峨山彝族自治县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

峨山彝族自治县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “x 2﹣4x ＜0”的一个充分不必要条件为（ ） A ．0＜x ＜4 B ．0＜x ＜2 C ．x ＞0 D ．x ＜4
2． 已知集合{}{}
42
1,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素
x 对应，则,a k 的值分别为（ ） A ．2,3 B ．3,4 C ．3,5 D ．2,5
3． 已知定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （1）=3，且f （x ）的导数f ′（x ）在R 上恒有f ′（x ）＜2（x ∈R ），则不等式f （x ）＜2x+1的解集为（ ） A ．（1，+∞） B ．（﹣∞，﹣1）
C ．（﹣1，1）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
4． 将函数()sin 2y x ϕ=+（0ϕ>）的图象沿x 轴向左平移8
π
个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的最小值为（ ） （A ）
43π （ B ） 83π （C ） 4
π （D ） 8
π
5． 直线的倾斜角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 如图是一个多面体的三视图，则其全面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7． 集合U=R ，A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}，B={x|y=ln （1﹣x ）}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A ．{x|x ≥1}
B ．{x|1≤x ＜2}
C ．{x|0＜x ≤1}
D ．{x|x ≤1}
8． 在等差数列{a n }中，a 3=5，a 4+a 8=22，则
{}的前20项和为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
9． 三个数a=0.52，b=log 20.5，c=20.5之间的大小关系是（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．a ＜b ＜c D ．b ＜c ＜a 10．设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0
，则当
+
取得最小值时，实数a 的值是（ ）
A
．
B
．
C
．
或 D ．3
11．已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ） A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
C ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥n
D ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β
12．已知全集U R =，{|239}x A x =<≤，{|02}B y y =<≤，则有（ ） A ．A ØB B ．A
B B =
C ．()R A B ≠∅ð
D ．()R A B R =ð
二、填空题
13．已知,0()1,0
x e x f x x ì³ï=í<ïî，则不等式2
(2)()f x f x ->的解集为________．
【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力． 14．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．
15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，2a n+1=a n ，若对于任意n ∈N *，当t ∈[﹣1，1]时，不等式x 2+tx+1＞S n 恒成立，则实数x 的取值范围为 ．
16．设不等式组表示的平面区域为M，若直线l：y=k（x+2）上存在区域M内的点，则k的取值范
围是．
17．已知函数y=f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）=x0，则称x0为函数y=f（x）的不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））=x0，则称x0为函数y=f（x）的稳定点．则下列结论中正确的是．（填上所有正确结论的序号）
①﹣，1是函数g（x）=2x2﹣1有两个不动点；
②若x0为函数y=f（x）的不动点，则x0必为函数y=f（x）的稳定点；
③若x0为函数y=f（x）的稳定点，则x0必为函数y=f（x）的不动点；
④函数g（x）=2x2﹣1共有三个稳定点；
⑤若函数y=f（x）在定义域I上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．
18．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，异面直线A1C1与CE
所成角的余弦值为，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为．
三、解答题
19．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．
（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？
（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？
（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．
20．已知{a n}为等比数列，a1=1，a6=243．S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．
（1）求{a n}和{B n}的通项公式；
（2）设T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，求T n．
21．已知函数f（x）=sin2x•sinφ+cos2x•cosφ+sin（π﹣φ）（0＜φ＜π），其图象过点（，．）（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（Ⅱ）若x0∈（，π），sinx0=，求f（x0）的值．
22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
（Ⅰ）求证AB•PC=PA•AC
（Ⅱ）求AD•AE的值．
23．已知P（m，n）是函授f（x）=e x﹣1图象上任一于点
（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式
（Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=，当点M在函数
y=h（x）图象上时，公式变为，请参考该公式求出函数ω（s，t）=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．
