高三数学数列的应用

3.5 数列的应用
●知识梳理
1.实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常通过数列知识加以解决.
2.理解“复利”的概念，注意分期付款因方式的不同抽象出来的数列模型也不同.
3.实际问题转化成数列问题，首先要弄清首项、公差（或公比），其次是弄清是求某一项还是求某些项的和的问题.
●点击双基
1.已知{a n}是递增的数列，且对于任意n∈N*，都有a n=n2+λn 成立，则实数λ的取值范围是
A.λ＞0
B.λ＜0
C.λ=0
D.λ＞－3
解析：由题意知a n＜a n+1恒成立，即2n+1+λ＞0恒成立，得λ＞－3.
答案：D
2.设a1，a2，…，a50是从－1，0，1这三个整数中取值的数列，若a1+a2+…+a50=9，且（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a50+1）2=107，则a1，a2，…，a50中有0的个数为
A.10
B.11
C.12
D.13
解析：将已知的等式展开整理得a 12+a 22+a 32+…+a 502=39，故此
50个数中有11个数为0.
答案：B
3.如下图，它满足：（1）第n 行首尾两数均为n ；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行（n ≥2）第2个数是_______________.
1
2 2
3
4 34 7 7 4
5 11 14 11 5
6 16 25 25 16 6
解析：设第n 行的第2个数为a n ，不难得出规律，则a n +1=a n +n ，
累加得a n =a 1+1+2+3+…+（n －1）=
2
2
2+-n n .
答案：2
2
2+-n n
4.已知a n =log n +1（n +2）（n ∈N *），观察下列运算a 1·a 2=log 23·log 34=
2lg 3lg ·3
lg 4
lg =2， a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6=log 23·log 34·…·log 67·log 78=
2
lg 3
lg ·3lg 4lg ·…·6lg 7lg ·7
lg 8
lg =3. ……
定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的k （k ∈N *）叫做企盼数.试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k =2008时，企盼数k =______________.
解析：由a 1·a 2·…·a k =
2lg 3lg ·3lg 4lg ·4
lg 5lg ·…·)1lg()2lg(++k k =2lg )
2lg(+k =log 2
（k +2）=2008，解之得k =22008－2.
答案：22008－2
●典例剖析
【例1】某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.
（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；
（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）
剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.
解:（1）2005年底的住房面积为
1200（1+5%）－20=1240（万平方米），
2006年底的住房面积为
1200（1+5%）2－20（1+5%）－20=1282（万平方米），
∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积为1282万平方米.
（2）2024年底的住房面积为
1200（1+5%）20－20（1+5%）19－20（1+5%）18－…－20（1+5%）－20
=1200（1+5%）20－20×
05
.01
05
.120
≈2522.64（万平方米），
∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.
评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到
实际问题，给出答案.
【例2】由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生60~100万难民，联合国难民署计划从4月1日起为伊难民运送食品.第一天运送1000 t，第二天运送1100 t，以后每天都比前一天多运送100 t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减100 t，连续运送15天，总共运送21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量.
剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.
解：设在第n天达到运送食品的最大量.
则前n天每天运送的食品量是首项为1000，公差为100的等差数列.
a n=1000+（n－1）·100=100n+900.
其余每天运送的食品量是首项为100n+800，公差为－100的等差数列.
依题意，得
1000n+
2)1
(-
n
n×100+（100n+800）（15－n）+
2)
14
)(
15
(n
n-
-×（－100）=21300（1≤n≤15）.
整理化简得n2－31n+198=0.
解得n=9或22（不合题意，舍去）.
答：在第9天达到运送食品的最大量.
评述：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题.
【例3】2002年底某县的绿化面积占全县总面积的40%，从2003年开始，计划每年将非绿化面积的8%绿化，由于修路和盖房等用地，
原有绿化面积的2%被非绿化.
（1）设该县的总面积为1，2002年底绿化面积为a 1=10
4
，经过n
年后绿化的面积为a n +1，试用a n 表示a n +1；
（2）求数列{a n }的第n +1项a n +1；
（3）至少需要多少年的努力，才能使绿化率超过60%.（lg2=0.3010，lg3=0.4771）
剖析：当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积加上新绿化面积.
解：（1）设现有非绿化面积为b 1，经过n 年后非绿化面积为b n +1. 于是a 1+b 1=1，a n +b n =1.
