ()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
二、填空题
13．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()y f x =满足下列两个条件，则称()y f x =在定义域D 上是闭函数.①()y f x =在D 上是单调函数；②存在区间[]
,a b D ⊆，使()f x 在
[],a b 上值域为[],a b .如果函数(
)f x k =
为闭函数，则k 的取值范围是
__________.
14．已知函数f(x)= 12
1122{ 1
2x
x log x x ⎛⎫
≤ ⎪
⎝⎭>
，，,若f(x)的图象与直线y=kx 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围________
15．已知函数()2
,0{
4,0
x xe x f x x x x ≤=-+>， ()()g x f x k =-.
（1）当k=0时，函数g （x ）的零点个数为____________；
（2）若函数g （x ）恰有2个不同的零点，则实数k 的取值范围为_________.
16．已知a R ∈，函数()1
,0
{ ,0
x a x f x x
e x -+><，若存在三个互不相等的实数123,,x x x ，使得()()()1231
2
3
f x f x f x e x x x =
=
=-成立，则a 的取值范围是__________．
三、解答题
17．设满足以下两个条件的有穷数列1a ， 2a ， ， n a 为()2,3,4,
,n n =阶“期待数列”：
①1230n a a a a ++++=；
②1231n a a a a +++
+=.
（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”.
（2）若某2017阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式. （3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,
,k S k n =，试证： 1
2
k S ≤
. 18．已知椭圆C ： 22
221(0)x y a b a
b
+=>>的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个
正方形，且其周长为（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设过点B （0，m ）（m>0）的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，点B 关于原点的对称点为D ，若点D 总在以线段EF 为直径的圆内，求m 的取值范围.
参考答案
CACCC BDCDC 11．D 12．D 13．11,2
⎛⎤-- ⎥⎝
⎦
14．[2,2)
15． 2 [)10,4e ⎧⎫⋃-⎨⎬⎩⎭
16．(,-∞-
17．(1)三阶： 12-
， 0， 12 四阶： 38-， 18-， 18， 38． (2) 1
100810091008
n n a =-+⨯；(3)证明见解析.
（1）三阶： 12-， 0， 12 四阶： 38-， 18-， 18， 3
8
．
（2）设等差数列1a ， 2a ， 3a ， ， ()211k a k +≥公差为d ，
∵123210k a a a a +++++=，
∴()()12212102
k k d
k a +++
=，
∴10a kd +=，即10k a +=， ∴2k a d +=且0d =时与①②矛盾，
0d >时，由①②得： 23211
2
k k k a a a +++++
+=
， ∴()11
2
2k k kd d -+
=
，即()
11d k k =+， 由10k a +=得()
101k a k k +
=+，即11
1a k =-+，
∴()()()()
*111
1,21111n n a n n N n k k k k k k k
=-
+-=-∈≤++++， 令2120171008k k +=⇒=，
∴1
100810091008
n n a =
-⨯，
0d <时，同理得()112
2
k k kd d -=
=-，
即()
1
1d k k =-
+，
由10k a +=得()
1101a k k k -⋅
=+即11
1a k =+，
∴()()()()
*111
1,21111n n a n n N n k k k k k k k
=
--=-+∈≤++++， ∴1008k =时， 1
100810091008
n n a =-
+⨯．
（3）当k n =时，显然1
02
n S =≤成立；
当k n <时，根据条件①得12k k S a a a =++
+，
()12k k n a a a ++=-++
+，
即12k k S a a a =++
+，
12k k n a a a ++=+++，
∴12122k k k k n S a a a a a a ++=++++++
+，
∴12
k S ≤
．
18．(Ⅰ) 2212x y +=；(Ⅱ) 03
m <<.
（I ）解：由题意，得： 4{
,
a b c ==又因为222a b c =+
解得1,1a b c ==，所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=. （II ）当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为x=0， 此时E ，F 为椭圆的上下顶点，且2EF =，
因为点()0D m -，总在以线段EF 为直径的圆内，且0m >，
所以01m <<，故点B 在椭圆内.
当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+.
由方程组2
2,
{ 1,
2
y kx m x y =++=得()222214220k x kmx m +++-=，
因为点B 在椭圆内，
所以直线l 与椭圆C 有两个公共点，即()()()
2
2
2
4421220km k m ∆=-+->.
设()()1122,,,E x y F x y ，则2121222
422
,2121
km m x x x x k k --+==++. 设EF 的中点()00,G x y ，则12000222,22121
x x km m x y kx m k k +-===+=++， 所
以
222,2121km
m G k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
.
所
以
DG ==，
EF == 因为点D 总在以线段EF 为直径的圆内，所以2
EF DG <
对于k R ∈恒成立.
<. 化简，得2
4
2
2
2
4
2
273231m k m k m k k ++<++，整理，得22
21
3
k m k +<+，
而()22
21221113333
k g k k k +==-≥-=++（当且仅当k=0时等号成立）所以21
3m <， 由
m>0，得0m <<
.综上，
m 的取值范围是0m <<.。