【2022】江西省高考数学考前押题试卷(含答案) (2)

江西省高考数学考前压轴试题
（含答案）
一、单选题（共60分）
1．若1sin 63πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，则5sin 26πα⎛
⎫
+=
⎪⎝
⎭
（ ） A ．
7
9 B ．
13 C ．
89
D ．
23
2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2783622011a a a a a ++=+，则
11
8
S S =（ ） A ．
3
7
B ．
16 C ．
511
D ．
54
3
．5
1⎫
⎪⎭
的展开式中1x 项的系数为（ ）
A ．5-
B ．10-
C ．5
D ．10
4
．执行如图的程序框图，若输入x =y 值为（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．15
1
．已知集合{
}
2A =<，{}5B x x =≤，则A B =（ ）
A ．{}5x x ≤
B ．{}
35x x ≤≤
C ．{}
37x x ≤<
D ．{}
35x x <≤
2．复数z 满足i 12i z ⋅=+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7．将曲线2
2
x y x y +=+围成的区域记为Ⅰ,曲线1x y +=围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为（ ） A ．
1
2
π+ B ．
11
π+ C ．
2
2
π+ D ．
21
π+ 8．在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示1~9的数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，
例如，137可以用7根小木棍表示“”，则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“0”
且没有重复数字的三位数的个数是（ ）
A ．12
B ．18
C ．24
D ．27
9．已知函数()[]()2
2cos
,2
x
f x x x ππ=-++∈-，则不等式()()120f x f +->的解集为（ ） A ．[)(],31,ππ-- B ．[)(],13,ππ--
C ．()3,1-
D ．()1,3-
10．半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知双曲线()2222
:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1
F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B
C
D
12．已知函数22x
x
y e x e
=+
和函数()a y a R x =∈，关于这两个函数图象的交点个数，下列四个结论：①
当a <②当221
e a e +=时，两个函数图
象恰有三个交点；③
当221e a e +<<时，两个函数图象恰有两个交点；
④当221
e a e
+>时，两个函数图象恰有四个交点.正确结论的个数为（） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题（共
20分）
13．对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，...，如表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽前所需培育的天数的众数是________.中位数是________.
14．若实数x ，y 满足条件10,
10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则32z x y =+的最大值为______.
15．在扇形OAB 中，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 上的一个动点.若OC xOA yOB =+，则
2x y +的取值范围是________.
16．正方形ABCD 的两个顶点,A B 在直线40x y +-=上，另两个顶点,C D 分别在直线
210x y --=，4230x y +-=上，那么正方形ABCD 的边长为________.
四、解答题（共
70分）
17．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2sin 2C C +=C 为锐角.
（1）求角C 的大小；
（2）若cos BAC ∠=，点D 为边BC 上的动点（不与C 点重合），设AD DC λ=，求λ的取值范围.
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，BC //AD ，23
πBAD ∠=
，2PA AB BC ===，4=AD ，点M 是棱PD 的中点.
（1）求证：//CM 平面PAB ； （2）求二面角M AC D --的大小.
19．为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为23
，乙每次投篮命中的概率为1
2，
且各次投篮互不影响.
（1）经过1轮投篮，记甲的得分为X ，求X 的分布列及期望；
（2）若经过n 轮投篮，用i p 表示第i 轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率. ①求123,,P P P ；
②规定00P =，经过计算机模拟计算可得()111,i i i P aP bP i i N +-=+≥∈，请根据①中123,,P P P 值求出,a b 的值，并由此求出数列{}n P 的通项公式.
20．已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上的点到准线的最小距离为1.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线C 交于,A B 两点，2l 与抛物线C 交于,C D 两点，,M N 分别为弦,AB CD 的中点，求MF NF ⋅的最小值. 21．已知函数()()2
ln f x ax x
a R =+∈.
（1）讨论函数()f x 的单调区间情况； （2）若函数()()2
ln 0f x ax x
a =+≠有且只有两个零点1
2
,x x
，证明：
12112
e x x e -<+<-.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ为参数），将曲线C 上各
点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到曲线1C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 100ρθρθ+-=. （1）写出曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；
（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()11,M ρθ，()22,N ρθ（以上两点坐标均为极坐标，
10ρ>，20ρ>，102θπ≤<，202θπ≤<），使点M 、N 到l 的距离都为1？若存在，
求出12θθ-的值；若不存在，请说明理由. 23．设函数()cos 21f x x a a =+-++. （1）若11
32
f π⎛⎫>
⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. （2）证明：对于任意的x ∈R ，()1
214f x a a
≥---成立.
