2021年高考文科数学实战猜题卷 全国卷版【答案】

2021年高考文科数学实战猜题卷全国卷版
答案以及解析
一、选择题 1.答案：D 解析：由题意知{1,3}U
P =-，所以(){1,0,3}U P Q ⋃=-，故选D.
2.答案：B
解析：由(1i)2i z -=，得2i 2i(1i)2i 21i 1i (1i)(1i)2
z +-====-+--+，所以||z =故选B. 3.答案：B
解析：从柱状图中可以看出，乡村游人数逐年上升，故A 正确；相比于前一年，2020年乡村游增长人数为950720230-=万，2019年乡村游增长人数为720510210-=万，所以相比于前一年，2020年乡村游增长人数大于2019年，故B 错误；近8年乡村游人数的平均数为110150180250330510720950
4003308
+++++++=>，即近8年乡村游人数的平均数大于
2017年乡村游人数，故C 正确；从2017年开始，乡村游人数增长速度明显加快，故D 正确.故选B. 4.答案：B
解析：该堤坝可看作一个棱柱，由题可知棱柱的高为12107127⨯+=（尺），棱柱的底面为梯形，所以棱柱的体积(208)4
12771122
V +⨯=⨯=（立方尺）
，故与所求堤坝的体积最接近的是7110立方尺.故选B. 5.答案：A
解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意，得2
3
113a a a =，即()()2
111212a d a a d +=+，化简得212d a d =，由11a =，0d ≠得 2.d =故选A. 6.答案：A
解析：因为0ln21<<，所以ln 2122<<，即12a <<；因为12
log 42-=，所以2b =；因为
330log 2log 31<<=，所以01c <<.综上，b a c >>.故选A.
7.答案：B
解析：如图，由题意知四边形ABCD 为平行四边形，且M ，N 分别是AB ，AD 的中点，又
MN 与AC 交于点P ，则11
()44
AP AC AB AD =
=+， 所113
()444
DP DA AP AD AB AD AB AD =+=-++=-.故选B.
8.答案：D
解析：输入5,1,0N k S ===，第一次运行：11
0,15122
S k =+==<⨯； 第二次运行：112112,,252233
k S k =+==+==<⨯； 第三次运行：213213,,353344
k S k =+==+==<⨯； 第四次运行：314314,,454455
k S k =+==
+==<⨯； 第五次运行：41541 5 , 5566k S =+==+=⨯，此时5k =不满足条件，结束运行，输出56
S =.故选D. 9.答案：C
解析：对于20y x m m =->()，令0y =，得x =.由PA PB ⊥并数形结合可知，以线段AB
为直径的圆22:O x y m +=与圆22:31C x y -+=()相交，则1|31<， 解得416m <<，故选C. 10.答案：C
解析：设 ()f x 的最小正周期为T ，由题图可知，ππ
4312T =-，解得2ππ.||T T ω==，0ω>，
2ω∴=.
()f x 的图象过点ππππ0cos 202π()3332k k ϕϕ⎛⎫⎛⎫
∴⨯+=∴⨯+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Z ，
，，，解得πππππ().||()cos 26266k k f x x ϕϕϕ⎛
⎫=-∈<∴=-∴=- ⎪⎝
⎭Z ，，.
令()1f x =，得π22π()6x k k -=∈Z ，解得ππ()12x k k =+∈Z ，其中落在区间π ,3π4⎛⎫
⎪⎝⎭
内的解有
13π25π,
1212
，故13π25π19π
12126θ=+=.故选C. 11.答案：C
解析：如图所示，由题可知O 是正方形ABCD 的中心，连接BD ，OC ，取OC 的中点N ，
连接MN ，BN ，则//OP MN ，所以BMN ∠是异面直线OP 与BM 所成的角.因为OP ⊥平面
ABCD ，所以MN ⊥平面ABCD OP OC ⊥，，所以MN BN ⊥，则由题意知OB OC ==，
所以12MN OP ==又BN ==Rt MNB 中，
tan BN
BMN MN
∠=
=，所以异面直线OP 与BM 所成的角为60︒，故选C.
