四种命题与反证法

四种命题与反证法
[教学目的]使学生会判断命题及命题真假性，理解四种命题（原命题、逆命题、否命题、逆否命题）的关系，剖析反证法的理论依据。

[教学重点]理解四种命题的关系。

[教学难点]体会反证法的理论依据。

[教学过程]
一、新课引入
本课针对学生在立体几何中证明的困难，穿插入关于四种命题的讲解，使学生理解证明的理论依据，尤其是反证法的理论依据。

二、讲解新课
（一）命题的概念
命题：判断一件事情的语句。

命题一般由题设（条件）和题断（结论）两部分组成。

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

例１、判断下列语句是不是命题？若是，写出其题设和结论：
１、对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。

２、已知f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)，若f(t)<0, 则这方程必有一根大于t,一根小于t.
３、经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

４、明天还下雨吗？
５、不等式x+5<3.
[简析]1是命题，题设为“对数符号后面含有未知数的方程”，结论为“叫做对数方程”
2是命题，题设为“已知f(x)=ax2+bx+c=0(a>0)，若f(t)<0”，结论为“则这方程必有一根大于t,一根小于t”
3是命题，题设为“经过不在一条直线上的三点”，结论为“有且只有一个平面”
4是疑问句，不是命题。

5不是命题。

说明：数学中的定义、公理、定理、公式和法则等都是命题，是对客观存在事物的肯定或否定的思维形式。

（二）四种命题的命题结构
说明：用Ａ和Ｂ分别表示原命题的题设和结论，用和来表示Ａ和Ｂ的否定。

原命题：若Ａ成立，则Ｂ成立。

即Ａ=>Ｂ。

逆命题：若Ｂ成立，则Ａ成立。

即Ｂ=>Ａ。

否命题：若成立，则成立。

即=>。

逆否命题：若成立，则成立。

即=>。

（三）四种命题
例２、写出下列命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题：
１、两条直线相交，则这两条直线共面。

答：逆命题：两条直线共面，则这两条直线相交。

否命题：两条直线不相交，则这两条直线不共面。

逆否命题：两条直线不共面，则这两条直线不相交。

２、对顶角相等。

答：原命题：有两个角，若这两个角是对顶角，则这两个角相等。

逆命题：有两个角，若这两个角相等，则这两个角是对顶角。

否命题：有两个角，若这两个角不是对顶角，则这两个角不相等。

逆否命题：有两个角，若这两个角不相等，则这两个角不是对顶角。

３、若a、b都是有理数，则ab是有理数。

答：逆命题：若ab是有理数，则a、b都是有理数
否命题：若a、b不都是有理数，则ab也不是有理数。

逆否命题：若ab不是有理数，则a、b不都是有理数
（四）真命题和假命题
真命题：正确的命题。

假命题：错误的命题。

真假命题的判断：判断例二中所有命题的真假，若是真命题给出证明，若是假命题，举出反例。

（五）等价命题
两个命题材如果说同真同假，则称为等价命题。

显然：互为逆否命题的两个命题是等价命题。

即原命题逆否命题。

（六）反证法的理论依据
证明方法：分为直接证法和间接证法。

其中间接证法中有一种重要的证明方法----反证法，它的理论依据是互为逆否命题的两个命题是等价命题，将原命题的证明转化为它的逆否命题来证明。

例３、空间四点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ不在同一平面内，则直线ＡＢ和直线ＣＤ既不相交也不平行。

分析：此命题的逆否命题为：如果空间两条直线ＡＢ和直线ＣＤ相交或平行，则四点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ在同一平面内。

应用反证法即先证明其逆否命题成立。

证明：如果直线AB和CD相交或平行，则这两条直线确定一个平面（推论）
设这个平面为，即
（公理一）
即四个点A,B,C,D同在平面内，这与已知条件A,B,C,D不在同一平面内相矛盾。

AB和CD既不相交也不平行。

证明略。

三、小结：1、四种命题
2、等价命题
3、反证法的理论根据。