【精准解析】内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学(理)试题

16.下列命题（ i 为虚数单位）中：①已知 a,b R 且 a b ，则 (a b) (a b)i 为纯虚数；②
当 z 是非零实数时， z 1 2 恒成立；③复数 z (1 i)3 的实部和虚部都是－2；④如果 z
| a 2i || 2 i | ，则实数 a 的取值范围是 1 a 1；⑤复数 z 1 i ，则 1 z 3 1 i ；
由分步计数原理知共有 C42 A43 ＝144 种方法，
故选：C． 【点睛】本题考查排列组合问题和分步乘法计数原理的应用，考查学生分析问题的能力，属
-3-
于基础题.
7.10 个人排队，其中甲、乙、丙、丁 4 人两两不相邻的排法
A. A55A74 种
B.
A10 10
－
A77
A44
种
C. A66A74 种
由题意可先从 4 个旅行团中任选 2 个，有 C42 种方法，分别游览 4 个景点中的 3 个有 A43 种方法，
由分步计数原理可得结果．
【详解】由题意恰有一个景点没有旅行团游览，先从 4 个旅行团中任选 2 个，有 C42 种方法， 然后与其余 2 个旅行团看成三组，
分别游览 4 个景点中的 3 个有 A43 种方法．
三.解答题（写出必要的文字说明和解题步骤）
17.设函数 f (x) x3 3ax b(a 0) ，曲线 f (x) 在点 2, f (2) 处与直线 y 8 相切.
（1）求 a, b 的值；
（2）求函数 f (x) 的单调区间.
【答案】（1） a 4, b 24 ；（2）单调增区间为： (, 2), (2, ) ，减区间为 (2, 2) ．
y bx a 必过 (x, y) ；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有
99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有 99%的可能患肺病；其中
错误的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】
试题分析：由方差的定义与性质可知，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，
⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可．
【详解】对于①， a ， b R 且 a b ，若 a = b = 0 时，则 (a b) (a b)i 不是纯虚数，①错
误；
对于②，当 z 是非零实数时，根据基本不等式的性质知 | z 1 | 2 恒成立，②正确； z
对于③，复数 z (1 i)3 2 2i ， z 的实部和虚部都是 2 ，③正确；
【解析】
【详解】（1）∵ f (x) 3x2 3a .
15.已知抛物线 y2 4x ，焦点为 F ，准线为 l ， P 为抛物线上一点， PA l ， A 为垂足，如
果直线 AF 的斜率为 3 ，那么 PAF 的面积为________.
【答案】 4 3
【解析】
分析：首先根据题中所给的抛物线的方程，求得抛物线的准线方程和焦点坐标，设出 A 点的
坐标，根据两点斜率坐标公式求得 yA 2 3 ，从而得到 yP 2 3 ，代入抛物线的方程，求
件下事件 B 发生的概率是（ ）
-4-
4
5
5
5
A
B.
C.
D.
7
16
8
14
【答案】A 【解析】
试题分析：由题可理解条件概率，则可由条件概率公式得；
P(B
|
A)
n(A B) n( A)
54 57
4 7
,
考点：条件概率的算法．
10.已知随机变量
服从二项分布
B
4,
1 3
，则
P(
3)
（
）．
32
A.
对于④，如果 | a 2i || 2 i | ，则 a2 4 4 1 ，
解得 1 a 1，所以实数 a 的取值范围是 1 a 1，④正确；
对于⑤，复数
z
1
i
，则
1 z
z
1 1
i
(1
i)
3 2
1 2
i
，⑤错误．
综上，正确的命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查复数的概念与应用问题，考查逻辑推理能力，是综合题．
2019-2020 学年度下学期期末考试
高二理科数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时
间 120 分钟.
注意：1.答卷前，将姓名.考号填在答题卡的密封线内.
2.答案必须写在答题卡上，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷
一.选择题（每题 5 分，共 60 分）
1.已知复数
D. y 2x 2
【答案】A 【解析】 【分析】
对函数求导，求出 f (1) 以及 f 1 的值，然后代入点斜式即可得到答案．
【详解】函数的定义域为 (0, ) ，由题可得 f (x) 1 1 ，则 f (1) 2 ，即函数在点 (1, f (1)) x
处的斜率 k f (1) 2 ，
由于 f (1) ln11 1，则切点为 (1,1) ，所以 y ln x x 在点 (1, f (1)) 处切线方程为：
z
2 3i 1 i
（
i
为虚数单位），则
z
在复平面内对应的点位于（
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
） D. 第四象限
【答案】D
【解析】
因
z
(2 3i)(1 i) (1 i)(1 i)
1 5i 2
1 2
5 2
i
，故复数
z
1 2
5 2
i
对应的点在第三象限，应选答
案 C．
2.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲
dx
ln
x
|1e
1
故答案为：1
-6-
【点睛】本题考查定积分，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.已知随机变量 X 服从正态分布 N (2, 2 ) ，且 P(0 X 2) 0.3 ，则
P( X 4) __________． 【答案】0.2 【解析】
P 2 X 4 P 0 X 2 0.3,所以 P X 4 0.5 P 2 X 4 0.2
y 1 2(x 1) y 2x 1 ，
故答案选 A
【点睛】本题主要考查函数的切线方程，根据导数的几何意义求出函数切线的斜率是解决本
题的关键，属于基础题．
6.四个旅行团选择四个景点游览，其中恰有一个景点没有旅行团游览的情况有（ ）种
A. 36
B. 72
C. 144
D. 288
【答案】C
【解析】
【分析】
D. A66A64 种
【答案】C 【解析】
【分析】
不相邻问题采用“插空法”. 【详解】解：∵10 个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁 4 人两两不相邻排成一排， ∴采用插空法来解，
另外六人，有 A66 种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁，
有 A74 种结果，
根据分步计数原理知共有 A66 • A74 ，
81
【答案】D 【解析】
16
B.
