最新沈阳市高中三年级教学质量监测(三)文数

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2016 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三）
数 学（文科）
命题： 沈阳市第四中学
吴哲
沈阳市第二十中学 何运亮
沈阳市第二十七中学 李 刚
沈阳市第五十六中学 高文珍
沈阳市第二十中学 王 艳
沈阳市第三十一中学 李曙光
审题： 沈阳市教育研究院 周善富
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第 22 题～第 24 题为选考题，其
它题为必考题．
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．
3. 考试结束后，考生将答题卡交回.
第Ⅰ卷
一．选择题:（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1. 复数 (1 i )3 的模是（ ） 1i
1
1
A.
B.
C. 1
D. 2
3
2
2. 已知集合 A x | (x 1)(x 2)(x 3) 0，集合 B x | y x 2 ，则集合 AI B 真子集的个数是
（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
3. 若直线 l : x y a 0 被圆 x2 y2 a 截得的弦长为 2 ，则 a 的值为（ ）
A. 1
1
B.
2
C. 1
D. 2
4. 已知函数 f (x) 是定义在R 上的偶函数，若当x 0 时， f (x) log 2 (2x) ，则 f (32) （ ）
A. -32
B. -6
C. 6
D. 64
5. 抛物线 y 2 2 px p 0上的动点 Q 到其焦点的距离的最小值为1，则 p ( )
1
A.
B. 1
2
C. 2
D. 4
6. 已知 （ , ）且 sin cos a ，其中 a （0,1），则 tan 的可能取值是( )
22
A. - 3
B. 3
C. - 1 3
1
D.
3
V
V
7. 已知正三棱锥V ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图
所示，则该正三棱锥侧面积是（ ）
A. 12 3
B. 3 39
C. 18
43
D.
9
4
A
正视图 B C
C
A 侧视图 B
A
V
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23
俯视图
B


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8. 等差数列{an} 中， a3 a4 a8 12 ，则前 9 项和 S9 （ ）
A. 18
B. 24
C. 36
D. 48
9. 阅读如图所示程序框图，若输出的 n 5，则满足条件 的整数 p 共有( )个．
A.8
B.16
C.24
D.32
x 2y 2 0 10. 设 x 、 y 满足约束条件 3x 2 y 6 0 ，
x 0, y 0
若目标函数 z ax by(a 0,b 0) 的最大值为12 ，则 a2 b2 的最小值为（ ）
A． 25 4
B． 49 9
C． 144 25
D． 225 49
11. F 是双曲线 x 2 y 2 1 的左焦点，在 x 轴上点 F 的右侧有一点 A ,以 FA 为直径的圆与双曲线左右两支 16 9
FN FM
在 x 轴上方的交点分别为 M , N ，则
的值为（ ）
FA
2 A. 5
5 B. 2
5
4
C. 4
D. 5
12. 关于 x 的方程 2ax x2 2a ln x 有唯一解，则正实数 a 的值为（ ）
A． 1 2
B．1
C． 2
D．2
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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答．第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答．
二.填空题:（本大题共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡的相应位置上）
13. 已知等比数列an ，公比 q 2 ，且其前 4 项和 S4 60 ，则 a2 _________.
14.
P 已知向量
vv a,b 的夹角为
3
，
v a
(1,1),
v b
2 ，则
v a
v 2b
_____________．
4
15.E在区 间
0,D3
上随机地取一个C实数
x
，则事件“
1
log
1 2
(
x
1 2
)
1”发生的概率为_______．
16. 已知球 O 的半径为 1，B点 A,B,C 是球大圆上的任意三点，点 P 是球面上的任意一点，则三棱锥 P ABC
的最A大体积为__________.
三. 解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)
已知在 ABC中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ，若 cos A 7 , a 2 ， 3sin C 4sin B .
8
（Ⅰ）求 b, c 的值；
（Ⅱ）若等差数列an 中 a1 a ， a2 b . （ⅰ）求数列an 的通项公式； （ⅱ）设 bn (1)n an ，求数列bn 的前 n 项和 Tn .
