河北省唐山市海港开发区中学高三数学第四次月考试题

河北省唐山市海港开发区中学2008届高三数学第四次月考试题
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，集合U 是全集，非空集合A,B,C 都是集合U 的子集，则图中阴影部分可用集合( ) A. A ∩B ∩C B. (A ∩B)∩C U C C. (A ∩B)∪C U C D. (A ∪B)∩C U C
2．已知函数()1(1)x f x a a =->，则函数1()y f x -=-的图像是（ ）
`
D
3. 2007年11月6日11时35分,北京航天飞行控制中心对“嫦娥”成功实施了第二次近月制动,卫星顺利进入周期为3.5小时的环月小
椭圆轨道(以月球球心为焦点)。

卫星远月点高度由8600公里降至1700公里, 近月点高度是200公里, 月球的半径约是1800公里，此时小椭圆轨道的离心率是（ ）
A ． 3
11
B ．
35
C ．
511 D ．322
U
A
B
C
x= -1
A
B
x= -1
C
4.已知正三棱柱ABC A B C '''-的各棱长都为1，M 是底面上
BC 边的中点，N 是侧棱CC '上的点，且1
4
CN CC '=
，则异面直线AB MN '与所成角为（ ）
A ．30° B. 45° C. 60° D. 90°
5.如果复数)(12R b i
bi
∈+-的实部和虚部绝对值相等，则b 的值等于（ ）
A ．0
B ． 1
C ．2
D ．3
6.已知(cos ,sin ),(cos ,3sin ),a x x b x x =-
=函数()f x a b
=∙的最大值与最小正周期分别是（ ）．
A. 1，π
B. 1，2ππ2π 7已知1)n
x
展开式的二项式系数和记为a n ，展开式的所有项的系数和记为b n ，则lim
n n
n n n
a b a b →∞+-＝（ ）A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
8已知函数f(x)是定义在R 上的函数，如果函数f(x)在R 上的导函数f /
(x)的图象如图,则有以下几个命题（1）f （x ）的单调递减区间是（-2，0）、（2，+∞），f （x ）的单调递增区间是（-∞，-2）、（0，2）；（2）f （x ）只在x ＝-2处取得极大值；（3）f （x ）在x ＝-2与x ＝2处取得极大值；（4）f （x ）在x ＝0处取得极小值；其中正确命题的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9若圆22
44100x y x y +---=上至多有三个不同点到直线
l :0ax by +=的距离为
则
直线l 的斜率的取值范围是 （ ）
A. 2-∞（，
B. [2)+∞
C. 2[23,)-∞++∞（，
D. [2
C /
A / N
10在Ｒ上定义a b ad bc c d
=-．若不等式
(1)(2)
1(1)x a a x
-->+对任意实数x 成立，则（ ）
（Ａ）11<<-a （Ｂ）20<<a （Ｃ）2321<<-
a （Ｄ）2
1
23<<-a 11将5名实习教师分配到高一年级的4个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配
方案有（ ）
（A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种 （D ）２4０种
12.已知双曲线122
22=-b
y a x (a >0,b <0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为30°的直线与双曲
线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）
∞
,+∞) 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上. 13.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若14016
O B a O A a O C =+，且A 、B 、C 三点共线（该
直线不过点O ），则S 4016等于
14. 如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么
16. 实数,x y 满足不等式组0
0220
y x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≥⎩
，则11y x ω-=+的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 已知△ABC 中，
AB=4,AC=2,ABC
S =1）求△ABC 外接圆面积；（2）求cos(2B+
3
π)的值；
18.（本小题满分12分）（理）甲有一只放有x 个红球，y 个黄球，z 个白球的箱子，且
7(,,4)x y z x y z N x ++=∈>且，乙有一只放有4个红球，2个黄球，1个白球的箱子，两
个各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时甲胜，异色时乙胜。

（1）用x 、y 、z 表示乙胜的概率；
（2）若又规定当甲取红、黄、白球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分。

