湖北高考数学题及答案文数

2009年普通高校招生统一考试（湖北卷）
数学（文史类）
注意事项：
1.答题前，考试务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡指定位置。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4.考试结束，请将本试题和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 2.函数)2
1
,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且的反函数是 A.)21,(2121≠∈-+=x R x x x y 且 B.)2
1
,(2121-≠∈+-=x R x x x y 且 C.)1,()
1(21≠∈-+=x R x x x
y 且 D.)1,()
1(21-≠∈+-=
x R x x x
y 且 3.“sin α=2
1”是“2
12cos =α”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有 A.120种 B.96种 C.60种 D.48种
5.已知双曲线1412222
222=+=-b
y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=
A.3
B.5
C.3
D.2
6.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ACB=900,∠ACC 1=600,∠BCC 1=450,侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于 A.2
1 B.2
2 C.23
D.
3
3 7.函数2)6
2cos(-+=π
x y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函
数时，向量a 可以等于 A.)2,6
(-π
B.)2,6
(π C.)2,6
(--π
D.)2,6
(π
-
8.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为
A.2000元
B.2200元
C.2400元
D.2800元
9.设,R x ∈记不超过x 的最大整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则{
215+}，[215+],2
1
5+ A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。

下列数中及时三角形数又
是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

请将答案填在答题卡对应题号的
位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。

11 . 已知（1+ax ）3,=1+10x+bx 3+…+a 3x3,则b= .
12. 甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人
都达标的概率是 ，三人中至少有一人达标的概率是 。

13. 设集合A=(x ∣log 2x<1), B=(X ∣2
1
+-X X <1), 则A B I = .
14. 过原点O 作圆x 2+y 2-－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，则线段PQ 的
长为 。

15. 下图是样本容量为200的频率分布直方图。

-
根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在【6，10】内的频数为 ，数据落在（2，10）内的概率约为 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）
在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23= (Ⅰ)确定角C 的大小：
（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为
2
33,求a ＋b 的值。

17. （本小题满分12分）
围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：元)。

（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。

18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥S ＝ABCD 的底面是正方形，SD ⊥
平面ABCD,SD ＝AD ＝a,点E 是SD 上的点，且DE ＝λa(0<λ≦1). (Ⅰ)求证：对任意的λ∈（0、1），都有AC ⊥BE:
(Ⅱ)若二面角C-AE-D 的大小为600C ，求λ的值。

19.（本小题满分12分）
已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6＝55, a 2+a 7＝16. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式： （Ⅱ）若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝＝
)(2
...222n 33221为正整数n b
b b b n
+++，求数列{b n }的前n 项和S n
20.（本小题满分13分）
如图，过抛物线y 2＝2PX(P>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1 (Ⅰ)求证：FM 1⊥FN 1:
(Ⅱ)记△FMM 1、、△FM 1N 1、△FN N 1的面积分别为S 1、、S 2、
，S 3，试判断S 22＝4S 1S 3是否成立，并证明你的结论。

21.（本小题满分14分）
已知关于x 的函数f(x)＝33
1
x ＋bx 2＋cx ＋bc,其导函
数为f +(x).令g(x)＝∣f +(x) ∣,记函数g(x)在区间[-1、1]上的最大值为M.
(Ⅰ)如果函数f(x)在x ＝1处有极值-3
4
，试确定b 、c 的值：
（Ⅱ）若∣b ∣>1,证明对任意的c,都有M>2:
(Ⅲ)若M ≧K 对任意的b 、c 恒成立，试求k 的最大值。

2009年普通高校招生统一考试湖北卷
数学（文史类）试题参考答案
则2y -45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360 由已知xa=360,得a=
x
360
, 所以y=225x+)0(3603602
φx x
- (II)108003602252360225,022
=⨯≥+∴x
x x φΘ 104403603602252≥-+=∴x x y .当且仅当225x=x
2
360时，等号成立.
即当x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
18. 本小题主要考察空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

（满分12分） （Ⅰ）证发1：连接BD ，由底面是正方形可得AC ⊥BD 。

ΘSD ⊥平面ＡＢＣＤ，∴BD 是BE 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得AC ⊥BE.
(II)解法1：ΘSD ⊥平面ABCD ，ＣＤ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ SD ⊥CD.
又底面ＡＢＣＤ是正方形，∴ ＣD ⊥ＡD ，又ＳＤI AD=D ，∴CD ⊥平面SAD 。

过点D 在平面SAD 内做DF ⊥AE 于F ，连接CF ，则CF ⊥AE ， 故∠CFD 是二面角C-AE-D 的平面角，即∠CFD=60° 在Rt △ADE 中，ΘAD=a , DE= a λ， AE=a 12+λ 。

于是，DF=
1
2
+=•λλa AE
DE
AD
在Rt △CDF 中，由cot60°=
1
2
+=λλCD
DF
得
3
3
1
2=
+λλ， 即332+λ=3λ (]
1,0∈λ，
解得λ=
2
2。