2020届福建省八市联考高三第三次联考数学(理)试题

2020届福建省八市联考高三第三次联考
高三 数学（理）
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的一项）
1. 已知集合2
{|230},{|24}A x x x B x x =-->=<<，则集合B A ⋂=（ ）
A ．()4,1
B ．()4,2
C ．()
3,2
D ．()4,3
2. 若复数,215i
i
z -=
则z 的共轭复数对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D . 第四象限
3. 已知,a b R ∈，则“1ab =”是“直线10ax y +-=和直线10x by +-=平行”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分又不必要条件
4. 已知1cos 62πα⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭，则cos cos 3παα⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
12 B C ．12
± D ．±5. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x ≥时，2()log (2)f x x x b =+++， 则|()|3f x >的解集为（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
B ．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
C ．（﹣2，2）
D ．（﹣4，4）
6. 已知各项均不相等的等比数列{}n a 中，21a =，且114a ，3a ，57
4
a 成等差数列，则4a 等于（ ）
A ．49
B ．
1
49
C ．7
D ．17
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某 几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A ．
B ．
80
3
C ．
D ．32 8. 从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球
中任取两个，放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中，每个袋子中至多放入1个球， 且球的颜色与袋子的颜色不同，那么不同的放法有（ ） A ．46种 B ．36种 C ．72种 D ．42种
9. 已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0,0a b >>）的左焦点为F ，第二象限的点M 在双曲线
C 的渐近线上，且||OM a =，若直线MF 的斜率为b
a
，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =±
D ．4y x =±
10. 如图所示，在正方形ABCD 中，P 为DC 边上的动点， 设向量AC DB AP λμ=+，则λμ+的最大值为（ ） A ．
3
2
B ．2
C ．3
D ．4
11. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<的 部分图象如图所示，已知12,(
,)2
x x π
π∈，12x x ≠，且
12()()f x f x =，则12()f x x +=（ ）
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
12. 已知函数()2(0)x
f x e x =+<的图象与函数()ln()2
g x x a =++的图象上存在关 于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．1(,)e -∞
B ．(,)e -∞
C ．1(,)e e -
D ．1(,)e e
-
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）
13．已知实数,x y 满足约束条件30
2403x y x y x -+≥+-≥≤⎧⎪
⎨⎪⎩
，则()221z x y =++的最小值为_____．
14．如图，已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，DA =AB =BC
=
，则球O 的体积等于 ______．
15．已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为M ， 过点M 的直线l′与抛物线C 的交点为P ，Q ，延长PF 交抛物线 C 于点A ，延长QF 交抛物线C 于点B ，若+
= 22，
则直线l′的方程为 ．
16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3
A π
=
，且2sin 2sin b B c C +
bc =+，则ABC ∆的面积的最大值为__________
三. 解答题（共6小题，12*5+10=70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）
17.（本小题共12分）
已知数列{}n b 是首项为1的等差数列，数列{}n a 满足1310n n a a +--=，321b a +=，
11a =.
（1）证明数列1
{}2
n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；
（2）令1
)2
(n n n a b c +⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T .
18.（本小题共12分）
已知椭圆()22122:10x y C a b a b
+=>>的离心率为()2,12P -是1C 上一点 （1）求椭圆1C 的方程；
（2）设,,A B Q 是点P 分别关于x 轴、y 轴及坐标原点的对称点，平行于AB 的直线
l 与1C 相交于不同于,P Q 的两点,C D ，点C 关于原点的对称点为E ，证明：直线,PD PE
与y 轴围成的三角形为等腰三角形.