依题意，a n +1是由两部分组成，一部分是原有的绿化面积a n 减去被非绿化部分
100
2
a n 后剩余的面积
100
98
a n ，另一部分是新绿化的面积100
8
b n ，于是 a n +1=10098a n +1008b n =10098a n +1008（1－a n ）
=109a n +25
2. （2）a n +1=109a n +25
2，a n +1－54=109（a n －54）.
数列{a n －54}是公比为10
9，首项a 1－54=104－54=－52的等比数列.
∴a n +1=54+（－52）（10
9）n .
（3）a n +1＞60%，54+（－52）（109）n ＞53，（10
9）n ＜21，n （lg9
－1）＜－lg2，n ＞
3
lg 212
lg ≈6.5720. 至少需要7年，绿化率才能超过60%.
思考讨论
你知道他是怎么想出{a n －5
4}中的5
4来的吗？
●闯关训练 夯实基础
1.某林厂年初有森林木材存量S m 3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x m 3，为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%，则x 的值是
A.
32
S
B.
34
S C.
36
S D.
38
S 解析：一次砍伐后木材的存量为S （1+25%）－x ； 二次砍伐后木材存量为［S （1+25%）－x ］（1+25%）－x . 由题意知（4
5）2S －4
5x －x =S （1+50%），
解得x =
36
S
. 答案：C
2.一批花盆堆成三角形垛，顶层一个，以下各层排成正三角形，逐层每边增加一个花盆，若第n 层与第n +1层花盆总数分别为f （n ）和f （n +1），则f （n ）与f （n +1）的关系为
A.f （n +1）－f （n ）=n +1
B.f （n +1）－f （n ）=n
C.f （n +1）=f （n ）+2n
D.f （n +1）－f （n ）=1
答案：A
3.从2002年1月2日起，每年1月2日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为p ，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为___________万元.
解析：存款从后向前考虑 （1+p ）+（1+p ）2+…+（1+p ）5
=p
p p ]1)1)[(1(6-++
=p
1［（1+p ）7－（1+p ）］.
注：2008年不再存款. 答案：p
1［（1+p ）7－（1+p ）］
4.某工厂去年产值为a ，计划在今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为___________.
解析：每年的总产值构成以a （1+10%）=1.1a 为首项，公比为1.1的等比数列，
∴S 5=1
.11)1.11(1.15--a =11×（1.15－1）a .
答案：11×（1.15－1）a
5.从盛满a L （a ＞1）纯酒精容器里倒出1 L ，然后再用水填满，再倒出1 L 混合溶液后，再用水填满，如此继续下去，问第九次、第十次共倒出多少纯酒精.
解：每次用水填满后酒精浓度依次为a a 1-，（a a 1-）2，（a
a 1-）3
，…，
故每次倒出的纯酒精为
1，a a 1-，（a a 1-）2，…，（a
a 1-）n －1，….
∴第九、十两次共倒出的纯酒精为
（a
a 1-）8＋（a
a 1-）9＝（a
a 1-）8（1＋a
a 1-）
＝
9
8
)1)(12(a a a --.
培养能力
6.已知直线l 上有一列点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），…，P n （x n ，y n ），…，其中n ∈N *，x 1=1，x 2=2，点P n +2分有向线段1+n n P P 所成的比为λ（λ≠－1）.
（1）写出x n +2与x n +1，x n 之间的关系式； （2）设a n =x n +1－x n ，求数列{a n }的通项公式. 解：（1）由定比分点坐标公式得x n +2=λ
λ+++11n n x x .
（2）a 1=x 2－x 1=1， a n +1=x n +2－x n +1=λ
λ+++11n n x x －x n +1
=－λ
+11（x n +1－x n ）=－
λ
+11
a n ， ∴n
n a a 1+=－λ
+11，即{a n }是以a 1=1为首项，－
λ
+11为公比的等比
数列.
∴a n =（－
λ
+11
）n －1.
7.已知点的序列A n （x n ，0），n ∈Ｎ*，其中x l ＝0，x 2＝a （a ＞0），A 3是线段A l A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，A n 是线段A n －2A n
－1
的中点，….
（1）写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式（n ≥３）；
（2）设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a l ，a 2，a 3，由此推测数列｛a n ｝的
通项公式，并加以证明.