求甲得分
的期望的最大值及此时x 、y 、z 的值.
19.（本小题满分12分）在五棱锥P-ABCDE 中，PA=AB=AE=4a ，
PB=PE=，BC=DE=2a ，
∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．（1）求证：PA ⊥平面ABCDE ；（2）若
G 为PE 中点，求证：AG ⊥平面PDE ；（3）求二面角A-PD-E 的正弦值；（4）求点C 到平面
PDE 的距离。

20.（本小题满分12分）
(理) 如图，已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x ，F 1、
F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B . （1）若∠F 1AB =60°，求椭圆的离心率； （2）若椭圆的焦距为2，且
F AF 222=，求椭圆的方程.
21.（本小题满分12分）设n S 是正项数列}{n a 的前n 项和，且211
122
n n n S a a =
+-.（1） 求1a 的值；（2） 求数列}{n a 的通项公式；（3） 2,n n b =已知1122n n n
T a b a b a b =+++求
的值.
22.（本小题满分12分）（理）已知函数()ln(1),f x x x =+- （1）求证：0x >时，有
ln(1)x x +<。

（2）数列111211{},1,(1)(2);2n n n n a a a a n n
--==++≥中且1）证明：);2(4
7
≥≥
n a n 2）证明：2(1);n a e n <≥
参考答案
1B 由图中阴影部分元素性质易知，这部分元素是A ，B ， C U C 的公共元素，选择B 。

2 C
函数()1(x
f x a a =
->的反函数为1()log (1)(1)a f x x a -=+>，函数
1()log (1)a y f x x -=-=-+图象是C ；
3 A ．依题意，a+c=1700+1800,a-c=200+1800,易得2a=5500,2c=1500,∴23211
c e a ==。

4 D ∵BB '⊥底面ABC ，平面BC /
⊥底面ABC ，∵ABC ∆是正三角形，M 是BC 边的
中点，∴AM BC ⊥，AM ⊥平面BC /
.∵M 是底面上BC 边的中点，N 是侧棱CC '上的点，
且14CN CC '=,∴在三角形BB /M 与三角形MNC 中，BB /=2MC,BM=2CN,∠B /
BM ＝∠MCN,所以△
BB /M △MCN ，∠BB /M ＝∠NMC ，所以MN ⊥M B /
,∴
AB MN '⊥．所以异面直线AB MN '与所成角为90°，选择D ；
5. A 依题意，
22(2)
12
bi b b i i ---+=+，由题意|2||2|b b -=+,解得
b ＝0选A 6 A.∵(cos ,sin ),(cos ,3sin ),a x x b
x x =-
=∴
221cos 21cos 2()cos 22
x x
f x a b x x +-
=∙=-=
11222
x +=
+
，所以最大值为1，最小正周期为π，选择 7 B 依题意，a n ＝2n ，b n ＝3n
，2()1
233lim lim lim 123()1
3
n
n n n n n n n n n n
n n a b a b →∞→∞→∞+++===----选择B 。

8 C 由图知，当x<-2或0<x<2时，f /
(x)>0；当-2<x<0或x>2时，f /
(x)<0,所以（1）、（3）、（4）正确。

9 C.圆0104422=
---+y x y x 整理为222(2)(2)x y -+-=，∴圆心坐标为(2，2)，半径为32，要求圆上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则圆心到直线的距离应
大于等于
2，
∴
≥，∴ 2()4()1a a
b b
++≥0，∴
22a a b b --≥-≤，
()a
k b
=
-，∴ 22≥k ≤k ，选C.
B
C
/ A /
10 C ∵
a b ad bc c d
=-，
22(1)(2)
(1)(2)(1)2(1)x a x x a a x x a a a x
--=---+=--+++，
∴不等式化为(1)(2)
1(1)x a a x
-->-对任意实数x 成立，则0122>++--a a x x 对任意实数
x 成立，所以0)1(412<++--=∆a a ，解得2
3
21<<-
a ，故选C ． 11D 依题意：首先选出在同一个班级的两人有2
5C 中不同方法，再把他们看成一个整体与其他3人进行全排列，共有24
54240C A =不同方法,选择D.
12C 双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为30o 的直线与双
曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a ，∴ b
a
≥
，离心率e 2=2
2222
c a b a a +=4≥3，∴ e ，选C 13 2008 A 、B 、C 三点共线140161a a ⇒+=， 1401640164016()
20082
a a S +=
=。