19.（本小题共12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，AB AD ⊥，AB PA ⊥，
224BC AB AD BE ===，平面PAB ⊥平面ABCD ．
（1）求证：平面PED ⊥平面PAC ；
（2）若直线PE 与平面PAC 求二面角A PC D --的平面角的余弦值．
20.（本小题共12分）
已知椭圆22
22:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，且离心率为12
，
点M 为椭圆上一动点，12F MF ∆. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设,A B 分别为椭圆的左、右顶点，过点B 作x 轴的垂线1l ，D 为1l 上异于点B 的 一点，以BD 为直径作圆E ，若过点2F 的直线2l （异于x 轴）与圆E 相切于点H ，且2l
与直线AD 相交于点P ，试判断1||||PF PH +是否为定值，并说明理由.
21.（本小题共12分）
已知函数2
()1x
f x e ax =-+，()(2)2
g x e x =-+，且曲线()y f x =在1x =处的 切线方程为2y bx =+. （1）求,a b 的值；
（2）证明：当0x >时，()()g x f x ≤.
选考题（请在22，23两题中任选一题作答，本小题共10分）
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：⎩⎨
⎧==θ
θ
sin cos r y r x （θ为参数，常数0r >），以原点为
极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为015sin 82
=+-θρρ. （1）若曲线1C 与2C 有公共点，求r 的取值范围；
（2）若1=r ，过曲线1C 上任意一点P 作曲线2C 的切线，切于点Q ，求PQ 的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲 设函数a x x f -=)(，R a ∈.
（1）当2=a 时，解不等式：526)(--≥x x f ；
（2）若关于x 的不等式4)(≤x f 的解集为[-1,7]，且两正数s 和t 满足a t s =+2， 求证：68
1≥+t
s .
参考答案
一．选择题：D C C B A D B D A C C B 二．填空题：13. 5； 14．92
π； 15
．2)y x =+；
16. 三．解答题 17. 解：（1）
1310n n a a +--=，131n n a a +∴=+，即13()11
22
n n a a +=+
+ ∴数列1
{}2
n a +是首项为32，公比为3的等比数列
∴132
132n n a -=+⨯，即31
2n n a =-
（2）由（1）知，32231
1132
b a =--=-=，∴33n b n n =+-=， ∴1
)23(2n n n n a b n c +⋅⋅==，∴2
1(13233)2
n n T n =⨯+⨯+
+⨯
∴2311
3(13233)2n n T n +=
⨯+⨯++⨯，∴2311
2(33333)2
n n n T n +-=+++
+-⋅
∴11113(31)123(33)3231242n n n n n n n
T +++⨯--=⨯-⋅=--⋅-1123344
n n +-=
⋅- ∴1(21)33
8
n n n T +-⋅+=
18. 解：（1）依题意得2222
314411
b a a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22
8
2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故椭圆C 的方程为
22182x y += （2）由题设可知(2,1)A --，(2,1)B ，因此直线l 的斜率为
1
2
， 设直线l 的方程为12y x t =+，联立22
121
8
2y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22
2240x tx t ++-= ∴设1122(,),(,)C x y D x y ，则有212122,24x x t x x t +=-⋅=-，（0∆>） ∴21211122PD PE y y k k x x ---+=
++-+211221(1)(2)(1)(2)
(2)(2)
y x y x x x --++--+=+-+
2112(1)(2)(1)(2)y x y x --++--+211211
(1)(2)(1)(2)22
x t x x t x =+--++---+
1212()4x x t x x =--+-2
2
24240t t =-++-=
∴PD PE k k +0= ∴直线,PD PE 与y 轴围成一个等腰三角形
19. 解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，AB PA ⊥， ∴PA ⊥平面ABCD ．又∵AB AD ⊥，故可建立空间直角坐标系o xyz -如图所示， 不妨设4BC =，(0)AP λλ==，则有(0,2,0)D ，(2,1,0)E ，(2,4,0)C ，(0,0,)P λ， ∴(2,4,0)AC =，(0,0,)AP λ=，(2,1,0)DE =-，