解：（1）当n ≥3时，x n =
2
2
1--+n n x x . （2）a 1=x 2－x 1=a ，a 2=x 3－x 2=2
1
2x
x +－x 2=－2
1（x 2－x 1）=－2
1a ，
a 3=x 4－x 3=
2
2
3x x +－x 3=－2
1（x 3－x 2）=－2
1（－2
1a ）=4
1a ，
由此推测：a n =（－2
1）n －1a （n ∈N *）. 证明如下：因为a 1=a ＞0，且a n =x n +1－x n =21-+n n x x －x n =2
1n
n x
x --=
－2
1（x n －x n －1）=－2
1a n －1（n ≥2），所以
a n =（－2
1）n －1a .
探究创新
8.下表给出一个“等差数阵”：
其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数. （1）写出a 45的值； （2）写出a ij 的计算公式；
（3）证明：正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N +1可以分解成两个不是1的正整数之积.
（1）解：a 45=49.
（2）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j =4+3（j －1），
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j =7+5（j －1）， ……
第i 行是首项为4+3（i －1），公差为2i +1的等差数列， 因此a ij =4+3（i －1）+（2i +1）（j －1）=2ij +i +j =i （2j +1）+j .
（3）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j 使得N=i（2j+1）+j，
从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），
从而N=k（2l+1）+l=a kl，
可见N在该等差数阵中.
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
●思悟小结
1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.
2.将实际问题转化为数列问题时应注意：
（1）分清是等差数列还是等比数列；
（2）分清是求a n还是求S n，特别要准确地确定项数n.
3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.
●教师下载中心
教学点睛
1.解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培
养学生的转化意识.
2.分期付款问题要弄清付款方式，不同方式抽象出的数学模型则不一样.
3.“等额还款方式”采用“双向储蓄”的方法比较简便.
4.强化转化思想、方程思想的应用.
拓展题例
【例1】 杭州某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔腾6号，并马上投入生产.第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元.
请你根据以上数据，解决下列问题：
（1）引进该设备多少年后，开始盈利？
（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：
第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出； 第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.
问哪种方案较为合算？并说明理由.
解：（1）设引进设备n 年后开始盈利，盈利为y 万元，则y =50n －（12n +2)1( n n ×4）－98=－2n 2+40n －98，由y ＞0，得10－51＜n ＜10+51.
∵n ∈N *，∴3≤n ≤17，
即3年后开始盈利.
（2）方案一：年平均盈利为n y ，n y
=－2n －n 98
+40≤－
2n n 98
2⋅+40=12，
当且仅当2n =n 98，即n =7时，年平均利润最大，共盈利12×
7+26=110万元.
方案二：盈利总额y =－2（n －10）2+102，n =10时，y 取最大值102，
即经过10年盈利总额最大，
共计盈利102+8=110万元.
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算.
【例2】 据某城市2002年末所作的统计资料显示，到2002年末，该城市堆积的垃圾已达50万吨，侵占了大量的土地，并且成为造成环境污染的因素之一.根据预测，从2003年起该城市还将以每年3万吨的速度产生新的垃圾，垃圾的资源化和回收处理已经成为该市城市建设中的重要问题.
（1）假设1992年底该城市堆积的垃圾为10万吨，从1993年到2002年这十年中，该城市每年产生的新垃圾以8%的年平均增长率增长，试求1993年该城市产生的新垃圾约有多少万吨？（精确到0.01，参考数据：1.0810≈2.159）
（2）如果从2003年起，该市每年处理上年堆积垃圾的20%，现有b 1表示2003年底该市堆积的垃圾数量，b 2表示2004年底该市堆积的垃圾数量……b n 表示2002+n 年底该城市堆积的垃圾数量，①求b 1；②试归纳出b n 的表达式（不用证明）；③计算∞
→n lim b n ，并说明其实际意义.
解：（1）设1993年该城市产生的新垃圾为x 万吨.依题意，得 10+x +1.08x +1.082x +…+1.089x =50， ∴08
.1108.1110--·x =40. ∴x =108.108.010-×40≈2.76万吨.
∴1993年该城市产生的新垃圾约为2.76万吨.
（2）①b 1=50×80%+3=43（万吨）.
②∵b 1=50×80%+3=50×5
4+3， b 2=54b 1+3=50×（54）2+3×5
4+3， b 3=54b 2+3=50×（54）3+3×（54）2+3×5
4+3， ∴可归纳出b n =50×（54）n +3×（54）n －1+3×（54）n －2+…+3×5
4+3 =50×（54）n +3×5
41)54(1--n
=50×（54）n +15［1－（54）n ］=35×（54）n +15.
③∞→n lim b n =∞→n lim ［35×（5
4）n +15］=15. 这说明，按题目设想的方法处理垃圾，该市垃圾总量将逐年减少，但不会少于15万吨.。