2018年高考物理带电粒子在复合场中的运动：求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法课件鲁科版

3.带电粒子在匀强磁场中运动临界问题的一般解题步骤 (1)分析磁场的边界条件,结合粒子进出磁场的条件画出带电粒
子运动轨迹,确定圆心.根据几何关系求解半径、圆心角等.
(2)根据洛伦兹力提供向心力建立动力学方程，分析已知量和
未知量的关系．
(3)求解未知量，并进行必要的分析验证．
2. 例证突破
【例 1】如图所示，边界 OA 与 OC 之间分布有垂直纸面向里的匀强磁 场，边界 OA 上有一粒子源 S。某一时刻，从 S 平行于纸面向各个方向 发射出大量带正电的同种粒子(不计粒子的重力及粒子间的相互作用)， 所有粒子的初速度大小相同， 经过一段时间有大量粒子从边界 OC 射出 磁场。已知∠AOC＝60° ，从边界 OC 射出的粒子在磁场中运动的最短 T 时间等于 (T 为粒子在磁场中运动的周期)，则从边界 OC 射出的粒子 6 在磁场中运动的最长时间为( ) T T 2T 5T A. B. C. D. 3 2 3 6
4 3mv ，故没有粒子从边界 OC 射 3qL 出磁场的磁感应强度 B 应满足的条 4 3mv 件为 B≥ 3qL 4 3mv 答案 B≥ 解析显隐 3qL
【备选】 如图示,在xOy平面内第二象限的某区域存在一个矩形 匀强磁场区,磁场方向垂直xOy平面向里,边界分别平行于x轴和y轴. 一个电荷量为e、质量为m的电子,从坐标原点O以速度v0射入的第 二象限,速度方向与y轴正方向成45°角,经过磁场偏转后,通过P(0， 电子在第二象限 a)点,速度方向垂直于y轴,不计电子的重力. (1)若电子到达 (2) (3) 若磁场的磁感应强度大小为 为使电子完成上述运动 y轴上P点时; ,撤去矩形匀强磁场 求磁感应强度 B0，求电子在 B的 , 会有怎样的运动 情况？ 磁场中运动的时间 大小应满足的条件 同时在 y轴右侧加方向垂直 t; ; xOy平面向里的匀 强磁场,磁感应强度大小为B1,在y轴左侧加方 1 2 向垂直xOy平面向里的匀强磁场,电子在第(k＋ 3 1)次从左向右经过y轴(经过P点为第1次)时恰 好通过坐标原点.求y轴左侧磁场磁感应强度大 k 小B2及上述过程电子的运动时间t. 审题析疑 k+1 (1) (2) 电子在磁场中做圆周运动 v0与过 P ,最大圆弧的两公切线 画圆弧找半径 最大圆 定圆心 (3)延长 (4) 电子在 分析电子在 y轴右、左侧做圆周运动的半径 y的水平线 轴右、左侧做圆周运动的周期 r1、rT OP T2的长 2 1、 弧 圆心角 (弦)最大回旋半径 应用周期公式求时间 磁感应强度大小 最小磁感应强度 t； ; 2; 度与半径 电子的运动时间 r1 、 r2的关系 t. B
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q 【拓展延伸】 在例 1 中， 若粒子的比荷为m， OS＝L，粒子的速率为 v，试分析没有粒 子从边界 OC 射出磁场的磁感应强度 B 应 满足的条件。
解析 粒子刚好不从 OC 边界射出 的最大直径为 S 到 OC 的垂线 SD， 由几何关系得： 1 3 Rmax＝ Lsin 60° ＝ L， 2 4 mv2 mv 由 qvB ＝ R 得 Bmin ＝ ＝ qRmax
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【变式训练 2】[极值问题]如图示,半径为 R 的圆形区域内存在着磁感应 强度为 B 的匀强磁场,方向垂直于纸面向里,一带负电的粒子(不计重力) 沿水平方向以速度 v 正对圆心入射 ,通过磁场区域后速度方向偏转了 60° 。 q (1)求粒子的比荷m及粒子在磁场中的运动时间 t。 (2)如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原 入射速度的基础上，需将粒子的入射点沿圆弧向上平移的距离 d 为多 少？
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【跟踪训练】 如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金 属，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的 带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加 速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小 为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与 N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两 板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求： (1)两板间电压的最大值Um. (2)CD板上可能被粒子打中区域的长度x. (3)粒子在磁场中运动的最长时间tm.
