〖2021年整理〗《两角和与差的正弦、正切 》优秀教案

两角和与差的正弦、正切
本节课是人教B 版必修3第八章《三角恒等变换》的第二课时，两角和与差的正弦、正切是三角恒等变换的基础，同时，它又是后面学习倍角、半角公式的“源头“。

它对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简，求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。

本课时以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式推导两角和与差的正弦及正切公式以及它们的简单应用。

教学过程中让学生学会用代换法，转化法推导公式，让学生初步学会公式的简单应用和公式的逆用等基本技能。

通过公式的推导，着重培养学生获取数学知识的能力和数学交流的能力，通过公式的灵活运用，培养学生的转化思想和变换能力。

课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立思考能力，小组交流中，培养合作意识；在解决问题时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想。

【教学重点】
两角和与差的正弦、正切公式的推导、逆用、变形及其应用 【教学难点】
两角和与差的正弦、正切公式的应用
问题1：两角和与差的正弦
虽然sin75sin(3045),sin15=sin(4530)o o o o o o =+- ，但是
sin75sin30sin45,sin15=sin45sin30o o o o o o ≠+-
当然，我们可以这样求sin 75o
的值：
sin75sin(9015)cos15=cos(4530)o o o o o o =-=-=
根据两角和与差的余弦公式可推出两角和与差的正弦公式： S α＋β：in α＋β＝in_αco_β＋co_αin_β， S α－β：in α－β＝in_αco_β－co_αin_β
证明：由诱导公式以及两角和与差的余弦公式可知：
sin()cos[()]cos[(
)]
2
2
cos(
)cos sin(
)sin 22sin cos cos sin π
π
αβαβαβπ
π
αβαβ
αβαβ
+=-+=--=-+-=+
而且：
sin()sin[()]
sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ
-=+-=-+-=- 例如,sin75sin(4530)sin45cos30cos45sin30o o o o o o o
=+=
+122224
=
+= sin15sin(4530)sin45cos30cos45sin30o o o o o o o =-=
-12=
-=
【对点快练】
1．in 75°＝____________
答案：错误! in 75°＝in30°＋45°＝in 30°co 45°＋co 30°in 45°＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误! 2．若co α＝－错误!，α是第三象限的角，则in 错误!＝____________
答案：－错误! ∵co α＝－错误!，α是第三象限角，∴in α＝－错误!，∴in 错误!＝in αco 错误!＋co αin 错误!＝错误!×错误!＝－错误!
例11in 21°co 39°＋co 21°in 39°等于
A ．错误!
B ．错误!
C ．错误!
D ．1
2已知错误!＜α＜错误!，0＜β＜错误!，co 错误!＝－错误!，in 错误!＝错误!，求in α＋β的值． 答案：1C [in 21°co 39°＋co 21°in 39°＝in21°＋39°＝in 60°＝错误!] 2解 因为错误!＜α＜错误!π，所以错误!＜错误!＋α＜π 所以in 错误!＝ 错误!＝错误!
又因为0＜β＜错误!，错误!π＜错误!π＋β＜π， 所以co 错误!＝－错误!＝－错误!， 所以in α＋β＝－inπ＋α＋β＝－in 错误! ＝－错误!＝－错误!＝错误! 【变式练习】
已知α∈错误!，β∈错误!且in α＋β＝错误!，co β＝－错误!，求in α 解 因为β∈错误!，co β＝－错误!，所以in β＝错误!
又因为0＜α＜错误!，错误!＜β＜π，所以错误!＜α＋β＜错误!，又in α＋β＝错误!，所以错误!＜α＋β＜π， co α＋β＝－错误!＝－错误!＝－错误!，
所以in α＝in[α＋β－β]＝in α＋βco β－co α＋βin β＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!
例2已知向量(3,4OP =），如图所示，将向量OP 绕原点沿逆时针方向旋转45o
到'OP 的位置，求点'(',')P x y 的坐标。

