2018学年高中数学人教B版必修4课件：1-2-1 三角函数的定义 精品

我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
三角函数 sin α cos α
tan α
定义 y r x r
y x
sec α
r x
csc α
r y
cot α
x y
定义域 R
R
αα≠kπ＋π2，k∈Z
αα≠kπ＋π2，k∈Z
{α|α≠kπ，k∈Z}
{α|α≠kπ，k∈Z}
名称 正弦 余弦 正切
正割 余割 余切
若角α的终边上有一点P(3,4)，则sin α＋cos α＝________.
解惑：________________________________________________________
[小组合作型] 任意角三角函数的定义及应用 (1)(2016·温州高一检测)若sin α＝35，cos α＝－45，则在角α终边上的
点有( )
A.(－4,3)
B.(3，－4)
C.(4，－3)
(2)∵191°角是第三象限角， ∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. (3)∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2cos 3tan 4<0.
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【答案】 (1)C (2)D
三角函数的定义域
[探究共研型]
探究1 正切函数tan α的定义域为何不是R? 【提示】 根据正切函数的定义tan α＝yx，当α的终边在y轴上，即α＝kπ＋π2(k
∈Z)时，x＝0，正切函数无意义，故正切函数的定义域为
αα≠kπ＋π2，k∈Z
.
探究2 怎样解决与三角函数有关的定义域问题？
所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
【答案】
(1)A
(2)－
3 2
1 2
－3
(3)1或－1
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定 义求出相应三角函数值；
D.(－3,4)
(2)若α＝－π3，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.
(3)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________.
【精彩点拨】 准确理解任意角三角函数的定义是解题的关键. 【自主解答】 (1)由sin α，cos α的定义知x＝－4，y＝3，r＝5时，满足题 意，故选A. (2)因为角－π3的终边与单位圆交于P12，－ 23， 所以sin α＝－ 23，cos α＝12， tan α＝－ 3.
【提示】 解决与三角函数有关的定义域问题要注意以下几种情况： (1)分母不为零，(2)偶次根号下大于等于零，(3)在真数位置时大于零，(4)在 底数位置时大于零且不等于1.
求下列函数的定义域：
(1)y＝sin
x＋cos tan x
x；
(2)y＝ －cos x＋ sin x.
【精彩点拨】 (1)在保证正切函数有意义的前提下满足分式的分母不等于 0；(2)由根式下代数式大于等于0，列出不等式组求交集.
判断三角函数值在各象限的符号的方法： (1)依据口诀“一全正，二正弦，三正切，四余弦”判断. (2)记住正弦、余弦函数值的正负规律：
[再练一题]
2.(1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
(2)下列各式：
①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π，其中符号为负的有
【自主解答】
(1)要使函数有意义，须tan
x≠0，所以x≠kπ＋
π 2
，k∈Z且
x≠kπ，k∈Z，所以x≠k2π，k∈Z. 于是函数的定义域是
xx∈R且x≠k2π，k∈Z
.
(2)要使函数有意义，须s－incxo≥s x0≥，0，
得2kπ＋π2≤x≤2kπ＋32π，k∈Z， 2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z
()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】 (1)因为点P在第四象限，
所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边在第三象限.
(2)－100°在第三象限，故sin (－100°)<0；－220°在第二象限，
故cos(－220°)<0；－10在第二象限，故tan(－10)<0；cosπ＝－1<0.
三角函数符号的判断
判断下列各式的符号.
(1)sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°；
(2)tan 191°－cos 191°；
(3)sin 2cos 3tan 4.
【导学号：72010006】
【精彩点拨】 角度确定了，所在的象限就确定了，三角函数值的符号也就
确定了，因此只需确定角所在象限，即可进一步确定各式的符号.
1.已知角α终边经过P 23，12，则cos α等于(
)
1
3
A.2
B. 2
3 C. 3
1 D.±2
【解析】 由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的
余弦值，故cos
α＝
3 2.
