高中数学选修三第六章导数知识点总结

选择性必修第三册 第六章 导数
6.1 导数的概念
1.瞬时变化率与导数的概念
我们把函数()y f x =
在0x x =处的瞬时变化率，称为()y f x =在0x x =处的导数，
记作
()'0f x 或0'|x x y =，即()()()00'00
lim x f x x f x f x x
→+-=.
2.平均变化率、瞬时变化率的求解步骤
（1）求平均变化率
第1步：计算()()21y f x f x =-.
第2步：计算()()2121
f x f x y x x x -=
-. （2）求瞬时变化率/导数
第1步：计算()()00y f x x f x =+-. 第2步：计算
()()00f x x f x y x x +-=. 第3步：计算0lim
x y
x
→∆∆.
3.导数的形式化计算
()()
()()()()()00000000
00111lim
lim lim '222222k k k f x k f x f x k f x f x k f x f x k
k k →→→⎡⎤+-+-+-=⨯==⎢⎥⎣⎦
4.导数的平均变化率及导数的几何意义
如图，A 、B 两点的平均变化率在函数()f x 上有什么几何意义呢？
对于一般的函数()f x ，函数在1x 到2x 的平均变化率
()()2121
f x f x y x x x -=
-的几何意义是函数图像上两点()()
11,A x f x 、()()
22,B x f x 所在割线的斜率k .
5.导数的计算
（1）导函数（简称导数）
对于函数()y f x =
，当0x x =时，()0'f x 是一个确定的数.这样，当x 变化时，()
'f x 便是x 的一个函数，我们称它为
()f x 的导函数（简称导数），()y f x =的导函数也可记作
'y ，即()()()
''lim
x f x x f x f x y x
→+-==
（2）基本初等函数的导数公式
（3）导数的四则运算法则
1.加减法：()()()()'''f x g x f x g x ⎡⎤±=±⎣⎦；如()sin '1cos x x x +=+
2.乘法：()()()()()()'''f x g x f x g x f x g x ⎡⎤=±⎣⎦；如()sin 'sin cos x x x x x =+
特别的，当()f x c =时，()()'';cg x cg x ⎡⎤=⎣⎦如：()
2
3'6x x =
3.除法：()()()()()()()2'''f x f x g x f x g x g x g x ⎡⎤-=⎢
⎥⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦
.如：2
sin cos 'sin sin x x x x
x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ (4)复合函数的运算法则
一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为()y f u =和()u g x =的函数，记作()()
y f g x =
复合函数()()
y f g x =的导数与函数()y f u =、()u g x =的导数的关系为''u x y u
6.导数的切线方程
第1步：定切点； 第2步：定斜率——求导； 第3步：求切线方程——点斜式.
7.利用导数讨论函数单调区间的步骤
（1）确定()f x 的定义域 （2）求导
（3）解不等式：当()'0f x >时，求出函数的单调增区间 当()'0f x <时，求出函数的单调减区间.
8.函数的极值与最值
①函数的极值
若存在0x 满足条件：()0'0f x =，且点0x 附近两侧的函数单调性相反.此时我们称0x 是
函数的极值点，()0f x 是函数的极值.
②求函数y =f （x ）在区间[a ，b ]上的最值的步骤 （1）定义域：判断函数的定义域 （2）求导：求导并求()'0f x =的根 （3）列表：列出()()',f x f x 的变化表格
（4）单调区间与极值：根据表格，列出函数的单调区间与极值
（5）比较得最值：求出函数()f x 的区间端点值（若有），比较极值与端点函数值的大小
6.2 利用导数研究函数
一、恒成立与存在性问题
类型一：
若对∀x I ∈，)(x f a >恒成立，则只需max )(x f a >即可； 若对∀x I ∈，)(x f a <恒成立，则只需min )(x f a <即可； 类型二：
若I ∈∃x ，满足不等式)(x f a >，则只需min )(x f a >即可；
若I ∈∃x ，满足不等式)(x f a <，则只需max ()a f x <即可；
类型三：若对I ∈∀21,x x ，使得不等式a x f x f <-)()(21（a 为常数）恒成立，则只需
a x f x f <-min max )()(即可
类型四：若I x x ∈∃21,，满足方程)()(21x g x f =，则只需两函数值域交集不空即可. 类型五：若对∀1x 1I ∈总∃2x 2I ∈使得)()(21x g x f =成立，则只需)(x f 值域⊆)(x g 值域即可
类型六：若对∀1x 1I ∈，2x 2I ∈使得不等式)()(21x g x f <恒成立，则只需
min max )()(x g x f <即可
类型七：若对∃1x 1I ∈，2x 2I ∈满足不等式)()(21x g x f <，则只需max min )()(x g x f <即可
类型八：若对∀1x 1I ∈，总∃2x 2I ∈，使得)()(21x g x f >成立，则只需min min )()(x g x f >即可
类型九：若对∀1x 1I ∈，总∃2x 2I ∈，使得)()(21x g x f <成立，则只需max max )()(x g x f <即可
二、隐零点问题
我们知道在求函数的极值时，需要求导函数的零点，即解方程()0f x '=；现在有一个函数的导数为2
ln 1y x x =+-，你能求出这个导函数的零点吗？
类似地，像上述不可求解，又含有对数、指数、三角函数等的方程统称为超越方程；一般的超越方程是无法利用高中知识解出根的.若题目中出现了零点不可求的情况，我们有两种处理方法；
1.若零点是特殊值，可以通过直接观察法观察出零点，然后通过函数的单调性证明零点唯一；
2.若零点不是特殊值，可以虚设一个零点0x .
【解题锦囊】|直接观察法解决隐零点问题
【标志】导函数的零点不可求
【步骤】第1步.求导，列出()0f x '=；
第2 步.观察试根，在试根时常用的值有0、±1等，若题目中含有x e 、ln x 等，也可以尝试把
1
e
、e 代入方程； 第3步.研究函数的零点情况，若函数单调，则试出的根为唯一根； 第4步.通过导函数的零点判断原函数的单调性和极最值.
【解题锦囊】|虚设零点法解决含指对数的隐零点问题
【标志】导函数中含有x e 或ln x ，且零点不可求 【步骤】第1步.求导，列出()0f x '=；
第2 步.虚设方程的零点0x ，求出其取值范围 第3步.根据()00f x '=，将0x e 和0ln x 替换；
第4步.计算0x 的取值范围，并根据0x 的取值范围证明与()0f x 相关的不等式.
三、极值点偏移问题
1、极值点偏移的定义
对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ，方程0)(=x f 的解分别为
21x x 、，且b x x a <<<21，
（1）若
02
12x x x ≠+，则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移； （2） 若02
1
2
x x x >+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏，简称极值点0x 左偏；
（3）若
02
12
x x x <+，则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏，简称极值点0
x 右偏。