24．已知函数f（x）=．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断并证明f（x）的奇偶性；
（3）求证：f（）=﹣f（x）．
峨山彝族自治县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：不等式x 2
﹣4x ＜0整理，得x （x ﹣4）＜0
∴不等式的解集为A={x|0＜x ＜4}，
因此，不等式x 2
﹣4x ＜0成立的一个充分不必要条件，
对应的x 范围应该是集合A 的真子集．
写出一个使不等式x 2
﹣4x ＜0成立的充分不必要条件可以是：0＜x ＜2，
故选：B ．
2． 【答案】D 【解析】
试题分析：分析题意可知：对应法则为31y x =+，则应有42331331a a a k ⎧=⨯+⎪⎨+=⋅+⎪⎩（1）或4231
3331
a k a a ⎧=⋅+⎪⎨+=⨯+⎪⎩（2），
由于*
a N ∈，所以（1）式无解，解（2）式得：25a k =⎧⎨=⎩。

故选D 。

考点：映射。

3． 【答案】A
【解析】解：令F （x ）=f （x ）﹣2x ﹣1， 则F ′（x ）=f ′（x ）﹣2，
又∵f （x ）的导数f ′（x ）在R 上恒有f ′（x ）＜2， ∴F ′（x ）=f ′（x ）﹣2＜0恒成立，
∴F （x ）=f （x ）﹣2x ﹣1是R 上的减函数， 又∵F （1）=f （1）﹣2﹣1=0，
∴当x ＞1时，F （x ）＜F （1）=0，即f （x ）﹣2x ﹣1＜0， 即不等式f （x ）＜2x+1的解集为（1，+∞）； 故选A ．
【点评】本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用，属于中档题．
4． 【答案】B
【解析】将函数()()sin 20y x ϕϕ=+>的图象沿
x 轴向左平移
8
π
个单位后，得到一个偶函数
sin 2sin 28
4
[()]()y x x π
π
ϕϕ=+
+=+
+的图象，可得
42
ππ
ϕ+=
，求得ϕ的最小值为 4
π
，故选B ．
5． 【答案】A
【解析】解：设倾斜角为α，
∵直线的斜率为，
∴tan α=
，
∵0°＜α＜180°， ∴α=30° 故选A ．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．
6． 【答案】C
【解析】解：由三视图可知几何体是一个正三棱柱， 底面是一个边长是的等边三角形，
侧棱长是
，
∴三棱柱的面积是3××2=6+，
故选C ．
【点评】本题考查根据三视图求几何体的表面积，考查由三视图确定几何图形，考查三角形面积的求法，本题是一个基础题，运算量比较小．
7． 【答案】B
【解析】解：由Venn 图可知，阴影部分的元素为属于A 当不属于B 的元素构成，所以用集合表示为A ∩（∁U B ）． A={x|x 2﹣x ﹣2＜0}={x|﹣1＜x ＜2}，B={x|y=ln （1﹣x ）}={x|1﹣x ＞0}={x|x ＜1}， 则∁U B={x|x ≥1}，
则A ∩（∁U B ）={x|1≤x ＜2}． 故选：B ．
【点评】本题主要考查Venn 图表达 集合的关系和运算，比较基础．
8． 【答案】B
【解析】解：在等差数列{a n }中，由a 4+a 8=22，得2a 6=22，a 6=11．
又a3=5，得d=，∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1．
{}的前20项和为：
==．
故选：B．
9．【答案】A
【解析】解：∵a=0.52=0.25，
b=log20.5＜log21=0，
c=20.5＞20=1，
∴b＜a＜c．
故选：A．
【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．
10．【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b＞0，
∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0．
①当0＜a＜3时，+==+=f（a），
f′（a）=+=，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=时，+取得最小值．
②当a＜0时，+=﹣（）=﹣（+）=f（a），
f′（a）=﹣=﹣，
当时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递减．
∴当a=﹣时，+取得最小值．
综上可得：当a=或时， +取得最小值．
故选：C ．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
11．【答案】C
【解析】解：对于A ，若 m ∥α，n ∥α，则 m 与n 相交、平行或者异面；故A 错误； 对于B ，若α⊥γ，β⊥γ，则 α与β可能相交，如墙角；故B 错误； 对于C ，若m ⊥α，n ⊥α，根据线面垂直的性质定理得到 m ∥n ；故C 正确； 对于D ，若 m ∥α，m ∥β，则 α与β可能相交；故D 错误； 故选C ．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
12．【答案】A
【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，3(log 2,2]A =，(0,2]B =，∵3log 20>，∴A ØB ，选A ．
二、填空题
13．【答案】(
【解析】函数()f x 在[0,)+?递增，当0x <时，220x ->，解得0x -<<；当0x ³时，22x x ->，
解得01x ?，综上所述，不等式2
(2)()f x f x ->的解集为(-．
14．【答案】0 【解析】
【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值．
【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， ∵AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点， ∴A 1（1，0，2），E （0，0，1），G （0，2，1），F （1，1，0），
=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），
=﹣1+0+1=0，
∴A 1E ⊥GF ，
∴异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值为0． 故答案为：0．
15．【答案】（﹣∞，]∪[，+∞）．
【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2a n+1=a n，
∴数列{a n}是以1为首项，以为公比的等比数列，
S n==2﹣（）n﹣1，
对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞S n恒成立，
∴x2+tx+1≥2，
x2+tx﹣1≥0，
令f（t）=tx+x2﹣1，
∴，
解得：x≥或x≤，
∴实数x的取值范围（﹣∞，]∪[，+∞）．
16．【答案】．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
直线y=k（x+2）过定点D（﹣2，0），
由图象可知当直线l经过点A时，直线斜率最大，当经过点B时，直线斜率最小，
由，解得，即A（1，3），此时k==，
由，解得，即B（1，1），此时k==，
故k的取值范围是，
故答案为：
【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的公式的计算，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．17．【答案】①②⑤
