湖北省武汉外国语学校2019届高三3月份模拟质量检测数学(理)试题

湖北省武汉外国语学校2019届高三3月份模拟质
量检测数学（理）试题
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合，，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，；
．
故选：D．
可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、区间的定义，指数函数的值域，以及交集的运算．
2.若复数z满足为虚数单位，为z的共轭复数，则
A. B. 2 C. D. 3
【答案】A
【解析】解：由，得，则，，则．
故选：A．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3.在矩形ABCD中，，，若向该矩形内随机投一点P，那么使得与
的面积都不小于2的概率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，解：由题意知本题是一个几何概型的概率，
以AB为底边，要使面积不小于2，
由于，
则三角形的高要，同样，P点到AD的距离要不小于，满足条件
的P的区域如图，
其表示的区域为图中阴影部分，它的面积是整个矩形面积的，
使得与的面积都不小于2的概率为：；
故选：D．
本题是一个几何概型的概率，以AB为底边，要使面积不小于2，则三角形的高要，得到两个三角形的高即为P点到AB和AD的距离，得到对应区域，利用面积比求概率．本题给出几何概型，明确满足条件的区域，利用面积比求概率是关键．
4.已知函数为偶函数，且在上单调递减，则
的解集为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：为偶函数，所以，即，
，
由在上单调递减，所以，
，可化为，即，
解得或
故选：B．
根据为偶函数，可得；根据在上递减得；然后解一元二次不等式可得．
本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题．
5.已知双曲线的离心率为，则a的值为
A. 1
B.
C. 1或
D.
【答案】C
【解析】解：双曲线的离心率为，实轴在x轴上，
可得，解得或．
故选：C．
直接利用双曲线的标准方程以及离心率转化求解即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6.等比数列的前n项和，前2n项和，前3n项的和分别为A，B，C，则
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意可得：，，．
由等比数列的性质可得：，，
所以，
所以整理可得：．
故选：D．
利用等比数列的性质可得，所以，进行整理可得答案．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质，并且进行正确的运算，一般以选择题的形式出现．
7.执行如图所示的程序框图，若输入，，输出的，则空白判断框
内应填的条件可能是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：模拟执行如图所示的程序框图知，
输入，，
，满足，，
不满足判断框内的条件，，满足，，
不满足判断框内的条件，，不满足，，
由题意，应该满足判断框内的条件，输出，此时，，，
则空白判断框内应填的条件为．
故选：B．
模拟执行如图所示的程序框图，即可得出空白判断框内应填的条件是什么．
本题考查了算法与程序语言的应用问题，是基础题．
8.将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不
变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，
得到，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，
得到，
由，，
得，，
当时，离原点最近的对称轴方程为，
故选：A．
根据三角函数的图象关系求出的解析式，结合对称轴方程进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出的解析式，结合对称轴方程是解决本题的关键．
9.在的展开式中，含项的系数是
A. 119
B. 120
C. 121
D. 720
【答案】B
【解析】解：在的展开式中，含项的系数为
，
故选：B．
利用二项展开式的通项公式求得含项的系数，再利用二项式系数的性质化简得到结果．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
10.我国古代数学名著《九章算术》记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，
草也；甍，屋盖也”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形则它的体积为
A. B. 160 C. D. 64
【答案】A
【解析】解：作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱，
则三棱柱的体积，
四棱锥的体积，
由三视图可知两个四棱锥大小相等，
．
故选：A．
作出几何体的直观图，将几何体分解成两个四棱锥和一个三棱柱计算体积．
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，其中分析出几何体的形状是解答的关键．
11.已知椭圆C：，直线l：与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直
线与椭圆相交于A，B两点，点C在直线l上，则“轴”是“直线AC过线段EF中点”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】解：设直线AC与x轴的交点为点N，过点A作，
点D是垂足．
因为点F是椭圆的右焦点，直线l是右准线，轴，即
，
根据椭圆几何性质，得是椭圆的离心率．
．
，，
即．
为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N，即充分性成立，
当直线AB斜率为0时，则BC与x轴重合，此时轴不成立，
则“轴”是“直线AC过线段EF中点”的充分不必要条件，
故选：A．
根据充分条件和必要条件的定义，结合直线和椭圆的位置关系进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和椭圆的位置关系，综合性较强，有一定的难度．
12.下列命题为真命题的个数是
；；；
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】解：构造函数，导数为，
当时，，递增，时，，递
减，
可得处取得最大值，
，由
可得，故正确；
，由，可得，故错误；
，由，可得，故正确；
，由的最大值为，故正确．
故选：C．
构造函数，求得导数，以及单调性和最值，作出图象，对照选项一一判断即可得到所求答案．
本题考查数的大小比较，注意运用构造函数，以及导数的运用：求单调性和最值，考查化简运算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.平面向量与的夹角为，，，则______．
【答案】
【解析】解：与的夹角为，且，；
；
．
故答案为：．
根据的夹角为，，并求得，从而可求出的值，进而得出的值．
考查向量数量积的运算及计算公式，根据向量坐标可求向量长度．