18.（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 的底面是直角梯形，AD P BC ，ADC 90 ，AD 2BC ，PA 平面 ABCD ， E 为线段 PA 的中点.
（Ⅰ）求证： BE P 平面 PCD ； （Ⅱ）若 PA AD 2 ，求点 E 到平面 PCD 的距离.
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19、（本小题满分 12 分）
沈阳市某省级重点高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（ NEPCS ）”，先在本校进行初赛 （满分150 分），若该校有100 名学生参加初赛，并根据初赛 成绩得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，计算这 100 名学生参加初赛成绩的中位数；
（Ⅱ）该校推荐初赛成绩在110 分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛 的学生中随机抽取 2 人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．
20.（本小题满分 12 分）
设
P
为椭圆
x2 a2
y2 b2
1
ab0
上任一点，F1，F2 为椭圆的焦点，|PF1|＋|PF2|＝4，离心率为
3
.
2
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)直线 l : y kx mm 0经过点 (1, 0) ，且与椭圆交于 P 、 Q 两点，若直线 OP , PQ , OQ 的斜率
依次成等比数列，求直线 l 的方程.
21. (本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ex sin x ，其中 xR ， e 271828L 为自然对数的底数． （Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间； （Ⅱ）当 x [0, ] 时， f (x) kx ，求实数 k 的取值范围．
2
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请考生在 22，23，24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.（本小题 10 分）
如图， ABC 是直角三角形， ABC 90 ，以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于 N ，过 N 作圆 O 的切线交
BC 于 D ， OD 交圆 O 于点 M . （Ⅰ）证明： OD // AC ； （Ⅱ）证明： 4DM DM 1 . CN DM AB
A N
O·
M
B
D
C
23.（本小题 10 分）
在平面直角坐标系中，过点
P(3,1)
的直线
l
的参数方程为
x

y
3 1
t t
cos
（
sin
t
为参数，
为 l 的倾斜角）.
以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线 C1 : 2cos ，曲线 C2 : 4cos .
（Ⅰ）若直线 l 与曲线 C1 有且仅有一个公共点，求直线 l 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线 l 与曲线 C1 交于不同两点 C 、 D ，与 C2 交于不同两点 A 、 B ，这四点从左至右依次为
B 、 D 、 C 、 A ，求 AC BD 的取值范围.
24. （本小题 10 分）
已知函数 f (x) ax 1 ， a R .
（Ⅰ）若 x R ， f (x) f (x 2) 1 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（Ⅱ）若 f ( a 1) f (b 1) f (c 1) 4 ，求 f (a2 1) f (b2 1) f (c2 1) 的最小值.
a
a
a
a
a
a
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2016 年沈阳市高三教学质量监测（三）
数学（文科）参考答案与评分标准
说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容
比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可
视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较 严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一．选择题
1.C 2.C 3. C 4.B 5.C 6.C 7.B 8. C 9.D 10. C 11.D 12.A 一．选择题
1.因为 1 i i ，又 i3 i ，所以选 C. 1i
2. 化简集合 A 1,2,3，集合 B x | x 2，所以 A I B 2,3，故选 C.
3. 利用点到直线的距离公式，可以求出圆心 (0, 0) 到直线 x y a 0 的距离为 | a | ，结合圆的半径 a ，以 2
及弦长的一半 2 ，利用勾股定理可以求出 a 1. 2
4.因为 f (x) 是在 R 上的偶函数，所以 f (32) f (32) log 2 64 6，故选 B.
5.因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的
距离，即 p 1, p 2 . 2
6.一法：用单位圆中三角函数线的知识可以知道 ( , 0) ，从而 tan (1, 0) 故选 C. 4
二法：由 sin cos a 平方可得 2sin cos a2 1，由 a （0,1）及 （ , ），有 sin cos 0 22
且 sin cos , ( , 0) , 从而 tan (1, 0) 故选 C. 4
7.有三视图可知定义可知，侧棱VA 4 ，因为底面边长为 2 3 ，所以斜高为 13 ，则正三棱锥的侧面积为
1 3 2 3 13 3 39 .
2
8.