12.答案：C
解析：设()()f a g b y ==，则1
1e ln 22a b
y -==+，则1
21ln ,2e y a y b -=+=， 故12
2e
ln 1y b a y --=--.令12
()2e
ln 1,0x h x x x -=-->，则1
2
1
()2e
x h x x
-
'=-
，易知()h x '在(0,)+∞上单调递增.又当12
x =时，()0h x '=，()h x '∴在(0,)+∞上有唯一零点.故当1
02x <<时，
()0h x '<，当12x >时，()0,()h x h x '>∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，∴当
12x =
时，()h x 取最小值，即b a -取最小值，最小值为11ln 22h ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
.故选C. 二、填空题
13.答案：2e 0x y --=
解析：因为()(1e 2)x f x x '=-+，所以(1) 2.f '=又(1)e 2f =-+，所以函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程是(e 2)2(1)y x --+=-，即2e 0x y --=.
14.答案：10
解析：由约束条件作出可行域如图中阴影部分（包含边界）所示，由2z x y =-得11
22
y x z =-，作出直线1
2
y x =
，平移直线，当直线经过点B 时，在y 轴上的截距最小，此时z 最大.由220,2,x y y +-=⎧⎨=-⎩解得6,
2,x y =⎧⎨
=-⎩
即(6,2)B -，所以2z x y =-的最大值为10.
15.答案：
158
解析：因为60BAD DAC ︒∠=∠=，且ABD 与ADC 面积之比为5
3
，所以AD 为BAC ∠的
平分线，120BAC ︒∠=，且
5
3
AB BD AC DC ==.设5,3,0AB k AC k k ==>. 由余弦定理2222cos120AB AC AB AC BC ︒+-⋅=，得2222591549k k k ++=，解得1k =.所以
5,3AB AC ==，故22213cos 214AB BC AC B AB BC +-==⋅.因为5
3
BD DC =，且7BD DC +=，故
3521,88BD DC ==.又22212253513225
2cos 25256481464
AD AB BD AB BD B =+-⋅=+-⨯⨯⨯=
，所以15
8
AD =
. 16.答案：2 16y x =
解析：设直线()()1221:,,,,2p MF y k x P x y Q x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把2p y k x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭代入2 2y px =，消去y
可得()2222
2
20,04p k k x p k x -++=∆>，则2124p x x =
.又,0,2p F MP PF ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以14p x =.由||12QF =，得2122
p
x =-，则21212424p p p x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得8p =（0p =舍去），故抛物
线C 的方程为216y x =. 三、解答题
17.答案：（1）()*1112
1,
1n n
a n n a a +==+-∈N ， 11
112n n n n a a +⎛⎫∴
++=+
⎪⎝⎭
，…………………………2分 即12n n b b +=，
{}n b ∴是首项为
1
1
1112a +=+=，公比为2的等比数列.…………………………4分 111
222,2n n n n n
n b a b n n
-∴=⨯=∴=
=--.…………………………6分 （2）由（1）得121122n n n
n n n n n c a b -=-=-=.…………………………7分 2
1
12
12222
n n n n n
S --∴=
+++
+， 231
112
1222
22n n n n n
S +-=+++
+
，…………………………9分 两式相减，得
231
11
1112211111111
222222222
12
n
n n n n n n n
n n S +++⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++++
-=-=-- ⎪⎝⎭-，……………11分
2
22n n
n S +∴=-
.…………………………12分 18.答案：（1）如图，取AB 的中点M ，连接PM ，CM . 在
ABC 中，,AC BC M =为AB 的中点，
则CM AB ⊥.
在PAB 中，,PA PB M =为AB 的中点， 则PM AB ⊥.…………………………3分 因为CM PM M
⋂=，
所以AB ⊥平面PCM .…………………………4分 又因为PC ⊂平面PCM ，
所以PC AB ⊥.…………………………5分
（2）由（1）知，PM AB ⊥，
又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，所以PM ⊥平面ABC .………6分
设点B 到平面P AC 的距离等于d ， 由P ABC B PAC V V --=知，ABC
PAC PM S d S
⋅=⋅，即
ABC
PAC
PM S d S ⋅
=.
依题意，得1
1.2
ABC
S =…………………………8分 在
ABC 中，2AB =，则 1.CM =
在PAB 中，2PA PB AB
===
，则PM =所以 2.PC =
在PAC 中，由余弦定理得2224423
cos 22224
AP PC AC APC AP PC +-+-∠=
==⋅⨯
⨯， 则sin APC ∠= (10)
分
故1222PAC
S
=
⨯⨯=
.…………………………11分
因此7
d =
=
.…………………………12分 19.答案：（1）设[60,70]内的高为h ，则0.0100.015010(0.0.0250.310005)h +++++=⨯， 0.015h ∴=，
故补全样本频率分布直方图如图所示.
