贵州省思南中学2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案

贵州省思南中学2017－2018学年度第一学期高二年级期末考试试题
数 学（文科) 命题人:焦 勇
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分，每小题只有唯一的一个正确答案。

1．已知复数342i z i
-=-,则z 为( ）
A.
55 B. 5 C.
5 D 。

2
52．椭圆22
11625x y +=的焦点坐标为（
)
A ．（0， ±3）
B 。

(±3, 0) C.（0, ±5) D 。

（±4, 0）
3．已知x x
x f 2)(2
-=，且{}0)(<=x f x A ，{}0)(>'=x f x B ，则B A 为（ ）
A ．φ
B 。

{}10<<x x
C.{}21<<x x D 。

{}2>x x
4．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（ ）
A ．23与26
B ．31与26
C ．24与30
D ．26与30
5．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ）
A.)1(2-=x e y B 。

1-=ex y C.)1(-=x e y D 。

e x y -= 6.下列说法正确的是（ ）
A 。

若命题p ，q ⌝为真命题，则命题p q ∧为真命题
B 。

“若
6
π
α=
，则
1sin 2α=
”的否命题是“若6
π
α=
，则
1
sin 2
α≠
”
1 2 4 2 0 3 5 6
3 0 1 1
4 1 2
C 。

若命题p
：“2
000,50x R x x ∃∈-->"的否定p ⌝：“2
,50x R x x ∀∈--≤”
D.若()f x 时定义在R 上的函数，则“(0)0f =是()f x 是奇函数"的充要
条件
7．双曲线与椭圆1
522
=+y x 共焦点，且一条渐近线方程是03=-y x ,则此
双曲线方程为（ ）
A ．1
32
2
=-x y
B ．1322
=-x y
C ．1
32
2=-y x
D ．1
322
=-y x
8．函数
[]
2()255f x x x x =--∈-，，，在定义域内任取一点0
x ，使0
()0f x ≤的概
率是( ）
A ．1
10
B ．23
C ．3
10
D ．45
9．已知条件:12
p x +>，条件2
:56q x x ->，则p ⌝是
q
⌝的
（ ）
A ．
充分不必要条件
B ．必要不
充分条件
C
．
充
要
条
件
D ．既不充分也不必要条件
10．阅读右边的程序框图,运行相应的程序,当输入x
的值为25-时，输出x 的值为( ） A ．1- B ．1 C ．3
11．过抛物线x
y 42
=的焦点F 作一直线交抛
物线于P,Q 两点，若线段PF 与FQ
的长分别是q p ,，则q p 1
1+
=（
）
A ．2
B ．1
C ．2
1 D ．
41
12．已知椭圆22
22:1(0)
x y E a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F
的
直线交椭圆于,A B 两点。

若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）
A 。

22
1
4536x y += B 。

22
1
3627x y +=
C 。

22
12718x y +=
D 。

22
1189x y +=
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，共20分.
13．某校高中生共有900人，其中高一年级300人,高二年级200人，高三年级400人,现采用
抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一年级抽取人数为
14．
把“五进制"数)
5(1234转化为“十进制"数是
15．若函数32()f x x x ax =-++在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是
16．对于函数
)0(,)(3≠=a ax x f 有以下说法：
①0=x 是)(x f 的极值点.
②当0<a 时，)(x f 在),(+∞-∞上是减函数。

③)(x f 的图像与))1(,1(f 处的切线必相交于另一点. ④当0>a 时，)(x f 在),(+∞-∞上是减函数。

其中说法正确的序号是_______________。

三、解答题:本题共6个大题，共70分，17题10，其余各题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，且B c B a C b cos cos 3cos -=
C （1）求B cos 的值;
（2）若2=•，求三角形ABC 的面积ABC
S
∆的值．
18．已知数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，且*1
1()2
n
n S
a n N +=∈。

（1）求数列{}n
a 的通项公式；
（2）设
)
)(1(log *3
1N n S b n n ∈-=，求13
221111++
++n n b b b b b b 的值.
19．如图,AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，EF AB //，矩形ABCD 所在的平面
和圆O 所在的平面互相垂直，且2=AB ，1==EF AD 。

(1）求证：⊥AF 平面CBF ；
（2）设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为ABCD
F V
-，
CBE
F V -，求ABCD
F V -CBE
F V -:．
20．有一户农村居民家庭实施10年收入计划，从第 1年至7年他家的纯收入y （单位:千元）的数据如下表：
（1）将右表填写完整，并求y 关于x 的线性回归方程;
（2）
利用（1）中的回归方程，分析1年至
7年该农户家庭人均纯收入的变化情况,并预测该农户第8年的家庭人均纯收入是多少.
附：回归直线的斜率和截距的
最小二乘法估计公式分别为：
∑∑==--=n
i i
n
i i
i x n x
y x n y
x b
1
2
21
ˆ ,
x b y a ˆˆ-=
21．已知关于x 的函数321
()3f x x bx cx bc
=-+++，其导函数()f x '。