根据题意，由 a3 a4
a8
12 可知 a5
4 ，前 9 项和 S9
(a1 a9 ) 9 2
9 a5
36 .
9.由题 0 22 23 24 P 0 22 23 24 25 ，其中的整数共有 32 个，故选 D.
10. 根据题意，可以画出可行域为阴影区域 OCAB ，目标函数 z ax by 对应的直线方程为 y a x z ， bb
当 z 取得最大值12 时，直线 y a x z 一定经过点 (4, 3) ，即 4a 3b 12 ，其中 a 0,b 0 . 问题转化 bb
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为已知 4a 3b 12 ，其中 a 0,b 0 ，求 a2 b2 的最小值.可以再次利用数形结合思想，如图所示，点 H 在 线段 MN （不包括端点）上运动，求 OH 的最小值. 直接利用点到直线距离公式即可求出.
11.直接取 A 点为双曲线的右焦点 F ，则
FN FM FN FM 2a 4 .
FA
FF
2c 5
M
N
F
O
A
12.令 g(x) x2 2a ln x 2ax ， g(x) 2x 2a 2a 2x2 2ax 2a 2 (x2 ax a) ，
x
x
x
令 g(x) 0 ，∴ x2 ax a 0 ，∵ a 0 ， x 0 ，∴ x0 a
当 x (0, x0 ) 时， g(x) 0 ，∴ g (x) 在 (0, x0 ) 上单调递减， 当 x (x0 ,) 时， g(x) 0 ，∴ g (x) 在 (x0 ,) 上单调递增，
a2 4a ， 2
又
g(x)
0
有唯一解，∴

g(x0 ) g(x0 )

0 0
，即

x02
2a ln x0 x02 ax0
2ax0 a 0
0
，
两式相减得：
2a
ln
x0
ax0
a
0
2 ln
x0
x0
1
0
x0
1 ，∴
a
1 2
．故选
A.
二.填空题
13.8 14. 10 15. 1 16. 3
2
4
13.由 S4 60 ， q 2 列出关于 a2 的方程即可求解.
r 14.由题可知，| a |
2
，
rr agb
2
，|
r a
r 2b
|2
r2 a
rr 4agb
r2 4b
10
，|
r a
r 2b
|
10 .
15.不等式解为
1
x
1
2 ，解得1
x
5
，所以 P
5 2
1
1.
2
2
2
30 2
16.如图所示，当 OP 垂直平面 ABC 时，三棱锥 P ABC 的高最大，等于球的半径. 当△ ABC 是正三角形
时，△ ABC 的面积最大 3 3 . 故三棱锥 P ABC 的最大体积为
3
.
4
4
三. 解答题
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17. （Ⅰ） ABC中 3sin C 4sin B 由正弦定理可得：
3c 4b .
---------2 分
a2 b2 c2 2bc cos A 9 c2 c2 2 3c c 7 c2 ，---------4 分
16
4 84
又 a 2 ，所以 c 4 ， b 3 .
---------5 分
（Ⅱ）（ⅰ）设等差数列an 公差为 d ，由题有 d a2 a1 1，
从而 an n 1.
---------6 分
（ⅱ）（法一）：
当 n 为偶数时:
Tn
(2 3) (4 5) L
L
(n n 1)
n 2
.---------8 分
当 n 为奇数时:
Tn
(2 3) (4 5) L
L
((n 1) n) (n 1)
n 1 (n 1) n 3.
2
2
---------10 分
n
所以 Tn
2 3 4 5 L
L
(1)
n
(n
1)

n
2 3
2
n 2k n 2k 1
(k N) .
--------12 分
（法二）：
Tn (1)2 (1)23 (1)34 L L (1)n (n 1), Tn (1)2 2 (1)33 (1)4 4 L L (1)n n (1)n1(n 1),
---------8 分
两式相减得：
2Tn 2 (1)2 (1)2 (1)3 L L (1)n (1)n1(n 1) 2 1 (1 (1)n1) (1)n (n 1) 1 (1)
3 (1)n (1)n (n 1). 2
---------11 分
Tn
3 (1)n 2(1)n (n 1) . 4
---------12 分
18.（Ⅰ）证明：设线段 的中点为 ， 连接 ， .
