人教版数学八年级上册 第十二章全等三角形单元检测题含答案解析

《全等三角形》单元检测题
一、单选题
1．下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
2．在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，AB=3cm，∠D=50°，∠E=70°，EF=3cm．则△ABC与△DEF（）
A．一定全等B．不一定全等C．一定不全等D．不确定
3．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙
4．如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（）
A．115B．120C．125D．130
5．某同学不小心把一块玻璃打碎了，变成了如图所示的三块，现在要到玻璃店配一块完全一样的玻璃，那么应带哪块去才能配好（）
A．①B．②C．③D．任意一块
6．如图，已知OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD与BC相交于点E，那么图中全等
的三角形共有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF长为（）
A．2B．3C．D．
8．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）
A．∠BCA=∠F B．BC∥EF C．∠A=∠EDF D．AD=CF
9．下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是( )
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D B．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
C．AC＝DF，∠B＝∠F，AB＝DE D．∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF
10．如图，，，，要根据“HL”证明△≌△，则还需要添加一个条件是
A．B．
C．D．
11．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）
A．形状相同B．周长相等C．面积相等D．全等
12．如图，于D，于P，且，则△与△全等的理由是
A．SSS B．ASA C．SSA D．HL
13．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）
A．76°B．62°C．42°D．76°、62°或42°都可以
二、填空题
14．如图所示，，可使用“HL”判定△与△全等，则应添加一个条件是______．
15．如图所示，△是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，图中包括实线、虚线在内共有全等三角形______对
16．如图，，于点D，于点E，BE与CD相交于点O，图中有______对全等的直角三角形．
17．如图，已知△≌△，点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则______．
三、解答题
18．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD．
（1）求证：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．
19．已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
求证：AO=BO，CO=DO．
20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．
（1）AD与BC相等吗？请说明理由；
（2）BE与DF平行吗？请说明理由．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠1=∠2，则△ABD与△ACD全等吗？证明你的判断．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
结合已知条件和全等三角形的判定方法，对所给的三个命题依次判定，即可解答．．
【详解】
①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；
②正确．
如图，分别延长AD，A′D′到E，E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
同理：B′E′=A′C′，
∴BE=B′E′，AE=A′E′，
∴△ABE≌△A′B′E′，
∴∠BAE=∠B′A′E′，∠E=∠E′，
∴∠CAD=∠C′A′D′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
∴△BAC≌△B′A′C′．
③不正确．因为这个高可能在三角形的内部，也有可能在三角形的外部，也就是说，这两个三角形可能一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，所以就不全等了．
故选A．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定方法，要求学生能对常用的判定方法熟练掌握并能进行灵活运用．解决命题②时，可以用“倍长中线法”.
2．C
【解析】
【分析】
由已知条件可知，有两组对应角相等，则只要这两组对应角的夹边相等或这两组对应角其中一角的对边相等即可推出两三角形全等．由此即可解答.
【详解】
在△ABC和△DEF中，∠A=50°，∠B=70°，∠D=50°，∠E=70°，当AB=DE时，△ABC≌△DEF，但本题是EF=AB，不符合全等三角形的判定条件，所以两三角形一定不全等．
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．
3．B
【解析】
分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．
详解：乙和△ABC全等；理由如下：
在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，
所以乙和△ABC全等；
在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，
所以丙和△ABC全等；
不能判定甲与△ABC全等；
故选：B．
点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．C
【解析】分析：根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．
详解：∵三角形ACD为正三角形，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，
∴△ABC≌△DEA，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选：C．
点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．
5．A
【解析】
【分析】
根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．
【详解】
只第①块玻璃中包含两角及这两角的夹边，符合ASA．
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定，要求学生能对常用的判定方法熟练掌握并能进行灵活运用．解决本题主要看这3块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定即选哪块．
6．C
【解析】分析：首先根据OA=OB，∠AOD=∠BOC，OC=OD，证明△AOD≌△BOC，然后依次证明△AEC≌△BED、△OCE≌△ODE、△OEB≌△OEA．
详解：∵OA=OB，OC=OD，又∠AOB=∠BOA，∴△AOD≌△BOC，∠A=∠B，又AC+OC=BD+OD，∴AC=BD，∴△AEC≌△BED，进一步可得△OCE≌△ODE、△OEB≌△OEA，共4对．故选C．
点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时，从已知开始结合全等的判定方法由易到难逐个找寻，要不重不漏．
7．B
【解析】
试题分析：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，∵CB=CD，∠CBE=∠CDG，BE=DG，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG=CE，∠DCG=∠BCE，∴∠GCF=45°，在△GCF与△ECF中，∵GC=EC，∠GCF=∠ECF，CF=CF，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF=EF，∵CE=，CB=6，∴BE===3，∴AE=3，设AF=x，则DF=6﹣x，GF=3+（6﹣x）=9﹣x，∴EF==，∴，∴x=4，即AF=4，∴GF=5，∴DF=2，
∴CF===，故选A．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．8．D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法依次判断即可解答．
【详解】
选项A，根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF；选项B，由BC∥EF，可得∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF；选项C，根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF；选项D，由AD=CF，可得AD+DC=CF+DC，即AC=DF，再由AB=DE，BC=EF，根据SSS即可判定△ABC≌△DEF．
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．D
【解析】分析：根据全等三角形的判定定理AAS，可知应选D.
详解：解：如图：
A选项中根据AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D 不能判定两个三角形全等，故A错；
B选项三个角相等，不能判定两个三角形全等，故B错；
C选项看似可用“边角边”定理判定两三角形全等，而对照图形可发现它们并不符合此判定条件，故C错；
D选项中根据“AAS”可判定两个三角形全等，故选D；
点睛：本题考查了全等三角形的条件，本题没有给出图形，增加此题的难度.若能顺利画出图形，对照图形和选项即可得到正确选项.
