精品解析：河南省鹤壁市高中2020-2021学年高二上学期第四次段考理科试题(原卷版)

鹤壁高中2022届第四次段考理科数学
一、选择题(每小题5分，共60分）
1. 复数z 满足()1243i z i +=+，则复数z =（ ）
A. 2i -
B. 2i +
C. 2i -+
D. 2i -- 2. 在等差数列{}n a 中，若12
33a a a ，11121312a a a ++=，则59a a +=（ ） A. 15 B. 10 C. 5 D. 1
3. 已知等比数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，则22212...n a a a +++等于（ ）
A. ()221n -
B.
()1213n - C. 41n - D. ()1413
n - 4. 已知0x 是函数1()21x f x x =+-的一个零点，若()()10201,,x x x x ∈∈+∞，则（ ） A. 1()0f x <，()20f x <
B. 1()0f x <，()20f x >
C. ()10f x >，()20f x <
D. ()10f x >，()20f x >
5. 在ABC ∆中，
已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =，且10,a b +=则向量AB 在向量AC 上的投影是（ ） A. 6 B. 9 C. 6- D. 7 6. 已知函数()2ln(3)8f x x x =+，则0(12)(1)lim
x f x f x ∆→-∆-∆的值为（ ） A. 10
B. 10-
C. 20-
D. 20 7. 不等式111
x <-的解集记为p ，关于x 的不等式2(1)0x a x a +-->的解集记为q ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (2,1]--
B. [2,1]--
C. (][
),21,-∞-⋃-+∞ D. (,2)(1,)-∞-⋃-+∞ 8. 已知椭圆C ：22
22x y 1(a b 0)a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，且12AF AF 0⋅=，直线
2AF 交y 轴于点M ，若12FF 6OM =，则该椭圆的离心率为( )
A. 13
B.
C. 58
D.
9. 已知函数f (x )的导函数f '(x )的图象如图所示,f (-1)=f (2)=3,令g (x )=(x -1)f (x ),则不等式g (x )≥3x -3的解集是
A. [-1,1]∪[2,+∞)
B. (-∞,-1]∪[1,2]
C. (-∞,-1]∪[2,+∞)
D. [-1,2]
10. 定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的函数()f x 满足()()0f x f x +-=，其导函数为()f x '，当02
x π≤<时，有()()cos sin 0f x x f x x '+<成立，则关于x 的不等式()2cos 4f x x π⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭
的解集为（ ） A. ,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭ C. ,00,44ππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D. ,0,442πππ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11. 若函数()33=-f x x x 在区间()5,21a a -+上有最小值，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (]1,4-
B. ()1,4-
C. 11,2⎛
⎤- ⎥⎝⎦ D. 11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭
12. 已知关于x 的不等式()11x e x
lnx x λλ+>+在()0,∞+上恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B. (),e +∞
C. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
D. ()0,e
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知1cos 32
π
= 21cos cos
554
π
π= 231cos cos cos 7778πππ= …… 根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．
14. 已知函数()21,11,1x x x f x e
x ⎧⎪--≤≤=⎨>⎪⎩ 则21()d f x x -⎰=___________． 15. 对于每个自然数n ，抛物线()
()22211y n n x n x =+-++与x 轴交于,n n A B 两点，以n n A B 表示该两点间的距离，则112220202020A B A B A B ++⋯+的值是_____________________．
16. 若函数()2x x f x ax e
=-存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是_______________________． 三、解答题
17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的三条对边分别为a ，b ，c ，
，cos 3sin b C b C a +=. （1）求角B ；
（2）点D 在边BC 上，4AB =，32CD =，3cos 5
ADC ∠=.求AC . 18. 已知数列{}n a 中，15a =且1221(2n n n a a n -=+-≥且*n N ∈)．
（1）证明：数列12n n a -⎧⎫
⎨⎬⎩⎭等差数列；
（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
19. 如图，在几何体SABCD 中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，2AD CD ==，1BC =，又2SD =，120SDC ︒∠=．
（1）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；
（2）求平面SAD 与平面SAB 所成锐二面角的余弦值.
20. 已知函数()()x
f x x a e =+，其中a 为常数． （1）若函数()f x 是区间[3,)-+∞上的增函数，求实数a 的取值范围．
（2）若2()f x e ≥在[0,2]x ∈时恒成立，求实数a 取值范围．
21. 抛物线2
4y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A 、B 两点． (Ⅰ)若点()1,0T -，且直线AT ，BT 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值； (Ⅱ)设A 、B 两点在抛物线的准线上的射影分别为P 、Q ，线段PQ 的中点为R ，求证：//AR FQ ． 22.
已知函数()f x = 21nx —x 2+ax （a ∈R ）
（I ）当a=2时，求()f x 的
图象在x=l 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （ x 2，0）（0< x 1< x 2）， 求证：12'02x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭（其中()'f x 为()f x 的导函数）。