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在△ 中， 为中位线，
故
.
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
在底面直角梯形 中，
，且
,故四边形 为平行四边形，
即
.又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
又因为 平面 ， 平面 ，且
，所以平面
平面 .
又 平面 ，所以有 平面 . …………………………………………6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点 到平面 的距离与点 到平面
的距离相等.
连接 AC，设点 到平面 的距离为 ，
因为 PA⊥平面 ABCD，AC 平面 ABCD，所以 PA⊥AC.
根据题意，在 Rt△PAD 中，
，
在 Rt△ADC 中，
，
在 Rt△PAC 中，
，由于
，所以△PCD
为直角三角形，
.
.
又
，所以
.
即点 到平面 的距离为 . …………………………………………………12 分
19.（Ⅰ）设初赛成绩的中位数为 x ，则：
0.001 0.004 0.00920 0.02 x 70 0.5.........................4 分
解得 x 81，所以初赛成绩的中位数为 81；..... ....................6 分
（Ⅱ）该校学生的初赛分数在110,130 有 4 人，分别记为 A, B,C, D ，分数在130,150 有 2 人，分别记为 a, b ，
则在 6 人中随机选取 2 人，总的基本事件有:
A, B, A,C, A, D, A,a, A,b ， B,C,B, D,B,a,B,b ，
C, D,C, a,C,b ， D, a,D,b,a,b 共 15 个 基 本 事 件 ， 其 中 符 合 题 设 条 件 的 基 本 事 件 有 8
个，.........................10 分
故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为
P 8 . ........................12 分 15
20.(Ⅰ)2a＝4，a＝2，c＝ae＝ 3 ，b＝1，所以椭圆方程： x 2 y 2 1. ......4 分 4
（Ⅱ）由题可知， k m ，设点 Px1, y1 ， Qx2 , y2 ，则
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y kx k
由

x2
4
y2
，消
1
y
,得
4k2 1
x2 8k2x 4k2 4 0，
因为直线与椭圆交于不同的两点，所以 64k 4 16(k 2 1)(4k 2 1) 0 ，
解得 k R ，
由韦达定理得，
x1
x2
8k 2 4k 2 1
，
由题意知， k2 kOP kOQ ，
........6 分
x1x2
4k 2 4k 2
4 1
.
........8 分
即 k 2 y1 y2 k 2x1x2 k 2 (x1 x2 ) k 2 k 2 k 2 (x1 x2 ) k 2 ，
x1x2
x1x2
x1x2
x1x2
所以 k 2 (x1 x2 ) k 2 0 ， 即 k 2 1 ，.........................10 分
x1x2
x1x2
4
所以直线 l 的方程为 x 2y 1 0 或 x 2y 1 0 ................12 分
（Ⅰ） f '(x) ex sin x ex cos x ex (sin x cos x) ，………………………………1 分
令 y sin x cos x 2 sin(x ) ， 4
当 x (2k , 2k 3 ) ， k Z 时 y 0 ，
4
4
所以 f '(x) 0 ， f (x) 单调递增，…………………………………………………………3 分
当 x (2k 3 , 2k 7 ) ， k Z ， y 0 ，
4
4
所以 f '(x) 0 ， f (x) 单调递减；………………………………………………………5 分
（Ⅱ）令 g(x) f (x) kx ex sin x kx ，即 g(x) 0 恒成立，
而 g '(x) ex (sin x cos x) k ，
令 h(x) e x (sin x cos x) ，则 h(x) 2e x cos x ，
∵ x [0, ] ， h '(x) 0 h(x) 在[0, ]上单调递增，
2
2
所以1 h(x) e 2 ，………………………………………………………………………7 分
当 k 1 时， g '(x) 0 ， g(x) 在[0, ]上单调递增， 2
g(x) g(0) 0 ，符合题意；……………………………………………………………9 分
当
k
e2
时，
g
'( x)
0
g(x)
在[0,
] 上单调递减，
2
g(x) g(0) 0 ，与题意不合；…………………………………………………………10 分
当1 k e 2 时， g ' (x) 为一个单调递增的函数，
而
g
'(0)
1
k
0
，
g
'(
)
e2
k
0，
2
由零点存在性定理，必存在一个零点 x0 ，使得 g '(x0 ) 0 ， 当 x [0, x0 ) 时， g '(x) 0 ， 从而 g(x) 在 x [0, x0 ) 上单调递减，……………………………………………………11 分
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精品文档 从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合，
综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞．……………………………………………………12分 22.（Ⅰ）
证法（一）取DN 延长线上一点T,连接BN.