14（1）（3） 当截面过圆柱的轴时，截面是图（1），当截面不过圆柱的轴时，截面是图（3）； 15 6
4
π
π
θ<<
依题意，1
||||cos 1||||cos OF FQ OF FQ OFQ OF FQ OFQ
∙=∠=⇒=
∠,
又
11
||||sin tan 22S OF FQ OFQ OFQ =
∠=∠，
因为
1
62
S <<，
所
以
t a n 13
O F Q <∠<，∵
0OFQ π≤∠≤，∴64OFQ ππ<∠<； 16填1[,1)2-．视(,)x y 为坐标平面可行域内点，将1
1
y x ω-=+理解为动点(,)x y 与定点(1,1)
-连线的斜率，通过画出可行域，易得答案．
17解：依题意，11sin 42sin 22ABC
S
AB AC A A A =
⨯=⨯⨯==，所以3A π=或
23
A π
=
；（1分）
（1）当3
A π
=
时，△ABC 是直角三角形，其外接圆半径为2，面积为2
24ππ=；当
23A π=
时，由余弦定理得222
22cos 164828
3
BC AB AC AB AC π=+-=++
=，△ABC 外接圆半径为R=
2sin 3
BC A =
，面积为283π;(5分) （2）由（1）知3
A π
=
或23A π=
，当3A π=时, △ABC 是直角三角形，∴6
B π
=, cos(2B+
3π)=cos 2132π=- ;
当23A π
=时,2,sin sin B B
=∴=, cos(2B+
3π)=cos2Bcos 3π
-sin2Bsin 3
π =(1-2sin 2
B)cos
3π
-2sinBcosBsin 3π=222111
(1)2142141427
⨯-⨯-⨯⨯=-(10分) 18(理)解：（1）P （甲胜）=P （甲、乙均取红球）+P （甲、乙均取黄球）+P （甲、乙均取白球）
4214277777749x y z x y z ++=
⨯+⨯+⨯=，所以P （乙胜）＝
1-4249424949x y z x y z
++---=
（5分）
（2）设甲的得分为随机变量ξ，则122(3),(2)77497749
z z y y
P P ξξ==⨯===⨯=，4442(1),(0)1774949x x x y z P P ξξ++==⨯===-，243210494949z y x
E ξ=⨯
+⨯+⨯+
3444()44949749
z y x x y z z z ++++-===-（10分）， ,,,7,4,04249x y z N x y z x x y z ∈++=>≤++≤且又
∴当z=0时，E ξ取得最大值为4
7
，此时x ＝5，y=2；或x ＝6，y ＝1；或x ＝7，y
＝0.（12分）
19（理）解：（1）证明∵PA =AB =4a ，PB ,∴PA 2
+AB 2
=PB 2
，∴∠PAB =90°，即PA ⊥AB ．同理PA ⊥AE ． ∵AB ∩AE =A ，∴PA ⊥平面ABCDE ． 3分
（2）∵∠AED ＝90°，∴AE ⊥ED ．∵PA ⊥平面ABCDE ，∴PA ⊥ED ．∴ED ⊥平面PAE ，所以DE ⊥
AG 。