【解析】解：对于①，令g（x）=x，可得x=或x=1，故①正确；
对于②，因为f（x0）=x0，所以f（f（x0））=f（x0）=x0，即f（f（x0））=x0，故x0也是函数y=f（x）的稳定点，故②正确；
对于③④，g（x）=2x2﹣1，令2（2x2﹣1）2﹣1=x，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，
1，
由此因式分解，可得（x﹣1）（2x+1）（4x2+2x﹣1）=0
还有另外两解，故函数g（x）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是
不动点，故③④错误；
对于⑤，若函数y=f（x）有不动点x0，显然它也有稳定点x0；
若函数y=f（x）有稳定点x0，即f（f（x0））=x0，设f（x0）=y0，则f（y0）=x0
即（x0，y0）和（y0，x0）都在函数y=f（x）的图象上，
假设x0＞y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＞f（y0），即y0＞x0，与假设矛盾；
假设x0＜y0，因为y=f（x）是增函数，则f（x0）＜f（y0），即y0＜x0，与假设矛盾；
故x0=y0，即f（x0）=x0，y=f（x）有不动点x0，故⑤正确．
故答案为：①②⑤．
【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．
18．【答案】4或．
【解析】解：设AB=2x，则AE=x，BC=，
∴AC=，
由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，
∴x=1或，
∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，
或AB=2，BC=，球O的直径为=．
故答案为：4或．
三、解答题
19．【答案】
【解析】
【专题】计算题；排列组合．
【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；
（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值．
【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；
又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，
在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
即能被5整除的三位数共有6个；
（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；
又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，
取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，
取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，
则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；
（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；
又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，
当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，
此时三位偶数一共有6+8=14个，
（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，
则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，
故x=0不成立；
当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，
则每个数字用了=18次，
则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．
【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x为0与否两种情况讨论．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵{a n}为等比数列，a1=1，a6=243，
∴1×q5=243，解得q=3，
∴．
∵S n为等差数列{b n}的前n项和，b1=3，S5=35．
∴5×3+d=35，解得d=2，
b n=3+（n﹣1）×2=2n+1．
（Ⅱ）∵T n=a1b1+a2b2+…+a n b n，
∴
①
②
①﹣②得：
，
整理得：．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．
21．【答案】
【解析】（本小题满分12分）φ
解：（Ⅰ）f（x）=+﹣
=+
=）
由f（x）图象过点（）知：
所以：φ=
所以f（x）=
令（k∈Z）
即：
所以：函数f（x）在[0，π]上的单调区间为：
（Ⅱ）因为x0∈（π，2π），
则：
2x0∈（π，2π）
则：=
sin
所以=）=
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调区间的确定，三角函数的求值问题，属于基础题型．
22．【答案】
【解析】（1）证明：∵PA为圆O的切线，
∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴，
∴AB•PC=PA•AC．…
（2）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，
∴PA2=PB•PC，
∴PC=40，BC=30，
又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，
又由（1）知，
∴AC=12，AB=6，
连接EC，则∠CAE=∠EAB，
∴△ACE∽△ADB，∴，
∴．
【点评】本题考查三角形相似的证明和应用，考查线段乘积的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理的合理运用．
23．【答案】
【解析】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x﹣1对称，所以．
解得．又n=e m﹣1，所以x=1﹣e（y+1）﹣1，即y=ln（x﹣1）．
（2）ω（s，t）=|s﹣e x﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）﹣1|
=
，
令u（s）
=
．
则u（s），v（t）分别表示函数y=e x﹣1，y=ln（t﹣1）图象上点到直线x﹣y﹣1=0的距离．
由（1）知，u min（s）=v min（t）．
而f′（x）=e x﹣1，令f′（s）=1得s=1，所以u min（s）=．
故．
【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵1+x2≥1恒成立，∴f（x）的定义域为（﹣∞，+∞）；
（2）∵f（﹣x）===f（x），
∴f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=．
∴f（）===﹣=﹣f（x）．
即f（）=﹣f（x）成立．
【点评】本题主要考查函数定义域以及函数奇偶性的判断，比较基础．。