答 案
1．A 2．D 3．B 4．D. 5 B 6．D 7．C 8．C 9．C 10．B
11．D 12．D 13．4 3.5 14．13 15．[]1,2
16． 17．（1）6
C π
=（2）1
,2λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
【详解】
解：（1）∵2sin 2C C +=
∴)sin 21cos2C C -=
∴sin 20C C =
∴tan 2C =∵C 为锐角，则()20,C π∈ ∴23
C π
=，
∴6
C π
=
，
（2）由cos 03
BAC ∠=-<，可知2BAC π∠>，
∵在ADC 中，
sin sin AD DC
C DAC
=∠， ∴sin 1
sin 2sin AD C DC DAC DAC
λ===∠∠， ∵0DAC BAC <∠∠≤， ∴(]sin 0,1DAC ∠∈， ∴1,2λ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
.
故λ的取值范围为1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
.
18．（1）见解析（2）6
π
【详解】
证明：（1）如图，取AP 的中点E ，连接BE 、EM . ∵M 是PD 的中点，∴1
2
EM AD =，//EM AD ， 又1
2
BC AD =
，//BC AD ，所以EM BC =，//EM BC ， ∴四边形BCME 为平行四边形， ∴//CM BE ，
又BE ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， ∴//CM 平面PAB .
（2）在平面ABCD 内过点A 作AD 的垂线Ax ，由题意知PA ，Ax ，AD 两两垂直，以
A 为坐标原点，Ax ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，由题意知2PA AB BC ===，4=AD ，23
πBAD ∠=，
可得()0,0,0A ，)
C
，()0,2,1M ，∴(
)
3,1,0AC =
，()0,2,1AM =，
设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，
则由00n AC n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0
20y y z +=+=⎪⎩
，令3y =-，则x =6z =，
∴(
)
3,3,6n =
-为平面MAC 的一个法向量.
∵PA ⊥底面ABCD ，∴可取平面ACD 的一个法向量为()0,0,1m =，
∴6cos ,48
n m n m n m
⋅=
=
=⋅ ∵二面角M AC D --为锐二面角， ∴二面角M AC D --的大小为
6
π.
19．
解：（1）X 的可能取值为1,0,1-， 则()111
1326
P X =-=
⨯=； ()12121
01123232P X ⎛⎫⎛⎫==⨯+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；
()2111323
P X ==
⨯=. ∴X 的分布列为：
期望()11111016236
E X =-⨯
+⨯+⨯=.
即经过1轮投篮，甲得分的期望为1
6
分. （2）①由（1）知116
P =
， 经过两轮投球，甲的累计得分低的有两种情况：
一是甲两轮都得分为1-；二是两轮中甲一轮得0分，另一轮得1-分，则
2
122111762636P C ⎛⎫=+⨯= ⎪⎝⎭
. 经过三轮投球，甲累计得分低有四种情况：111---；110--+；100-++；111--+，
则3222
21233331111111436626263216
P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯+⨯= ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ②将0123,,,P P P P 的值分别代入11i i i P aP bP +-=+得17
636
743136216
6a a b
⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 得6
7a =
，17
b =. ∴116177i i i P P P +-=
+，即()111
6
i i i i P P P P +--=-， 又1016P P -=，所以{}1
n n P P --是首项16、公比都是16
的等比数列. ∴116n
n n P P -⎛⎫-= ⎪
⎝⎭
，
∴()()()1121001111166 (115616)
n n n n n n n P P P P P P P P ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-+-++-+==- ⎪⎝⎭-， ∴数列{}n p 的通项公式为11156n n P ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. 20．（1）24y x =（2）8 【详解】
（1）∵抛物线C 上的点到准线的最小距离为1，∴12
p
=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为：24y x =；
（2）由（1）可知焦点为()1,0F ，
由已知可得AB CD ⊥，∴两直线,AB CD 的斜率都存在且均不为0，
设直线AB 的斜率为k ，则直线CD 的斜率为1k
-
， ∴直线AB 的方程为()1y k x =-，
联立方程()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x 得：2440ky y k --=， 设点()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y k
+=， ∵(),M M M x y 为弦AB 的中点，所以()12122M y y y k =
+=， 由()1M M y k x =-，得2211M M y x k k =
+=+， ∴点2221,M k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， 同理可得：()
221,2N k k +-，
∴NF ==，2MF k =，
∴21448k MF NF k +==⨯≥⨯=， 当且仅当1k k
=，即1k =±，等号成立， ∴MF NF ⋅的最小值为8.