10．D
【解析】
【分析】
根据垂直定义求出∠CFD=∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【详解】
条件是AB=CD，
理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．
11．C
【解析】【分析】画出图形，逐项分析即可得；A、题目已知条件不能证明△ACD与△CDB的形状相同；B、又AC≠BC，所以△ACD与△CDB的周长不等；C、如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD 是斜边AB上的中线，CE是AB上的高，根据直角三角形的性质可以推CD=AD=BD，再根据三角形的面积公式可以得到S△ACD=S△CBD；D、此题可根据直角三角形的性质结合全等三角形的判定方法进行判断．
【详解】如图，A、显然△ACD与△CDB的形状不同，故A不正确；
B、∵AC≠BC，∴△ACD与△CDB的周长不等，故B不正确；
C、在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CE是AB上的高，
根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半知，CD=AD=BD，
∴S△ACD=AD•CE=BD•CE=S△CBD，故C正确；
D、由于AD=CD=BD，所以∠A=∠DCA，∠B=∠DCB，
显然∠A、∠B不一定相等，因此两个三角形不全等，故D错误，
故选C．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，利用了三角形的面积公式和直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半.
12．D
【解析】
【分析】
根据直角三角形全等的判别方法HL可证△AOD≌△AOP．
【详解】
∵OD⊥AB，OP⊥AC，
∴△ADO和△APO是直角三角形，
又∵OD=OP，AO=AO，
∴Rt△AOD≌△Rt△AOP(HL)，
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
13．B
【解析】
【分析】
因为两三角形全等,对应边相等,对应角相等,根据全等三角形的性质进行求解即可求出.
【详解】
因为两个三角形全等,
所以∠1=62°，
故选B.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的性质.
14．
【解析】
【分析】
由已知两三角形为直角三角形，且斜边为公共边，若利用HL证明两直角三角形全等，需要添加的
条件为一对直角边相等，即BC=BD或AC=AD．
【详解】
条件是AC=AD，
∵∠C=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD(HL)，
故答案为：AC=AD．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定，知道“HL”即为斜边及一直角边对应相等的两直角三角形全等是解题的关键．
15．4
【解析】
【分析】
共有四对，分别是△ABD≌△CDB，△ABD≌△C'DB，△DCB≌△C'DB，△AOB≌△C'OD.
【详解】
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDB (HL) ，
∵△BDC是将长方形纸牌ABCD沿着BD折叠得到的，
∴BC'=AD，BD=BD，∠C'=∠A，
∴△ABD≌△C'DB (HL) ，
同理△DCB≌△C'DB，
∵∠A=∠C'，∠AOB=∠C'OD，AB=C'D，
∴△AOB≌△C'OD (AAS) ，
所以共有四对全等三角形．
故答案为：4.
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边
一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．3
【解析】
【分析】
由条件可先证明Rt△ABE≌△Rt△ACD，可得AD=AE，可证明Rt△AOD≌Rt△AOE，可得OD=OE，进一步可证明Rt△BOD≌Rt△COE，可求得答案．
【详解】
，，
，
在△和△△中，
，
△≌△△，
，
在△和△中，
，
△≌△，
，
在△和△中，
，
△≌△，
全等的直角三角形共有3对，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定直角三角形全等的方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
17．7
【解析】
【分析】
根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，然后根据BF=BE+EF计算即可得解．【详解】
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF=5，
∴BF=BE+EF=2+5=7，
故答案为：7．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键. 18．（1）证明见解析；（2）3.
【解析】
【分析】
（1）易由，可证△ABD≌△CFD（AAS）；
（2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2．【详解】
（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°，
∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°，
∴∠BAD=∠OCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（AAS），
（2）∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF，
∵BC=7，AD=DC=5，
∴BD=BC﹣CD=2，
∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3．
【点睛】
本题考核知识点：全等三角形. 解题关键点：运用全等三角形的判定和性质.
19．证明见解析
【解析】
【分析】
根据HL证明Rt△ACB≌Rt△ADB，得∠ABC=∠BAD，根据等角对等边，得OA=OB，所以，由AD﹣OA=BC﹣OB，得OD=OC．
【详解】
证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△ADB为直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB，
∴∠ABC=∠BAD，
∴OA=OB，
∵AD=BC，
∴AD﹣OA=BC﹣OB，
即OD=OC．
【点睛】
本题考核知识点：全等三角形，等腰三角形. 解题关键点：运用全等三角形的性质和等腰三角形性质证明线段相等.
20．（1）AD=BC，理由见解析；（2）DF∥EB，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）先证明△AFD≌△CEB，然后依据全等三角形的性质进行证明即可；
（2）依据全等三角形的性质得到∠BEC=∠EFD，最后依据平行线的判定定理进行证明即可．【详解】
（1）AD=BC，理由如下：
∵AE=CF，
∴AF=EC．
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE．
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB．
∴AD=BC．
（2）DF∥EB，理由如下：
∵△AFD≌△CEB，
∴∠BEC=∠EFD，
∴DF∥EB．
【点睛】
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，找出△AFD≌△CEB的条件是解题的关键．21．全等，见解析.
【解析】
【分析】
全等，因为∠1=∠2，所以△DBC为等腰三角形，则BD=CD，又因为AB=AC，AD＝AD，通过“边边边”即可证得两个三角形全等.
【详解】
解：△ABD与△ACD全等，
∵∠1=∠2，
∴BD=CD，
在△ABD与△ACD中，
∵，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
【点睛】
本题考查全等三角形的证明，方法不唯一，可以通过证明三条边对应相等来证明，也可以通过两边
及夹角对应相等来证明.。