江西省南昌市第十九中学2025届高三上学期期中考试数学试题

江西省南昌市第十九中学2025届高三上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合{}{}2
|31,,|450A y y x x B x x x ==-∈=--≤N ，则A B = （
）
A ．[]1,5-
B ．{}2,5
C ．{}1,2,5-
D ．[]
0,52．命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是（）
A ．3(,0),0
x x x ∀∈-∞+<B ．3(,0),0x x x ∀∈-∞+≥C ．[)3
0,,0
x x x ∞∃∈++<D ．3[0,0
x x x ∃∈+∞+≥),3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（）
A ．21
B ．19
C ．12
D ．42
4．函数()2
21
x f x x -=
的图象在点()()22f ,处的切线方程为（）
A ．430x y +-=
B ．410x y -+=
C ．450
x y +-=D ．450x y --=5．已知π3cos 65α⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝
⎭（
）A ．4925
-
B ．2425-
C ．725
-
D ．
725
6．函数()()2
2πsin 23f x x x ωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
，其中0ω>，其最小正周期为π，则下列说法
正确的是（）A ．2
ω=B ．函数()f x 图象关于点π,03⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
C ．函数()f x 图象向右移ϕ（0ϕ>）个单位后，图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为5π12
D ．若π0,
2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则函数()f x 1
7．如图，在四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，且2AB =，1MC MD CD ===．若点N 在
线段CD （端点除外）上运动，则NA NB ⋅
的取值范围是（）
A ．1,04⎡⎫-⎪
⎢⎣⎭B ．304⎡⎫⎪
⎢⎣⎭，C ．1,14⎡⎫⎪
⎢⎣⎭D ．3,04⎡-⎫⎪
⎢⎣⎭
8．已知函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +为偶函数，()21f x +-为奇函数．若()10f =，则26
1()k f k ==∑（
）
A ．23
B ．24
C ．25
D ．26
二、多选题
9．下列说法正确的是（
）
A ．函数()1
2(0x f x a a -=->且1)a ≠的图象恒过定点()
1,2-B ．函数(
)f x =[)
2,+∞C ．函数(
)f x =6
D ．函数(
)12f x ⎛= ⎪
⎝⎭
的单调增区间为1,12⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
10．下列关于向量的说法错误的是（）
A ．在边长为2的等边三角形ABC 中，2
AB BC ⋅=
B ．向量()1,2a = ，()3,b k =- ，若3
2
k <，则a 与b 的夹角是钝角
C ．若2a =
，b ，π
,6
a b <>= ，则向量a 在b
D ．若2OA OB == ，点C 在线段AB 上，且OC 的最小值为1，则OA tOB - （t ∈R ）
11．数列{}n a 满足()*
1120n n n n a a a a n +++-=∈N ，11a =，则下列结论正确的是（
）
A ．若13n
a n
b =，则{}n b 为等比数列
B ．若121111n n c n a a a ⎛⎫
=
++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭
，则{}n c 为等差数列
C ．21n a n =-
D ．
122111121n n
n a a a a --++⋅⋅⋅+=三、填空题
12．已知C z ∈，且i 3z +=，i 为虚数单位，则33i z --的最大值是
．
13．若2
1()ln(2)2
f x x a x =-++在[)1,-+∞上是减函数，则实数a 的取值范围是
.
14．设O 为ABC 的外心，若=4AB
，BC =BO AC ⋅=
.
四、解答题
15．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且cos sin 0a C C b c -+=．(1)求A ；(2)若33
2,,2
ABC b S M ==
△为BC 边上的中点，求AM 的长．16．已知数列{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，21
3
b =，11n n n n a b b nb +++=，
(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(2)求数列{}(1)n
n n a b -+的前2n 项和2n S ．
17．如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形CDEF 均为等腰梯形，AB ∥,CD EF ∥,224CD CD AB EF ===
，AD DE AE ===
.
(1)证明：平面ABCD ⊥平面CDEF ；
(2)若M 为线段CD 上一点，且1CM =，求二面角A EM B --的余弦值.18．椭圆C 与椭圆1C ：2
212
x y +=有相同的焦点，且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)椭圆C 的右焦点为B ，设动直线l 与坐标轴不垂直，l 与椭圆C 交于不同的M ，N 两点，且直线BM 和BN 的斜率互为相反数.
①证明：动直线l 恒过x 轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；②求OMN 面积的最大值.
19．设()y f x =是定义域为D 且图象连续不断的函数，若存在区间[],a b D ⊆和()0,x a b ∈，使得()y f x =在[)0,a x 上单调递增，在(]0,x b 上单调递减，则称()y f x =为“山峰函数”，0x 为“峰点”，[],a b 称为()y f x =的一个“峰值区间”．
(1)判断()2
cos g x x x =+是否是山峰函数？若是，请指出它的一个峰值区间；若不是，请说
明理由；
(2)已知1m >，()()22x
h x m x x m =+--是山峰函数，且[]0,1是它的一个峰值区间，求m 的
取值范围；
(3)设n ∈R ，函数()()()32
321244ln 443I x x nx n x x x nx n x ⎡⎤=-+--+--⎣⎦．设函数()y I x =是山峰函数，[],s t 是它的一个峰值区间，并记t s -的最大值为()d n ．若203I ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
，且
()213I I ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，()312I I ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，求()d n 的最小值．（参考数据：3ln 0.42≈）。