人教版八年级下册数学第17章 勾股定理 全章热门考点整合应用

解 ： 由 题 意 得 AC ＝ 40×(6÷60) ＝ 4(nmile) ， BC ＝ 30×(6÷60)＝3(nmile)． ∵AB＝5nmile，∴AB2＝BC2＋AC2. ∴∠ACB＝90°. ∵∠CBA＝90°－37°＝53°， ∴∠CAB＝37°. 答：甲巡逻艇的航向为北偏东53°.
(1)AC的长度；
解：∵AD是BC边上的中线，BC＝10， ∴BD＝CD＝5. ∵52＋122＝132，∴BD2＋AD2＝AB2. ∴∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°. ∴AC2＝AD2＋CD2＝169.∴AC＝13.
(2)△ABC的面积．
解：S△ABC＝12BC·AD＝12×10×12＝60.
x＝
3 3
.
∴在
Rt △ BED
中 ， BE ＝
BD2－DE2 ＝
（
3）2－
332＝2
3
6 .
【答案】A
5．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边．当a2＋b2＝c2 时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的 大小关系，可以判断△ABC的形状．(按角分类)
11．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国 海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距5nmile的A， B 两 个 基 地 前 去 拦 截 ， 6min 后 同 时 到 达 C 地 将 其 拦 截．已知甲巡逻艇的速度为40nmile/h，乙巡逻艇的速 度为30nmile/h，且乙巡逻艇的航向为北偏西37°，求 甲巡逻艇的航向．
(1)请你通过画图探究并判断： ①当△ABC三边长分别为6，8，9时，△ABC为________三角形； ②当△ABC三边长分别为6，8，11时，△ABC为_______锐_三角角形．
钝角
解：画图略．
(2) 小 明 同 学 根 据 上 述 探 究 ， 有 下 面 的 猜 想 ： “ 当 a2 ＋ b2>c2 时 ， △ABC 为 锐 角 三 角 形 ； 当 a2 ＋ b2<c2 时 ， △ABC为钝角三角形．”请你根据小明的猜想解答下 面的问题：当a＝2，b＝4时，最长边c在什么范围内 取值时，△ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三 角形？
6．如图，长方体的底面相邻两边的长分别为1cm和 3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4 个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要多 长？如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B， 那么所用细线最短时，其长度的
平方是多少？
【点拨】将长方体的侧面展开，把折线段转 化为直线段，即可用勾股定理求解．
为__(_2_0_＋__4__5_)__m；
(3)在图③中，当DA＝DB时，求△ABD的周长.
解：∵DA＝DB，∴设 DC＝x m，则 AD＝(6＋x)m. ∴在 Rt△ACD 中，有 DC2＋AC2＝AD2，即 x2＋82＝(6＋x)2， 解得 x＝73.∵AC＝8 m，BC＝6 m，∴AB＝10 m. 故△ABD 的周长为 AD＋BD＋AB＝2×73＋6＋10＝830(m)．
(1)③和⑤是互逆命题吗？
解 ： 由 于 ③的题设 是 a＋ b>0 ， 而⑤的 结论是 ab>0，故⑤不是由③交换命题的题设和结论得 到的，所以③和⑤不是互逆命题．
(2)你能说出③和⑤的逆命题各是什么吗？ 解：能．③的逆命题是：如果a>0，b>0， 那么a＋b>0；⑤的逆命题是：如果ab>0， 那么a>0，b>0.
7．如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边 AC＝8m，BC＝6m．现在要将这块绿地扩充成等 腰三角形ABD，且扩充部分(△ADC)是以8m为直 角边长的直角三角形，求扩充后等腰三角形ABD 的周长．
(1)在图①中，当AB＝AD＝10m时， △ABD的周长为________m；
32
(2)在图②中，当BA＝BD＝10m时，△ABD的周长
10．将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆顶 到地面的高度为320cm，在无风的天气里，彩 旗自然下垂，如图①所示．求彩旗下垂时最低 处离地面的最小高度h.(彩旗完全展开时的尺寸 是如图②所示的长方形)
解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗 杆的高度减去彩旗的对角线的长， ∵1202＋902＝22500， ∴彩旗的对角线长为150cm. ∴h＝320－150＝170(cm)． 答：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h为170cm.
(3)请指出哪几个命题是互逆命题．
①与④，②与⑥分别是互逆命题．
2．下列三个定理中，存在逆定理的有( C ) ①有两个角相等的三角形是等腰三角形； ②全等三角形的对应角相等； ③同位角相等，两直线平行． A．0个B．1个C．2个D．3个
3．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互 逆定理：
(1)全等三角形的对应边相等；
26
6
A. 3
B. 2
C. 3
D. 2
【点拨】在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2 2，
由勾股定理得 AB＝ AC2＋BC2＝ 22＋（2 2）2＝2 3.
∵D 是 AB 的中点，∴BD＝CD＝ 3.
设 DE＝x，由勾股定理得( 3)2－x2＝(2 2)2－( 3＋x)2，
解得
RJ版八年级下
第十七章勾股定理
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1．有下列命题：①直角都相等； ②内错角相等，两直线平行； ③如果a＋b>0，那么a>0，b>0； ④相等的角都是直角； ⑤如果a>0，b>0，那么ab>0； ⑥两直线平行，内错角相等．
解：逆命题：三条边对应相等的两个三角形全 等．原命题与其逆命题都是真命题且都是定理， 所以它们是互逆定理．
(2)对顶角相等．
解：逆命题：如果两个角相等，那么这两个角 是对顶角．原命题是真命题，但其逆命题是假 命题，所以它们不是互逆定理．
4．【2020·包头】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 的中点，BE⊥CD，交 CD 的延长线于点 E.若 AC＝2，BC＝2 2，则 BE 的长为( )
8．如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE， BE ， CE ， 将 △ABE 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 90° 到 △CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求 ∠BE′C的度数．
解：如图，连接EE′. 由题意可知△ABE≌△CBE′， ∴CE′＝AE＝1，BE′＝BE＝2，∠ABE＝∠CBE′. ∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠CBE′＋∠EBC＝90°. 即∠EBE′＝90°，则由勾股定理，得EE′2＝8. 在△EE′C中，CE′2＋EE′2＝1＋＝90°. ∵∠EBE′＝90°，BE＝BE′， ∴∠BEE′＝∠BE′E. ∴∠BE′E＝180°2－90°＝45°. ∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.
9．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC边 上的中线AD＝12.求：
解：将长方体的侧面展开，如图所示． ∵AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6cm， ∴AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.∴AB′＝10cm. ∴用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B， 所用细线最短需要10cm.如果从点A开始经过4个侧面 缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短时，其长度的 平方为(8n)2＋62＝64n2＋36.
解：a2＋b2＝22＋42＝20， ∵c 为最长边，2＋4＝6，∴4≤c<6. ①由 a2＋b2>c2，得 c2<20，即 0<c<2 5，∴当 4≤c＜2 5 时，这个三角形是锐角三角形； ②由 a2＋b2＝c2，得 c2＝20，即 c＝2 5，∴当 c＝2 5时， 这个三角形是直角三角形； ③由 a2＋b2<c2，得 c2>20，即 c>2 5，∴当 2 5<c<6 时， 这个三角形是钝角三角形．