81
24
C.
81
8
D.
81
B
4,
1 3
表示做了 4
次独立实验，每次试验成功概率为
1 3
，
则 P(
3)
C43
1 3
3
2 3
1
4
2 81
8 ．选 D 81
．
11.在
x2
1 x
5
的展开式中
x
的系数为(
)

A. 5 C. 20 【答案】B 【解析】
B. 10 D. 40
【 详 解 】 由 f x 的 图 像 可 知 ， 在 区 间 , 1,1, 上 f ' x 0 ， 在 区 间 1,1 ，
f ' x 0 .不等式 x2 2x 3 f (x) 0 可化为 x 3 x 1 f ' x 0 ，所以其解集为
(, 1) (1,1) (3, ) .
考点：统计案例.
4.已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0) 的渐近线方程为
y
= ±3 4
x ，且其右焦点为 (5, 0)
，则双
曲线 C 的方程为（ ）
A. x2 y2 1
B. x2 y2 1
C. x2 y2 1
D.
9 16
16 9
34
x2 y2 1 43
【答案】B
【答案】B
【解析】
因直线
x
2y
1
0
的斜率
k
1 2
，故
b a
2
b
2a
，即 c2
5a 2
e
5 ，应选答
案 B．
9. 一个袋中装有大小相同的 5 个白球和 3 个红球，现在不放回的取 2 次球，每次取出一个球，
记“第 1 次拿出的是白球”为事件 A，“第 2 次拿出的是白球”为事件 B，则事件 A 发生的条
说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则
下列结论正确的是（ ）
A. 丙被录用了
B. 乙被录用了
C. 甲被录用了
D. 无法确定
谁被录用了
【答案】C
【解析】
【分析】
假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.
【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，
得对应的横坐标，之后求得相应的线段的长度，根据面积公式求得三角形的面积.
详解：因为 y2 4x ，所以准线 l : x 1, F (1, 0) ，因为 PA l ，垂足为 A ，所以设 A(1, yA ) ，
因为 kAF
3
，所以
yA 0 1 1
3 ，所以 yA 2
3 ，所以 yP 2
【解析】
试题分析：由题意得 b = 3 ， c2 a2 b2 25 ，所以 a 4 ， b 3 ，所求双曲线方程为 a4
x2 y2 1． 16 9
考点：双曲线方程.
5.曲线 y ln x x 在点（1, f 1 ）处的切线方程为（ ）
-2-
A. y 2x 1
B. y x 1
C. y x 1
-5-
A. (, 2) (1, )
B. (, 2) (1, 2)
C. (, 1) (1, 0) (2, )
D. (, 1) (1,1) (3, )
【答案】D 【解析】 【分析】
根据 f x 图像判断 f ' x 的符号，由此求得不等式 x2 2x 3 f (x) 0 的解集.
若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，
若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，
综上可得甲被录用了，
故选：C.
-1-
【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题. 3.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有
一个回归方程 y 3 5x ，变量 x 增加一个单位时， y 平均增加 5 个单位；③线性回归方程
故选 C． 【点睛】本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用
插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．
8.双曲线
x2 a2
y2 b2
1 的一条渐近线与直线 x 2 y 1
0 垂直，则双曲线的离心率为（
）
A. 5 2
B. 5
C. 3 1 2
D. 3 1
Tr＋1＝ C5r x2(5－r)x－r＝ C5r x10－3r，令 10－3r＝1，得 r＝3，故 T4＝Cx＝10x，所以 x 的系数为 10.
故选 B.
12.已知 f (x) 在 R 上是可导函数,则 f (x) 的图象如图所示，则不等式 x2 2x 3 f (x) 0 的
解集为（ ）
故选：D
【点睛】本小题主要考查函数图像与导数符号的关系，考查不等式的解法，属于基础题.
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二.填空题（每题 5 分，共 20 分）
13.定积分 e 1 dx 的值为____________________.
1x
【答案】1
【解析】
【分析】
根据定积分求解
【详解】
e 1
1 x
3 ，把 yP 2
3 代入
y2 4x 中，得 xP 3 ，所以 AP 3 (1) 4 ，所以
S PAF
1 2
AP
yP
142 2
34
3 ，故答案是 4
3.
点睛：该题考查的是有关抛物线的定义和有关性质的问题，以及直线与抛物线相交的问题，
在解题的过程中，需要对相应的公式和结论要熟记并能熟练地应用，从而求得结果.
方差恒不变，所以①上正确的；回归方程为 y 3 5x ，变量 x 增加一个单位时， y 平均增
加 5 个单位，所以②是错误的；线性回归方程 y bx a 必过样本中心点 (x, y) ，所以③是
正确的；有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，说某人吸烟，不能认为他有 99%的可能患
肺病，所以④是错误的；即正确命题有两个，故选 C.
z
22
其中正确的命题的序号是__________.
【答案】②③④
【解析】
-7-
【分析】
①当 a = b = 0 时， (a b) (a b)i 0 不是纯虚数； ②根据基本不等式的性质知 | z 1 | 2 恒成立；
z ③化简复数 z ，得 z 的实部和虚部都是 2 ； ④根据模长公式得关于 a 的不等式，求解即可；