（1）如果函数
4
(),
3f x 在x=1处有极值-试确定
b 、
c 的值；
（2）设当(0,1)x ∈时，函数()()y f x c x b =-+图象上任一点P 处的切线斜率为k ，若1k ≤,求实数b 的取值范围。

22．椭圆22
22:1x y E a b +=（0a b >>
）的离心率是2
，点(0,1)P 在短轴CD 上,且
1PC PD ⋅=-。

（1）球椭圆E 的方程;
（2）设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于,A B 两点.是否存在
常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅ 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由。

贵州省思南中学2017－2018学年度第一学期高二年级期末考试试题
数学（文科）答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B A
C
B
C
C
C
C
A
C
B
D
13、 15 14、 194 15、
1
(,]
3-∞- 16、
②③
17、解：（I ）由正弦定理得a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ， 则2RsinBcosC=6RsinAcosB ﹣2RsinCcosB ， 故sinBcosC=3sinAcosB ﹣sinCcosB, 可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, 即sin （B+C ）=3sinAcosB ，
可得sinA=3sinAcosB ．又sinA ≠0， 因此
．
（II ）解:由
，可得accosB=2，
，
32
2sin =
B
22sin 21
==
B ac S
18、（1)当1n =时,123a =,
当1n >时,112n n S a +=，11112n n S a --+=，
∴131022n n a a --=，即11
3n n a a -=
数列｛n a }为等比数列，公比为31
,首项为2
∴23n n a =.
(2）n n n a S 31
1211-=-=,∴n b n =，
1111
1n n b b n n +=-+，
∴111111113
221+=+-=++++n n n b b b b b b n n ，
19、（1）证明: 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥，
平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，
⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ，又AB 为圆O 的直径,BF AF ⊥∴,
⊥
∴AF 平
面
CBF。

……………………
5分
（2)过点F 作AB FG ⊥于G , 平面⊥ABCD 平面ABEF ，
⊥∴FG 平面ABCD ，
FG FG S V ABCD ABCD F 32
31=⋅=
∴-， ⊥CB 平面ABEF
，
CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅=
=∴∆--31FG CB FG EF 61
2131=⋅⋅⋅=，ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ．
20、
4
.1207=⨯y x
11272=x 21
2814ˆ==∴b
3.2ˆ=a
回归方程
:
3.25.0ˆ+=x y
年，
所以，预计到第纯收入年年至83
.285.071∴,02
1
ˆ+⨯=>=y b
21、解：2'()2f x x bx c =-++
（Ⅰ）因为函数()f x 在1x =处有极值43-
所以'(1)12014(1)33f b c f b c bc =-++=⎧⎪
⎨
=-+++=-⎪⎩
,解得11b c =⎧⎨=-⎩或1
3b c =-⎧⎨=⎩。

(i)当1,1b c ==-时，
2
'()(1)0f x x =--≤, 所以()f x 在R 上单调递减，不存在极值. （ii ）当1,3b c =-=时，'()(3)(1)f x x x =-+-，
(3,1)x ∈-时，'()0f x >，()f x 单调递增;(1,)x ∈+∞时，'()0f x <,()f x 单调递减;
所以()f x 在1x =处存在极大值，符合题意. 综上所述，满足条件的值为1,3b c =-=。

。

（Ⅱ)当(0,1)x ∈时，函数32
1
()()3y f x c x b x bx =-+=-+，
设图象上任意一点00(,)P x y ，则02
000'|2,(0,1)x x k y x bx x ===-+∈， 因为1k ≤，所以对任意0(0,1)x ∈,2
0021x bx -+≤恒成立，
所以对任意0(0,1)x ∈，不等式2
0012x b x +≤
恒成立。

设
2111()()
22x g x x x x +==+,故()g x 在区间(0,1)上单调递减， 所以对任意0
(0,1)x
∈，0()(1)1g x g >=,所以1b ≤。

22、（1）由1PC PD ⋅=-知，(1)(1)1b b -⋅+=,
解得b =
又∵由离心率是2
得到2,a c ==;
∴椭圆E
的方程为：22
142
+=x y .
（2）当直线AB 的斜率存在时，设AB 的解析式为1y kx =+，()11,A x y ，
()22,B x y
联立:()22
221
214204
21x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩
,显然23280k ∆=+>，由韦达定理可知，1
2
12
2242
,2121
k x x x x k k +=-
=-++,()11,1PA x y =-,()22,1PB x y =- ∴
()()()1212121211OA OB PA PB x x y y x x y y λλ⋅+⋅=+++--,
()()()()()22
121222
24211
111221
21
k k
x x k x x k k λλλλλ+++- =+++++ =-=--- ++ 这里,与k 的取值无关，∴10λ-=，即1λ=。

此时123OA OB PA PB λ⋅+⋅=--=-，
当直线AB 的斜率不存在时，AB 就是CD ， 那么()(
)
3,1,3,1OC OD =-
=
∴
31113OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅=-
⨯-=-
综上，存在常数1λ=，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅为定值3-。