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4.跟踪训练
【跟踪训练】(多选)如图示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区域内,O 点是 cd 边的中点。 一个带正电的粒子仅在磁场力作用下, 从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0 后刚好 从 c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30° 角的方向,以大小不同的速率射入正方形内,下列说法中正确的是( ) A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 5t0/3,则它一定从 cd 边射出磁场 B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 2t0/3,则它一定从 ad 边射出磁场 C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是 5t0/4,则它一定从 bc 边射出磁场 D 若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0,则它一定从 ab 边射出磁场
【变式训练 1】[临界问题](多选)(2015· 四川理综，7)如图示,S 处有一电 子源,可向纸面内任意方向发射电子,平板 MN 垂直于纸面,在纸面内的 长度 L＝9.1 cm,中点 O 与 S 间的距离 d＝4.55 cm， MN 与 SO 直线的夹 角为 θ， 板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强 － － 磁场,磁感应强度 B＝2.0×10 4 T．电子质量 m＝9.1×10 31 kg,电量 e － ＝－1.6×10 19 C,不计电子重力。 电子源发射速度 v＝1.6×106 m/s 的一 个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则( ) A．θ＝90° 时，l＝9.1 cm B．θ＝60° 时，l＝9.1 cm C．θ＝45° 时，l＝4.55 cm D．θ＝30° 时，l＝4.55 cm
为弦，找出最大的弦即可求出最大半径．
3.方法总结
规律方法
1.三步解决带电粒子在有界磁场中的运动问题 (1)定圆心，画轨迹 (2)找几何关系，确定物理量 (3)画动态圆，定临界状态．
2.解决带电粒子在磁场中的临界问题的关键 解决此类问题，关键在于： (1)运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态. (2)根据粒子的速度方向找出半径方向，同时由磁场边界和 题设条件画好轨迹、定好圆心，建立几何关系．
审题视角 1.由题设条件分析粒子运动轨迹的圆 心位置及半径大小. 2.随两板电压的减小，重点分析由Q 点射出的粒子落点又会怎样变化？
H K
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【跟踪训练】 如图示,在坐标系第一象限内有正交的匀强电、磁场， 电场强度 E＝1.0×103 V/m,方向未知,磁感应强度 B＝1.0 T,方向垂直 纸面向里；第二象限的某个圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场 B′(图中未画出)．一质量 m＝1×10－14 kg、电荷量 q＝1×10－10 C 的带正电粒子以某一速度 v 沿与 x 轴负方向成 60° 角的方向从 A 点 进入第一象限， 在第一象限内做直线运动， 而后从 B 点进入磁场 B′ 区域．一段时间后，粒子经过 x 轴上的 C 点并与 x 轴负方向成 60° 角飞出． 已知 A 点坐标为(10,0),C 点坐标 为(－30,0)，不计粒子重力． (1)判断匀强电场 E 的方向并求出粒子的 速度 v. (2)画出粒子在第二象限的运动轨迹，并 求出磁感应强度 B′. (3)求第二象限磁场 B′区域的最小面积．
(1)
电子在磁场中 做圆周运动
画圆弧，找半 径，定圆心 最大圆 弧 (弦 ) OP的长度 与半径r1、 r2的关系 最大 半径
圆心角
应用周期公 式求时间t 最小磁感 应强度
延长v0与过P的 (2) 水平线,最大圆 弧的两公切线 电子在y轴右、 (3) 左侧做圆周运动 的半径r1、r2
半径 公式
磁感应 强度大 小B2
1 2 3
k k+1
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(4) 电子在y轴右、左侧做,圆 周运动的周期T1、T2
电子的运 动时间t
题后点评： 在电子的速度一定的条件下，半径由磁感应强度大小 决定，最大半径对应最小的磁感应强度．作出最大的弦是 解决本问的关键，分别将两速度方向延长或反向延长，可 得圆弧的两公切线，以两公切线为腰的等腰三角形的底边Fra bibliotek转解析
5.真题演练
【真题】(2012· 江苏单科，9)如图所示，MN 是磁感应强度为 B 的 匀强磁场的边界．一质量为 m、电荷量为 q 的粒子在纸面内从 O 点射入磁场．若粒子速度为 v0，最远能落在边界上的 A 点．下列 说法正确的有( )． A．若粒子落在 A 点的左侧，其速度 一定小于 v0 B．若粒子落在 A 点的右侧，其速度 一定大于 v0 C．若粒子落在 A 点左右两侧 d 的范 粒子入射方向变化而速 度大小不变时，落点的 qBd 变化情况怎样？ 围内，其速度不可能小于 v0－ 2m D．若粒子落在 A 点左右两侧 d 的范围内，其速度不可能大于 v0 审题导析 qBd ＋ 2m 1.此条件说明了电荷进入磁场的方向及A、B项正误. 2.同样的思路可判定C、D两项的正误. 转解析
1.方法指导
1． 分 析 方 法
(1)数学方法和物理方法的结合： 一是物理方法: ①临界条件求极值; ②边界条件求极值; ③矢量图求极值. 二是数学方法: ①三角函数求极值; ②根的判别式求极值; ③不等式的性质求极值; ④图象法等求极值.
(2)一个“解题流程”，突破临界问题
动态思维 临界点 半径方向 临界状态 磁场边界
1． 分 析 方 法
临界轨迹
粒子速 度方向
几何关系
定圆心
(3).从关键词中找突破口 临界问题常用 “恰好”、“最大”、“至少”、“不 相撞”、“不脱离”等. 审题时,要挖掘这些特定词语隐藏的规律, 找出临界条件.
2．四个结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹 与边界相切。 (2) 当速率 v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在 有界磁场中运动的时间越长。 (3) 当速率 v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般 要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出 圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。 (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时 ，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对 应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
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【跟踪训练】 如核聚变反应需要几百万度以上的高温,为把高温条 件下高速运动的离子约束在小范围内,通常采用磁约束的方法(托卡 马克装置). 如图示,环状匀强磁场围成中空区域,中空区域中的带电 粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该 区域内,设环状磁场的内半径为R1＝0.5 m, 外半径R2＝1.0 m,磁感应 强度B＝1.0 T,若被束缚带电粒子的比荷为q/m＝4.0×107 C/m,中空 区域内带电粒子具有各个方向的速度，试求： (1)若粒子沿环状的半径方向射入磁场，则不能穿越磁场的最大速 度为多大？ (2)若粒子速度方向不受限制，则粒子不能穿越磁场的最大速度为 多大？