解：设xOP α∠=，则因为||5OP =
=，所以34
cos ,sin 55
αα==
因此，34'5cos(45)5(cos cos45sin sin45)5()52522
o o o x ααα=+=-=⨯
-⨯=-
3
4'5sin(45)5(sin cos45cos sin45)5(55o o o y ααα=+=+==
从而'(22
P -
例3求证：
1cos sin()226
x x x π+=+
证明：因为1cos
6
62π
π=
=1cos cos sin +sin cos sin(+)2666
x x x x x πππ
+==
由例3的结果可知，()sin(+
)6
f x x π
=，因此()f x 的最大值为1，而且()f x 的最大值点0x 满足
02,6
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，因此最大值点为
2,3
k k Z π
π+∈
例4在求函数()sin cos f x x x =+的最小值时，下面的说法正确吗？ “因为sin x 的最小值为-1，cos x 的最小值为-1，所以()f x 的最小值为-2” 如果不对，指出原因，并求()f x 的周期，最小值和最小值点
解：因为sin 1x =-时有2,2
x k k Z π
π=-
+∈；而cos 1x =-时有2,x k k Z ππ=+∈。

因此sin 1x =-与cos 1x =-不能同时成立，这就是说，()f x 的最小值不是-2，有关说法不对。

又因为cos
sin
4
4
2
π
π
==
，所以
()sin cos 2(
)cos cos sin ))22444
f x x x x x x x x πππ=+=+=+=+
由此可知函数()f x 的周期为2π，最小值为0x 满足02,4
2
x k k Z π
π
π+
=-
+∈，因此最小
值点为32,4
k k Z π
π-
+∈ 由例4可以看出，当,a b 都是不为零的常数时，为了求出函数
()sin cos f x a x b x =+的周期、最值等，关键是要将函数化为()sin()f x A x ϕ=+的形式，也就是说，要找
到合适的A 和ϕ，使得sin cos sin()a x b x A x ϕ+=+ ① 恒成立。

如果①式恒成立，则将①式的右边用S αβ+展开可得
sin cos sin cos cos sin a x b x A x A x ϕϕ+=+
因此cos ,sin a A b A ϕϕ==，从而可知
22222(cos )(sin )a b A A A ϕϕ+=+= ，
因此，如果取A =
则有
cos a b A A ϕϕ=
===
（2） 由（2）式和任意角的余弦、正弦的定义可知，若记平面直角坐标系中坐标为(,)a b 的点为ϕϕ
A ϕ22sin cos sin()a x b x a b x ϕ+=++ϕ()sin53cos5f x x x =-()
f x 221(3)2,+-=13()2(sin5cos5)2[sin5cos()cos5sin()]2sin(5)
22333
f x x x x x x πππ
=-=-+-=-()
f x 25
π
2
-0x 052,3
2
x k k Z π
π
π-
=-
+∈2,30
5
k k Z π
π
-
+
∈0000
00sin75sin(30+45)
tan75cos75cos(30+45)
==0030,450tan750tan300tan450
tan75
,αβsin()sin cos cos sin tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβ
αβαβαβαβ
+++=
=
+-cos cos αβ
T αβ+T αβ-T αβ
+tan()tan[()]αβαβ-=+-tan75
o
tan17tan 431tan17tan 43o o o o
+-1tan151tan15o o
-+tan 45tan 30tan 75tan(4530)1tan 45tan 30o o
o o o o o
+=+=
-3
1323313
+
=
=+-
tan17tan43tan(1743)tan603
1tan17tan43o o o o o
o o
+=+==-tan451
o =1tan15tan45tan153tan(4515)tan 301tan151tan45tan153
o o o o o o
o o o --==-==++in ＝－1
【变式练习2】函数f ＝in －co 错误!的值域为 A ．[－2,2] B ．[－错误!，错误! ] C ．[－1,1]
D ．错误!
答案：B ∵f ＝in －co 错误!＝in －co ·co 错误!＋in in 错误!＝in －错误!co ＋错误!in ＝错误!错误!＝错误!in 错误!∈R ， ∴f 的值域为[－错误!，错误! ]．
小结：
1．两角和差正弦、余弦与正切公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：in 错误!＝in 错误!co α－co 错误!in α＝－co α
2．使用和差正弦、余弦与正切公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式．
3．运用和差正弦、余弦与正切公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．。