PA AE =，G 为PE 中点，所以AG ⊥PE ，DE ∩PE ＝E ，∴AG ⊥平面PDE
（6分）
（3）∵∠AED ＝90°，∴AE ⊥ED ．∵PA ⊥平面ABCDE ，∴
PA ⊥
ED ．∴ED ⊥平面PAE ．过A 作AG ⊥PE 于G ，过DE ⊥AG ，∴
AG ⊥平
面PDE ．过G 作GH ⊥PD 于H ，连AH ，由三垂线定理得AH ⊥PD ．∴
∠AHG 为二面角A-PD-E 的平面角．（ 8分），在直角△
PAE 中，
AG ＝
．在直角△PAD 中，AH
a ，∴在直角△AHG 中，sin ∠AHG ＝AG
AH
二面角A-PD-E
9分 （4）∵∠EAB =∠ABC =∠DEA =90°, BC=DE=2a,AB=AE =4a , 取AE 中点F ，连CF ，∵AF ∥=BC ,∴四边形ABCF 为平行四边形．∴CF ∥AB ，而AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，而DE ⊂平面PDE ，CF ⊄平面
PDE ，∴CF ∥平面PDE ．∴点C 到平面PDE 的距离等于F 到平面PDE 的距离．∵PA ⊥平面ABCDE ，
∴PA ⊥DE ．又∵DE ⊥AE ，∴DE ⊥平面PAE ．∴平面PAE ⊥平面PDE ．∴过F 作FG ⊥PE 于G ，则
FG ⊥平面PDE ．∴FG 的长即F 点到平面PDE 的距离．在△PAE 中，PA =AE =4a ，F 为AE 中点，FG
⊥PE ， ∴FG
． ∴点C 到平面PDE
．（或用等体积法求）（12分） 20（理）解：（1）若112
60,F A B A F F ∠=∆则为等边三角形，所以有AF 2= F 1F 2，即a=2c …………
2分,所以1
2
c e a =
=（4分） （2）由题知),(),0,1(),,0(2y x B F b A 设，由F AF 222=，3,,22
b
x y ==-解得 ……6分
代入141
49144912
22
22222=+=+=+a
b b a b y a x 即得，解得32=a ……10分
所以椭圆方程为12
32
2=+y x …………12分
21（理）解：⑴ 当n ＝ 1时，21111111,22a s a a ==+-解出a 1 ＝2 （2分）
⑵ 又2s n ＝ a n 2 ＋ a n －2 ① 2s n －1 ＝ 21-n a ＋ a n －2 (n≥2)
② ①－② 2a n ＝ a n 2－21-n a ＋ a n －a n －1即2211()0n n n n a a a a ----+=
∴ 11()(1)0n n n n a a a a --+--= 1101n n n n a a a a --+>∴-=（2≥n ）
}{n a 数列∴是以2为首项，1为公差之等差数列21(1)1n a n n ∴=+⨯-=+ （7分） ⑶ 122232(1)2n n T n =⨯+⨯+
++⋅ ③ 又212222(1)2n n n T n n +=⨯++⋅++
④ ④－③ 1231122(222)(1)22n n n n T n n ++=-⨯-+++++=⨯
112)12(2286++⋅++⨯-+-=n n n 22)12(1+-=+n n
∴12n n T n +=⋅ （12分）
22解：（1）∵()l n (1)f x x x =+-)0.(01111)(><+-=-+='x x
x x x f 则…2分，),0()(+∞∴在x f 内是减函数，.0)0(=f ………………4分，又.0)(处连续在=x x f ，).0(0)(><∴x x f 即).0()1ln(><+x x x ………………5分；
（2）1）①当;4747,22≥==a n 时②假设;47,≥=k a k n 时 当
11,k n k a +=+时47)2
11()1(1)211(2≥≥+>+++=k k k k k a a k a ，结论成立， 由①②知，对一切.4
7,2≥≥n a n ………………7分 2）由
1）及已知，).1(1≥≥n a n ).2(])1(1211[)121
1(11121≥-++<++≤∴----n a n
n a n a n n n n n ………8分
],)1(1211ln[ln ln 11n n a a n n n -++
+<∴-- 又由（1），n n n n n n )1(12
1])1(121
1ln[11-+<-++-- ………………10分 n n a a n n n )1(121ln ln 11-++
<∴--),111(21ln 11n n a n n --++=-- )1121(
2
1ln ln 221---++<---n n a a n n n ，……).211(21ln ln 12-++<a a 相加，得)11()2
12121(ln ln 121n a a n n -+++++<- n n 11211])21(1[211-+--=-,21)21(21<--=-n n 2e a n <∴ ………………12分。