…………………………2分
由(5040)0.005(7050)0.0150.35-⨯+-⨯=， (10090)0.010(9080)0.0250.35-⨯+-⨯=，
可得中位数为75.…………………………4分
平均数(450.005550.015650.015750.030850.025950.010)1073.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=. …………………………6分
（2）根据题中的数据得到2×2列联表：
…………………………8分
2
2
120(40302030) 3.429 2.7066060
7050
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
故有90%的把握认为“对大课间活动的适应性跟性别有关”.…………………………12分
20.答案：（1）设椭圆C 的标准方程为22
221x y a b
+=，
由题知1,
b c =⎧⎪⎨=⎪⎩2分
所以2224a b c =+=，
故椭圆C 的方程为2
214
x y +=.…………………………4分
（2）证明：设点()1,M x m ，则()11,,0,11N x m x m -≠-<<， 所以直线BM 的斜率11
(1)1
0BM m m k x x --+=
=
-.…………………………5分 因为直线,BD BM 的斜率的积为1
4-，
所以直线BD 的斜率1
4(1)
BD x k m =-+.…………………………6分
直线AN 的方程为1
11m
y x x -=
+， 直线BD 的方程为1
14(1)
x y x m =-
-+，…………………………8分
联立1
1111
4(1)m y x x x y x m -⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪+⎩
，
得点D 的纵坐标为22122
11
1
4114D x m y x m --+=-+-，…………………………10分
因为点M 在椭圆C 上，所以2
2114
x m +=，则0D y =.
所以点D 在x 轴上.…………………………12分
21.答案：（1）当0a =时，()e 1()x f x x x =--∈R ，则()e 1x f x '=-. 由()0f x '=，得0x =.…………………………2分
则当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x f x '<单调递减，
当(0,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>单调递增.…………………………3分 min ()(0)0f x f ∴==.…………………………4分
（2）由已知得，(0)0,()e 12x f f x ax '==--，则(0)0f '=.
设()e 12x g x ax =--，则()e 2,0x g x a x '=-.…………………………5分 ①当1
2
a
时，[0,),()0x g x '∈+∞∴，等号不恒成立，()g x ∴在(0,)+∞上单调递增，
()(0)0f x f ''∴=，故()f x 在()0,+∞上单调递增. ()(0)0f x f ∴=恒成立.…………………………7分
②当1
2
a >
时，令()0g x '=，则ln2,x a =∴当[)0,ln 2x a ∈时，()0g x '<， 此时()g x 单调递减.…………………………8分
又()00,f '=∴当[)0,ln 2x a ∈时，()0f x '，等号不恒成立.
故()f x 在[)0,ln 2a 上单调递减，此时()()00f x f =，…………………………10分
()0f x ∴在[)0,+∞上不恒成立，1
2
a ∴>
不满足条件.…………………………11分 综上所述，实数a 的取值范围为1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦.…………………………12分
22.答案：（1）依题意，曲线221:(2)4C x y +-=，故2240x y y +-=， 故曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=.…………………………2分 联立4sin ,
π4cos ,6ρθρθ=⎧⎪⎨⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
，故π4sin 4cos 6θθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭， 即πsin 06θ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，…………………………4分
因为0,02πρθ><，所以π6θ=，所以1422ρ=⨯=，则π2,6A ⎛⎫
⎪⎝⎭
.…………………5分
（2）依题意，直线0:()l θθρ=∈R ，则()()1020,,,P Q ρθρθ，……………………6分
故12000ππ||4sin 4cos 4366PQ ρρθθθ⎛⎫⎛
⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
当0πsin 16θ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭时取等号，…………………………8分
故||PQ 的最大值为…………………………10分
23.答案：（1）当3m =时，()|1|3|2|f x x x =+--，…………………………1分 由()1f x >，得1,271x x <-⎧⎨->⎩或12,451x x -⎧⎨->⎩或2,
271,
x x >⎧⎨
-+>⎩ 解得
3
22
x <或23x <<，…………………………4分 故不等式()1f x >的解集是3,32⎛⎫
⎪⎝⎭
.………………………5分
（2）当[1,2]x ∈-时()1(2)f x x m x =+--，
因此()21f x x <+恒成立，即1(2)21x m x x +--<+恒成立， 整理得(2)m x x ->-.…………………………6分 当2x =时，02>-成立，m ∈R . 当[1,2)x ∈-时，2
1.22x m x x
->=---…………………………8分 令2
()12g x x
=-
-， 1112,023,23
x x x
-<∴<-∴-， 2
1123x
∴-
-，故max 11(),.33
g x m =∴> 综上，m 的取值范围为1,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.…………………………10分。