因为DN 为圆O 的切线， 所以∠TNA ＝∠ABN ， 又因为AB 为圆O 的直径，BN ⊥AC ，
又因为∠ABC ＝90︒，所以∠ABN ＝∠ACB ， 又∠TNA ＝∠CND ，所以∠CND ＝∠ACB ， 所以DN ＝DC ，
又知DB 为圆O 的切线，DN 也是圆O 的切线，
所以DN ＝DB ，
所以BD ＝DC ，
在∆ABC 中D 是BC 的中点，又O 是AB 的中点，所以OD//AC. ……………………5分 证法（二）取DN 延长线上一点T,连接ON ，BN.
因为DN 为圆O 的切线，
所以∠TNA ＝∠ABN ，ON ⊥DN.
又∠ABC ＝90︒，ON ＝OB ，OD ＝OD ，
所以∆OND 与∆OBD 全等，可知BN ⊥OD ，
知∠ABN ＝∠BDO ＝∠ODN ，
所以∠TNA ＝∠ODN ，
所以OD//AC. ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（1）知2OD ＝AC ，BC ＝2DN ，
又CB 2＝CN ·CA ，所以4DN 2＝CN ·2OD ，
即4DN 2＝CN ·(2DM+AB) ，又DN 2＝DM ·(DM+AB),
所以4DM ·(DM+AB)＝CN ·(2DM+AB)， 即41DM DM CN DM AB
=++. ……………………………………………………10分 23.（Ⅰ）依题1C 的直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)，半径为1， 直线l 的普通方程为：1tan (3)y x α-=-，由题l 与1C
1=， 解得，tan 0α=或4tan 3α=
.……………………………………………3分
所以，直线l 的普通方程为：1y =或4390x y --=，
所以，直线l 的极坐标方程为：sin 1ρθ=或4cos 3sin 90ρθρθ--=.……5分
（Ⅱ）因为直线l 与曲线1C 交于不同两点C 、D ，由（1）可知40tan 3
α<<
.…6分
令两点C 、D 对应参数分别为1t 、2t ，联立l 与1C 得，22(2cos )(1sin )1t t αα+++=，
精品文档 即，2(4cos 2sin )40t t αα+++=，可见12(4cos 2sin )t t αα+=-+，
又2C 的直角坐标方程为：22(2)4x y -+=
令两点A 、B 对应参数分别为3t 、4t ，联立l 与2C 得，22(1cos )(1sin )4t t αα+++=，
即，2(2cos 2sin )20t t αα++-=，可见34(2cos 2sin )t t αα+=-+，………8分 而AC BD -3124()()t t t t =---3412()()t t t t =+-+2cos α=， 所以AC BD -的取值范围是6(,2)5
.………………………………………10分
24.（Ⅰ）由题()(2)f x f x +-1(2)1ax a x =++-+1212ax a ax a =++--≥，
可见，21a ≥，即12a ≥或12
a ≤-…………………………………………5分 （Ⅱ）由111()()()4a
b
c f f f a a a ---++=知4a b c ++=， 而222111()()()a b c f f f a a a
---++222a b c =++，………………………………7分 因为222216()222a b c a b c ab ac bc =++=+++++，
又222ab a b ≤+，222ac a c ≤+，222cb c b ≤+，
所以，222163()a b c ≤++，即222163
a b c ++≥，等号成立当且仅当a b c ==. 因此，222111()()()a b c f f f a a a
---++的最小值是163.………………………10分。