高中数学 第二章 章末高效整合同步测试(含解析,含尖子

2014年高中数学 第二章 章末高效整合同步测试（含解析，含
尖子生题库）新人教A 版必修1
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合M 是函数y ＝lg(1－x )的定义域，集合N ＝{y |y ＝e x ，x ∈R }(e 为自然对数的底数)，则M ∩N ＝( )
A ．{x |x <1}
B ．{x |x >1}
C ．{x |0<x <1}
D ．∅
解析： 要使lg(1－x )有意义，则有1－x >0，即x <1，即M ＝(－∞，1)，又由y ＝e x 的值域为(0，＋∞)可知N ＝(0，＋∞)，因此M ∩N ＝(0,1)．
答案： C
2．函数y ＝2－|x |的大致图象是( )
解析： y ＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ， (x ≥0)2x ， (x <0) 函数是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增．故选C.
答案： C
3．若log a －1(2x －1)>log a －1(x －1)，则有( )
A ．a >1，x >0
B ．a >1，x >1
C ．a >2，x >0
D ．a >2，x >1
解析： 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1>0，
x －1>0，
即x >1.因为当x >1时，2x －1>x －1，由对数函数的性质知a －1>1，即a >2.
答案： D
4．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0且a ≠1)在同一坐标系中的图象可能是( )
解析： 当a >1时，函数y ＝a x
单调递增，而y ＝－log a x 单调递减，故A 符合条件． 答案： A
5．若f (x )＝(2a －1)x 是增函数，那么a 的取值范围为( )
A ．a >1
B ．a ≥1
C ．a <12 D.12<a <1 解析： 若f (x )＝(2a －1)x 是增函数，则2a －1>1，即a >1.
答案： A
6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 2x ，(x >0)2x ，(x ≤0)若f (a )＝12，则实数a ＝( ) A ．－1
B ．－1或 2 C. 2 D ．1或－ 2 解析： 由log 2a ＝12得a ＝2>0，合适； 由2a ＝12得a ＝log 212
＝－1<0，合适； 故a ＝－1或 2.
答案： B
7．三个数a ＝70.3，b ＝0.37，c ＝ln 0.3大小的顺序是( )
A ．a >b >c
B ．a >c >b
C ．b >a >c
D ．c >a >b
解析： a ＝70.3>1,0<b ＝0.37<1，c ＝ln 0.3<0，∴a >b >c .
答案： A 8．给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12
(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
解析： 幂函数y ＝x 12在定义域上是增函数，y ＝log 12
(x ＋1)在定义域上是减函数，y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧
x －1，(x ≥1)
1－x ，(x <1)
所以其在区间(－∞，1)上单调递减，y ＝2x ＋1在定义域上是增函数，故在区间(0,1)上单调递减的函数是y ＝log 12
(x ＋1)，y ＝|x －1|，故选B. 答案： B
9．若0<a <1，且log b a <1，则( )
A ．0<b <a
B ．0<a <b
C ．0<a <b <1
D ．0<b <a 或b >1
解析： 当b >1时，log b a <1＝log b b .
∴a <b ，即b >1成立．
当0<b <1时，
log b a <1＝log b b,0<b <a <1.
即0<b <a .故选D.
答案： D
10．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好
点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1，2)，P (2,1)，Q (2,2)，G ⎝⎛⎭
⎫2，12中，可以是“好点”的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析： 设指数函数y ＝a x ，则可知N 、Q 、G 可以满足指数函数的条件．
设对数函数y ＝log a x ，则可知P 、Q 、G 可以满足对数函数的条件，故“好点”为Q 、G 共2个．
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．函数f (x )＝lg (5－x )x －2
的定义域为________． 解析： ⎩
⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，
x －2≠0⇒{x |x <5且x ≠2}． 答案： {x |x <5且x ≠2}
12．幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是______．
解析： 由f (x )＝x α的图象过点(2,4)可得4＝2α，
∴α＝2，∴f (x )＝x 2，
f (－3)＝(－3)2＝9.
答案： 9
13．函数f (x )＝a x －2＋1的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．
解析： ∵y ＝a x 恒过定点(0,1)，
∴函数f (x )＝a x －2＋1恒过定点(2,2)．
答案： (2,2)
14．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，(x >0)3x ，(x ≤0)则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14的值是________． 解析： 由于f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214
＝－2， 所以f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＝19
. 答案： 19
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)计算下列各式的值： (1)(32×3)6＋(2×2)43
－(－2 008)0； (2)lg 5lg 20＋(lg 2)2；
(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＋(log 3312
)2＋ln e －lg 1. 解析： (1)原式＝(213×312)6＋(2×212)12×43
－1 ＝213×6×312×6＋232×12×43
－1 ＝22×33＋21－1
＝4×27＋2－1
＝109.
(2)原式＝lg 5lg(5×4)＋(lg 2)2
＝lg 5(lg 5＋lg 4)＋(lg 2)2
＝(lg 5)2＋lg 5lg 4＋(lg 2)2
＝(lg 5)2＋2lg 5lg 2＋(lg 2)2
＝(lg 5＋lg 2)2＝1.
(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＋14＋12－0
＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＋34＝54＋34
＝2. 16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －2m 2＋m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且f (3)<f (5)．求m 的值，并确定f (x )的解析式．
解析： 由f (3)<f (5)得3－2m 2＋m ＋3<5－2m 2＋m ＋3，
∴⎝⎛⎭⎫35－2m 2＋m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350.
∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x 为减函数，
∴－2m 2＋m ＋3>0，解得－1<m <32.
∵m ∈Z ，∴m ＝0,1.
当m ＝0时，f (x )＝x －2m 2＋m ＋3＝x 3为奇函数，不合题意；
当m ＝1时，f (x )＝x －2m 2＋m ＋3＝x 2为偶函数．
∴m ＝1，此时f (x )＝x 2.
17．(本小题满分12分)函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)，(0<a <1)．
(1)求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值． 解析： (1)要使函数有意义，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，
x ＋3>0，
解得－3<x <1，
所以定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为
f (x )＝lo
g a [(1－x )(x ＋3)]
＝log a (－x 2－2x ＋3)
＝log a [－(x ＋1)2＋4]．
∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4.
∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4.
由log a 4＝－2，得a －2＝4，
∴a ＝4－12＝12.
18．(本小题满分14分)设a >0，f (x )＝e x a ＋a
e x 在R 上满足
f (x )＝f (－x )．
(1)求a 的值；
(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．
解析： (1)依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )，
即e x a ＋a
e x ＝1
a e x ＋a e x ，
所以⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1
e x ＝0对一切x ∈R 成立，
由此可得a －1a ＝0，即a 2＝1.
又因为a >0，所以a ＝1.
(2)证明：在(0，＋∞)上任取x 1<x 2，则
f (x 1)－f (x 2)
＝e x 1＋1
e x 1－⎝⎛⎭⎫
e x 2＋1
e x 2
＝(e x 1－e x 2)＋1e x 1－1
e x 2
＝(e x 2－e x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫
1
e x 1＋x 2－1
＝(e x 2－e x 1)1－e x 1＋x 2
e x 1＋x 2
.
由x 2>x 1>0，得x 1＋x 2>0，e x 2－e x 1>0， 1－e x 1＋x 2<0.
所以f (x 1)－f (x 2)<0，
即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。