21．【详解】
（1）()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()22ax f x a x x
+'=+=， 当0a =时，0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0-∞上递减，0x >时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上递增；
当0a >时，在()2,0,x a ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，在2,0x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
上，()0f x '<，
()f x 在2,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,∞+上分别递增； 当0a <时，在20,x a ⎛
⎫∈- ⎪⎝⎭上，()0f x '>，在()2,0,x a ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭
上，()0f x '<，()f x 在(),0-∞和2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上分别递减，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭上递增. （2）由（1）可知，当0a >时，()f x 在2,0a ⎛⎫-
⎪⎝⎭上递减，在2,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,∞+上分别递增，
在()0,x ∈+∞上，当0x +→时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →+∞，()f x 在()0,x ∈+∞上有且只有一个零点；
在(),0x ∈-∞上，当0x -→时，()f x →-∞，当x →-∞时，()f x →-∞，为使()f x 有且只有两个零点，则()f x 在(),0x ∈-∞上有且只有一个零点，则需()f x 在()
,0x ∈-∞的最大值()max 2222ln 0f x f a a ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭
，可得2a e =，零点12x e a =-=-； 而当2a e =
时，()22ln f x x x e =+，()210f e =>，111ln 24f e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵1
4e e e <<，
∴1
1
14e e >，111ln ln 4e e >，11ln 4e ->，111ln 024f e ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭， ∴另一个零点满足：
2112x <<， ∴12112
e x x e -+<+<-+， 由（1）可知，当0a <时，()
f x 在(),0-∞和2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上分别递减，在20,a ⎛⎫- ⎪⎝
⎭上递增， 在(),0x ∈-∞上，当0x →时，()f x →-∞，当x →-∞时，()f x →+∞，()f x 在(),0x ∈-∞上有且只有一个零点；
在()0,x ∈+∞上，当0x +→时，()f x →-∞，当x →+∞时，()f x →-∞，为使()f x 有且只有两个零点，则()f x 在()0,x ∈+∞上有且只有一个零点，则需()f x 在()0,x ∈+∞的最大值()max 2222ln 0f x f a a ⎛⎫⎛⎫=-=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2a e =-，零点22x e a =-=； 而当2a e =-时，()22ln f x x x e =-+，()210f e -=>，111ln 24f e
⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，由上面证明可知，111ln 024f e ⎛⎫
-=
+< ⎪⎝⎭， ∴另一个零点满足：1112x -<<-
， ∴12112
e x x e -<+<-， 综上可知，12112
e x x e -<+<-. 22．（1）2ρ=，43100x y +-=；（2）存在，1243πθθ-=
. 【详解】
（1）由曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）， 将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），
得到曲线1C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数）， 得到曲线1C 的直角坐标方程为224x y +=，其极坐标方程为2ρ=，
又直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 100ρθρθ+-=，
故其直角坐标方程为43100x y +-=.
（2）曲线1C 是以O 为圆心，2为半径的圆，
圆心O 到直线l 的距离2d ==，
所以存在这样的点,M N ，MN l ∥，且点O 到直线MN 的距离为1OD =，
如图所示：
因为1cos 22
OD DON ∠==，所以3DON π∠=， 即：23
MON π∠=. 又因为10ρ>，20ρ>，102θπ≤<，202θπ≤< 所以1243
πθθ-=. 23．（1）3a >或2a <-；（2）见解析
【详解】
（1）∵()cos 21f x x a a =+-++， ∴1132
f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，可化为：215a a -++>， 12215a a a a <-⎧⇒<-⎨--->⎩
， 12215
a a a -≤<⎧⇒∅⎨-++>⎩， 23215a a a a ≥⎧⇒>⎨-++>⎩
. 综上所述：3a >或2a <-.
（2）要证()1214f x a a
≥---恒成立，
即证1cos 21214x a a a a
+-++≥---恒成立， 也就是证明111cos 4a x a
-++≥-恒成立. ∵cos y x =-的最大值为1， 即证11114a a
-++≥. ∴()11111144a a a a ⎛⎫-++≥-++ ⎪⎝⎭
11144a a a a =+=+≥=. ∴原结论成立.。