【答案】 B
2.已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为( )
A.1
B.－1
2 C. 2 【解析】
【导学号：72010007】 【解】 ∵角α的终边在直线y＝3x上，且sin α<0，∴α是第三象限角，∴ m<0，n<0.∵P在直线y＝3x上，∴n＝3m.① ∵|OP|＝ 10，∴m2＋n2＝10.② 解①②组成的方程组得m＝－1，n＝－3或m＝1，n＝3(舍去). ∴m－n＝－1－(－3)＝2.
4.如果sin x＝|sin x|，那么角x的取值集合是________.
【解析】 ∵sin x＝|sin x|， ∴sin x≥0， ∴2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
【答案】
x2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z
5.若角α的终边在直线y＝3x上，且sin α<0，又P(m，n)是角α终边上一点，且 |OP|＝ 10，求m－n的值.
D.－
2 2
由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.
【答案】 B
3.sin 1·cos 2·tan 3的值是( )
A.正数
B.负数
C.0
D.不存在
【解析】 ∵0<1<π2，π2<2<π，π2<3<π，∴sin 1>0，cos 2<0，tan 3<0，∴sin
1·cos 2·tan 3>0.
【答案】 A
【解析】 由三角函数定义知，sin α＝45，cos α＝35，
∴sin α＋cos α＝75.
【答案】
7 5
教材整理2 三角函数在各象限的符号 阅读教材P16“例2”以下～P17“例3”以上部分，完成下列问题.
图1-2-1 口诀：“一全正，二 正弦 ，三 正切 ，四 余弦 ”.
已知cos θ·tan θ<0，那么角θ是________象限角. 【解析】 ∵cos θ·tan θ<0，∴sin θ<0. 故由象限角知识可知θ在第三或第四象限. 【答案】 第三或第四
【自主解答】 (1)∵2 015°＝5×360°＋215°， 2 016°＝5×360°＋216°，2 017°＝5×360°＋217°， ∴它们都是第三象限角， ∴sin 2 015°<0，cos 2 016°<0，tan 2 017°>0， ∴sin 2 015°cos 2 016°tan 2 017°>0.
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝yr，cos α ＝xr.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便.
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定要注意对字母正、负的 辨别，若正、负未定，则需分类讨论.
[再练一题] 1.设函数 f(θ)＝ 3sin θ＋cos θ，其中，角 θ 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非负半轴重合，终边经过点 P(x，y)，且 0≤θ≤π.若点 P 的坐标为12， 23，求 f(θ) 的值. 【解】 由点P的坐标为12， 23和三角函数定义得sin θ＝ 23，cos θ＝12， 所以f(θ)＝ 3sin θ＋cos θ＝ 3× 23＋12＝2.
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________
解得2kπ＋π2≤x≤2kπ＋π，k∈Z. 所以函数的定义域是
x2kπ＋π2≤x≤2kπ＋π，k∈Z
.
函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量x的取值范围，注意 求解结果应用区间或集合表示.
[再练一题] 3.(2016·潍坊高一检测)求函数y＝ 16－x2＋ sin x的定义域. 【解】 由题意知1si6n－x≥x2≥0，0， 由y＝16－x2的图象解得16－x2≥0的解集为[－4,4]. 由三角函数线解得sin x≥0的解集为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z. 结合数轴知函数定义域为[－4，－π]∪[0，π].
阶
阶
段
段
一
三
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 三角函数的定义
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角余切、正割、余 割的定义.(难点) 2.会根据三角函数的定义来求正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域， 并知道三角函数在各象限内的符号.(重点)
教材整理1 任意角的三角函数 阅读教材P14～P15，完成下列问题. 在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的 距离是r(r＝ x2＋y2＞0).
(3)因为r＝ －3a2＋4a2 ＝5|a|， ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限. sin α＝yr＝45aa＝45，cos α＝xr＝－5a3a＝－35， 所以2sin α＋cos α＝85－35＝1. ②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，sin α＝－4a5a＝－45，cos α＝－－35aa＝35，