2019-2020版数学新导学笔记选修2-2人教A全国通用版实用课件：第一章 导数及其应用1.3.2(一) .pdf

第一章§1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数(一)
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.
2.掌握函数极值的判定及求法.
3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
思考观察函数y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值
.
知识点一
函数的极值点和极值
答案极大值点为e，g，i，极大值为f(e)，f(g)，f(i)；极小值点为d，f，h，极小值为f(d)，f(f)，f(h).
梳理(1)极小值点与极小值
若函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝，而且在点x ＝a 附近的左侧，右侧，就把
叫做函数y ＝f (x )的极小值点，叫做函数y ＝f (x )的极小值.
(2)极大值点与极大值
若函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝，而且在点x ＝b 附近的左侧，右侧，就把叫做函数y ＝f (x )的极大值点，叫做函数y ＝f (x )的极大值.
(3)极大值点、极小值点统称为；极大值、极小值统称为.
0f ′(x )<0f ′(x )>0点a f (a )0f ′(x )>0f ′(x )<0点b f (b )极值点极值
(1)求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x
)＝0时，
①如果在x
0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x
的右侧函数单调
递减，即f′(x)<0，那么f(x
)是
；
②如果在x
0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x
的右侧函数单调
递增，即f′(x)>0，那么f(x
0)是.
知识点二函数极值的求法与步骤
极大值
极小值
(2)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义区间，求导数f′(x)；
②求方程的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.
f′(x)＝0
1.导数为0的点一定是极值点.()
2.函数的极大值一定大于极小值.()
3.函数y＝f(x)一定有极大值和极小值.()
4.极值点处的导数一定为0.()
[思考辨析判断正误
]
×
×
××
题型探究
类型一求函数的极值点和极值
命题角度1不含参数的函数求极值
例1求下列函数的极值.
(1)f(x)＝2x
x2＋1
－2；
ln x (2)f(x)＝
x.
反思与感悟函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域.
(2)求方程f′(x)＝0的根.
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格.
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
特别提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然.
跟踪训练1求下列函数的极值点和极值.
(1)
f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；
(2)f(x)＝x2e－x.
命题角度2含参数的函数求极值
例2已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)e x(x∈R)，当实数a≠2
时，求函
3
数f(x)的单调区间与极值.
反思与感悟讨论参数应从f′(x)＝0的两根x
1，x
2
相等与否入手进行.
跟踪训练2已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R).
(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－a
x.
当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－2
x(x>0)，
因而f(1)＝1，f′(1)＝－1.
所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为
y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.
(2)求函数f(x)的极值.
例3
(1)已知函数f (x )的导数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，
则a 的取值范围是A.(－∞，－1) B.(0，＋∞) C.(0,1) D.(－1,0)类型二
利用函数的极值求参数√解析若a <－1，因为f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，
所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，在(a ，－1)上单调递增，
所以f (x )在x ＝a 处取得极小值，与题意不符；
若－1<a <0，则f (x )在(－1，a )上单调递增，在(a ，＋∞)上单调递减，从而在x ＝a 处取得极大值.
若a >0，则f (x )在(－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，与题意不符，故选D.
(2)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，则a ＝____
，b ＝____.29
反思与感悟已知函数的极值求参数时应注意两点
(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解.
(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证.
解∵f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ，
∴f ′(x )＝a x ＋2bx ＋1，
跟踪训练3设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点.
(1)试确定常数a 和b 的值；
∴f ′(1)＝f ′(2)＝0，∴a ＋2b ＋1＝0且a 2＋4b ＋1＝0，
解得a ＝－23，b ＝－16.
当x ∈(0,1)
时，f ′(x )<0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0；
当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0.
故x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点.
解 由(1)可知f (x )＝－23ln x －1
6x 2＋x ，且定义域是(0，＋∞)，
f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1＝－(x －1)(x －2)
3x .
(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由.
达标检测
1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的
部分图象如图所示，则下面结论错误的是
A.在(1,2)上函数f(x)为增函数
B.在(3,4)上函数f(x)为减函数
C.在(1,3)上函数f(x)有极大值
√
D.x＝3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点
解析根据导函数图象知，x∈(1,2)时，f′(x)>0，x∈(2,4)时，f′(x)<0，x∈(4,5)时，f′(x)>0.∴f(x)在(1,2)，(4,5)上为增函数，在(2,4)上为减函数，x＝2是f(x)在[1,5]上的极大值点，x＝4是极小值点.故选D.
2.设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则
A.x ＝12为f (x )的极大值点
B.x ＝12为f (x )的极小值点
C.x ＝2为f (x )的极大值点
D.x ＝2为f (x )的极小值点
√
3.函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为____.所以当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，
所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减，
所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点.
解析 因为x >0，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ，
4.已知曲线f (x )＝x 3＋ax 2
＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23是 y ＝f (x )的极值点，则a ＋b ＝_____. 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3，
f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
23＝0，即⎩⎪⎨
⎪⎧
3＋2a ＋b ＝3，43＋43a ＋b ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，
b ＝－4，则a ＋b ＝－2.
－2解析f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，
5.已知函数f (x )＝ax 2
＋b ln x 在x ＝1处有极值12. (1)求a ，b 的值； 解 f ′(x )＝2ax ＋b x ，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
f ′(1)＝0，f (1)＝12， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝0，a ＝12，
∴a ＝12，b ＝－1.
(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.
解答
12345
规律与方法
1.求函数极值的步骤
(1)确定函数的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)解方程f′(x)＝0得方程的根；
(4)利用方程f′(x)＝0的根将定义域分成若干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间的符号；
(5)确定函数的极值，如果f′(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值.
2.已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.。