2、极值点偏移的判定定理
证明：（1）因为可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又
b x x a <<<21，有
),(221b a x x ∈+由于0)2('21>+x x f ，故),(2
02
1x a x x ∈+，所以02
1)(2
x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏。

证明：（1）因为对于可导函数)(x f y =，在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ，则函数)(x f y =的单调递增（减）区间为),(0x a ，单调递减（增）区间为),(0b x ，又
b x x a <<<21，有01x x <，且0202x x x <-，又)2()(201x x f x f -<，故2012)(x x x -><，
所以
02
1)(2
x x x ><+，即函数极大（小）值点0x 右（左）偏. 结论（2）证明略。

解决极值点偏移问题： 1.方法概述：
（1）求出函数()f x 的极值点；
（2）构造一元差函数00()()()F x f x x f x x =+-- （3）确定函数()F x 的单调性；
（4）结合(0)0F =，判断()F x 的符号，从而确定00(),()f x x f x x -+的大小关系。

2.抽化模型
答题模板：若已知函数()f x 满足12()()f x f x =，0x 为()f x 的极值点，求证：1202x x x +<
（1）讨论函数()f x 的单调性并求出()f x 的极值点0x ；
假设此处()f x 在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞ 上单调递增。

（2）构造00()()()F x f x x f x x =+--；
注：此处根据题意需要还可以构造成0()()(2)F x f x f x x =--
（3）通过求导'()F x 谈论()F x 的单调性，判断处()F x 在某段区间上的正负，并得出
0()f x x +与0()f x x -的大小关系；
假设此处()F x 在
()
0,+∞上单调递增，那么我们便可以得出
00()(0)()()0F x F f x f x =-=>，从而得到：0x x >时，00()()f x x f x x +->
（4）不妨设102x x x <<，通过()f x 的单调性，12()()f x f x =，00()()f x x f x x +-与的大小关系得出结论；
接上述情况：由于0x x >时，00()()f x x f x x +->且102x x x <<，12()()f x f x =故
()[]1202002002()()()(2)f x f x f x x x f x x x f x x ==⎡+-⎤--=-⎣⎦> ，又因为10x x <，0202x x x -<且()f x 在()0,x -∞上单调递减，从而得到1022x x x -<，从而1202x x x +<得证；
（5）若要证明12'(
)02x x f +<还需进一步讨论122x x +与0x 的大小，得出122
x x
+所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证；
此处只需继续证明：因为1202x x x +<故12
02
x x x +<，
由于()f x 在()0,x -∞上单调递减，故12
'(
)02
x x f +< 说明：
（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心； （2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求()f x 的单调性、极值点，证明00()()f x x f x x +-与或0()(2)f x f x x -与的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如 1202x x x +<或者12
02
x x x +<的结论，
让你给出证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题。