∴4400DE AC =-+=•，0DE AP =•，∴DE AC ⊥，DE AP ⊥， ∴DE ⊥平面PAC ，又DE ⊂平面PED ，∴平面PED ⊥平面PAC ． （2）由（1），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，(2,1,)PE λ=-， 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，
∴sin |cos ,||
|PE DE θ===
，解得2λ=±， ∵0λ>，∴2λ=，即(0,0,2)P ．
设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，(2,2,0)DC =，
(0,2,2)DP =-，
由n DC ⊥，n DP ⊥，∴220
220x y y z +=⎧⎨-+=⎩
，不妨令1x =，则(1,1,1)n =--，
∴2cos ,n DE +=
=A PC
D --的平面角是锐角， ∴二面角A PC D --
20. 解：（1）依题意得22212
a b c c
a bc ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得2
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22143x y +=
（2）由（1）可知(2,0)A -，(2,0)B ，(1,0)F ，
过点2F 与圆E 相切的直线分别切于,B H 两点，所以22||||1F H F B ==，
∴1122||||||||||PF PH PF PF F H +=+-12||||1PF PF =+- ∴设点(2,)(
0)E t t ≠，则(2,2)D t ，圆E 的半径为||t ，
则直线AD 的方程为(2)2t y x =
+，设2l 的方程为1x ky =+
||t =
化简得212t k t -=，联立2
(2)2
11
2t y x t x y t ⎧
=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩
，可得22263623t y t t x t ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ ∴222626(,)33t t P t t -++，故222
422222
626()()6933143(3)t t t t t t t -+++++==+，
∴点P 在椭圆C 上，∴12||||4PF PF +=，即1||||413PF PH +=-=
21.解：（1）由题设可得()2x
f x e ax '=-，则有(1)2(1)12f e a b f e a b '=-=⎧⎨=-+=+⎩，解得1
2
a b e =⎧⎨=-⎩
（2）证明：由（1）知，2
()1x f x e x =-+，
令2
()()()(2)1x
h x f x g x e x e x =-=----，则()2(2)x
h x e x e '=---， 令()()2(2)x
x h x e x e ϕ'==---，则()2x
x e ϕ'=-，所以当(0,ln 2)x ∈时，
()0x ϕ'<，()h x '单调递减，当(ln 2,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()h x '单调递增，
又(0)30h e '=->，(1)0h '=，0ln 21<<，(ln 2)0h '<， 所以存在0(0,ln 2)x ∈，使得0()0h x '=，
所以当0(0,)(1,)x x ∈⋃+∞时，()0h x '>，当0(,1)x x ∈时，()0h x '<， 故()h x 在0(0,)x 上单调递增，在0(,1)x 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又(0)(1)0h h ==，所以当0x >时，2
()(2)10x
h x e x e x =----≥，当且仅当1x =取到等号，
故当0x >时，()()g x f x ≤
22. 解：（1）曲线1C 的直角坐标方程为)0(22
2
>=+r r y x ， 曲线2C 的直角坐标方程为1)4(22
=-+y x . 若1C 与2C 有公共点，则1)04()00(122+≤-+-≤
-r r ，所以53≤≤r .
（2）设)sin ,(cos ααP ，由2
22
22
Q C PC PQ -=12
2-=PC 得1)4(sin cos 222
--+=ααPQ 24818sin 816=+≤-=α， 当且仅当1sin -=α时取最大值，故PQ 的最大值为62. 23. 解：（Ⅰ）不等式可化为6522≥++-x x ，
即①⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-≥
652225x x x 或②⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-≤≤6
2522
52x x x 或③⎩⎨⎧≥-+-<62522x x x . 由①，得3
13
≥
x ； 由②，得∅∈x ；由③，得3
1≤
x ； 所以，原不等式的解集为),3
13
[
]31,(+∞-∞ . （Ⅱ）不等式4)(≤x f 即44≤-≤-a x ，∴44+≤≤-a x a ， ∴14-=-a 且74=+a ，∴3=a . ∴)2)(81(3181t s t s t s ++=+)1610(31t
s
s t ++=6)16210(31=∙
+≥t s s t .。