2021年高三数学上学期期末联考试题理(I)

2021年高三数学上学期期末联考试题理(I)
注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域
内。

答在试题卷上无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。

1．已知集合，，则
A． [-2，-1] B．[-1，2] C．[-1，1] D．[1，2]
2. 设i为虚数单位，表示复数的共轭复数，若，则等于
A．-2 B．-2i C．2 D．2i
3．定义在上的偶函数满足：对于任意的，有，则当时，有
A．B．
C．D．
4．已知F为双曲线的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为
A．B．3 C．D．
5．高考后，4位考生各自在甲、乙两所大学中任选一所参观，则甲、乙两所大学都有考生参观的概率为
A．B．C．D．
6．已知图甲是函数的图象，图乙由图甲变换所得，则图乙中的图象对应的函数可能是
A．B．C．D．
7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是
A．34 B．55
C．78 D．89
8．已知，且，
则等于
A．B．
C．D．
9．若实数x，y满足不等式组，且的最大值为9，则实数m等于
A．-2 B．-1 C．1 D．2
10．已知直线和直线，抛物线上一点P到直线的距离之和的最小值是
A．B．2 C．D．3
11．一只蚂蚁从正方体的顶点A处出发，经过正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点的位置，则下列图中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是
A．①②B．①③C．②④D．③④
12．定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则
A．B．
C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题 共4小题，每小题5分，共20分。

请将答案填在答题卡对应题号的位置上。

答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13．已知的展开式中的系数为5，则 ▲ ．
14．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦B ·曼德尔布罗特(Benoit B. Mandelbrot)在20世纪70
年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路．如图是按照分形的规律生长成的一个树形图，则第10行的空心圆的个数是 ▲ ．
15．平面向量，，，且的夹角等于的夹角，则等于 ▲ ．
16．设G 是△ABC 的重心，且7sin 3sin 37sin 0GA A GB B GC C ++=，则角B 的大小为
▲ ．
三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～24为选做题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17．（本题满分12分）在含有3件次品的100件产品中，任取2件，求：
（Ⅰ）取到的次品数的分布列（分布列中的概率值用分数表示，不能含组合符号）； （Ⅱ）至少取到1件次品的概率.
18.（本题满分12分）已知函数的图象过点，且点在函数的图象上． （Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，若数列的前n 项和为，求证.
19.（本题满分12分）如图，在三棱柱中，，
，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.
20.（本题满分12分）已知椭圆的离心率，短轴长为.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标
轴不重合）与椭圆C交于P、Q两点.试问以MN为
直径的圆是否经过定点？请证明你的结论.
21.（本题满分12分）已知函数，且在处的切线斜率为.
（Ⅰ）求a的值，并讨论在上的单调性；
（Ⅱ）设函数，其中，若对任意的总存在，使得成立，求m的取值范围.
请考生在22，23两题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分。

做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号的方框涂黑。

22．（本题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，曲线C2的参数方程为，在以O为极点，x轴
的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1，C2各有一个交点，当时，这两个交点间的距离为2，当时，这两个交点重合.
(Ⅰ)分别说明C1，C2是什么曲线，并求a与b的值；
(Ⅱ)设当时，与C1，C2的交点分别为A1，B1，当时，与C1，C2的交点分别为A2，B2，求直线A1A2、B1B2的极坐标方程.
23．（本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】
设函数.
(Ⅰ)证明；
(Ⅱ)若不等式的解集是非空集，求a的范围．
天门、仙桃、潜江xx－xx学年度第一学期期末考试
高三数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：1—5 ACCAD 6—10 CBACB 11—12 CD
二、填空题：13． -1 ． 14． 21 ．15． 2 ．16．．
三、解答题：本大题分必做题和选做题，其中第17～21题为必做题，第22～24为选做题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

把答案填在答题卡上对应题号指定框内。

17．（本题满分12分）
【解析】：（Ⅰ）因为从100件产品中任取2件的结果数为，从100件产品中任取2件其中恰有k件次品的结果数为，所以从100件产品中任取2件，其中恰有k件次品的概率为---------------------------------------4分
---------------------------------------------------------------8分（Ⅱ）根据随机变量X的分布列，可得至少取到1件次品的概率为
---------------------------------------12分
18.（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）∵函数的图象过点，
∴………………………………………………2分
又点在函数的图象上
从而，即……………………………………6分
（Ⅱ）证明：由
得………………………………8分
则
两式相减得，
∴…………………………………………11分
∴……………………………………………………12分
19.（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）设E为BC的中点，连接由题意得
所以因为，所以
故………………………………………………3分
由D，E分别为，BC的中点，
得，从而，
所以四边形为平行四边形
故,又因为
所以………………………………6分
（Ⅱ）（解法一）作，连接
由，得
由，得全等
由，得，
因此为二面角的平面角……9分
由，得
由余弦定理得………………………………12分
（解法二）以CB的中点E为原点，分别以射线EA，
EB为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz，
如图所示……………………………………7分
由题意知各点坐标如下：
所以……9分
设平面的法向量为，平面的法向量为
由，即
可取
由，即
可取
于是
由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，
故二面角的平面角的余弦值为……………………12分
20.（本题满分12分）
【解析】（Ⅰ）由短轴长为，得
由，得
∴椭圆C的标准方程为……………………………………5分
（Ⅱ）结论：以MN为直径的圆过定点………………………………7分
证明如下：设，则，且，即，
∵，
∴直线PA的方程为，∴，
直线QA的方程为，∴，
以MN为直径的圆为
即………………………………9分
∵，∴令，则，解得
∴以MN为直径的圆过定点…………………………12分
21.（本题满分12分）
'=+-=-+………………1分【解析】（Ⅰ）∵()sin cos sin(1)sin cos
f x a x ax x x a x ax x
∴，………………………………………………………3分
当时，或
当时，或
∴在上单调递增；在上单调递减………6分
（Ⅱ）当时，单调递增，
∴，
则只需在上恒成立即可……………………………………7分
①当时，
∴在上恒成立，
即在上单调递增
又，∴
∴在上恒成立，故时成立；………………………9分
②当，时，，此时单调递减
∴，故时不成立………………………………11分
综上所述，m的取值范围是…………………………………………12分
22．（本题满分10分）【选修4—4 坐标系统与参数方程】
【解析】(Ⅰ) C1是圆，C2是椭圆
当时，射线与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），
因为这两点间的距离为2，所以a=3…………………………………………2分
当时，射线与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），
因为这两点重合，所以b=1……………………………………………………5分(Ⅱ) C1，C2的普通方程分别为和………………………6分
当时，射线与C1的交点A1的横坐标为，
与C2的交点B1的横坐标为
当时，射线与C1，C2的交点A2，分别与A1，B1关于x轴对称
因此直线A1 A2、B1B2垂直于极轴，故直线A1 A2和B1B2的极坐标方程分别为
，……………………………………………10分
23．（本题满分10分）【选修4—5 不等式选讲】
【解析】(Ⅰ)函数
则
……………3分
…………5分
(Ⅱ)
当时，, 则
当时，，则；
当时，，则
于是的值域为…………………………………8分
由不等式的解集是非空集，即，
解得，由于则的取值范围是（-1，0）…………………10分,37047 90B7 邷25885 651D 攝39726 9B2E 鬮 23567 5C0F 小|i_36601 8EF9 軹'- c。