14.已知实数x，y满足约束条件，且的最小值为3，则常数
______．
【答案】
【解析】解：作出实数x，y满足足约束条件
对应的平面区域，的最
小值为3，
平移直线，由图象可知当直线
，经过点A，可得，
代入，
可得．
故答案为：．
作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
15.考虑函数与函数的图象关系，计算：______．
【答案】
【解析】解：如下图所示，
由于函数与函数互为反函数，两个函数的图象关于直线对称，
结合图象可知，图中两个阴影部分区域的面积相等，
所以，．
答案为：．
作出函数、以及直线的图象，利用函数与函数的图象关于直线对称，利用对称性得出，利用定积分公式进行计算可得出答案．
本题考查定积分的计算，解决本题的关键在于利用函数图象的对称性进行转化，考查计算能力与推理能力，属于中等题．
16.如图所示，在平面四边形ABCD中，若，，
为正三角形，则面积的最大值为______．
【答案】
【解析】解：设，，
由余弦定理得：，
，
又由正弦定理可得，则，
，
故面积的最大值为，
故答案为：
运用余弦定理，表示出AC，进而用三角函数表示出．
本题考查三角形的面积的最值的求法，注意运用正弦定理，余弦定理和面积公式，属于中档题．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.若数列的前n项和为，首项且．
求数列的通项公式；
若，令，求数列的前n项和．
【答案】解：当时，，则；
当时，，
即，可得或，
可得或；
由，则，，
即有前n项和
．
【解析】由数列的递推式：当时，；当时，，化简计算可得所求通项公式；
求得，再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题．
18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．
求证：平面BDEF；
求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．
【答案】证明：设AC与BD相交于点O，连接FO，
四边形ABCD为菱形，，且O为AC中点，
，，
又，平面分
解：连接DF，四边形BDEF为菱形，且，
为等边三角形，
为BD中点，，又，平面ABCD．
，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，分
设，四边形ABCD为菱形，，，．为等边三角形，．
，1，，，0，，
，，1，．
设平面ABF的法向量为y，，
则，取，得．
设直线AD与平面ABF所成角为，分
则直线AD与平面ABF所成角的正弦值为：
分
【解析】设AC与BD相交于点O，连接FO，推导出，，由此能证明平面BDEF．
连接DF，推导出为等边三角形，从而，，进而平面由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD与
平面ABF所成角的正弦值．
本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．
19.某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户
居民月用电量标准a，用电量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费为此，政府调查了100户居民的月平均用电量单位：度，以，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．
根据频率分布直方图的数据，求直方图中x的值并估计该市每户居民月平均用电量的值；
用频率估计概率，利用的结果，假设该市每户居民月平均用电量X服从正态分布
估计该市居民月平均用电量介于～度之间的概率；
利用的结论，从该市所有居民中随机抽取3户，记月平均用电量介于～度之间的户数为，求的分布列及数学期望．
【答案】解：由，得，------------分
分
-----------------分
～，，，1，2，-------分的分布列为：
-----------------分
分
【解析】由，求出，由此能估计该市每户居民月平均用电量的值．
，由此能求出结果．
～，，，1，2，3，由此能求出的分布列及数学期望．
本题考查频率、平均数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.如图，圆O：，，，D为圆O上
任意一点，过D作圆O的切线分别交直线和于
E，F两点，连AF，BE交于点G，若点G形成的轨迹为曲
线C．
记AF，BE斜率分别为，，求的值并求曲线
C的方程；
设直线l：与曲线C有两个不同的交点P，Q，与直线交于点S，与直线交于点T，求的面积与面积的比值的最大值及取得最大值时m的值．
【答案】解：设，，
易知过D点的切线方程为，其中，
则，，
设，由，
，
，
故曲线C的方程为
，消y可得，
设，，则，
由得且且
，
与直线交于点S，与直线交于点T，
，
，
，令，且，3，5
则，
当，即，时，取得最大值．
【解析】设，，易知过D点的切线方程为，根据斜率公式，即可得出．
直线方程与椭圆方程联立化为：，设，，由可得m的范围，再求得，通过换元利用二次函数的单调性即可得出
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.已知函数．
当时，讨论函数的单调性；
求函数在区间上零点的个数．
【答案】解：分
当时，，此时在R单调递增；分
当时，，
当时，，恒成立，
，此时在R单调递增；分
当时，令，解得：，，
x，，的变化如下：
即在和上单调递增；在
上单调递减；分
综上：当时，在R单调递增；
当时，在和上单调递增；在
上单调递减；分
由知，
当时，在单调递增，，此时在区间上有一个零点；当时，且，
在单调递增；，此时在区间上有一个零点；
当时，令，故负值舍去
当即时，在单调递增，
，此时在区间上有一个零点；
当即时，
若即时，在单调递增，在单调递减，
，此时在区间上有一个零点；
若即时，在单调递增，在单调递减，
，此时在区间上有零点和在区间有一个零点共两个零点；
综上：当时，在区间上有2个零点；
当时，在区间上有1个零点分
【解析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
通过讨论a的范围，求出函数在的单调性，从而判断函数的零点个数．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
22.已知直线l的参数方程为为参数，，曲线C的极坐标方程为
．
分别将直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
若直线l经过点，求直线l被曲线C截得线段的长．
【答案】解：直线l的参数方程为为参数，，
直线l的方程为，即，分
曲线C的极坐标方程为，，
曲线C的直角坐标方程为分
直线l的参数方程为参数，过，
，
将直线l的参数方程为参数，代入，
得，
，，
由直线参数方程的几何意义可知，
分
【解析】直线l的参数方程消去参数，能求出直线l的直角坐标方程；曲线C的极坐标方程化为，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
由直线l的参数方程过，得到，将直线l的参数方程代入，得
，由此能求出．
本题考查直线和曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
23.已知函数，．
解不等式；
若方程在区间有解，求实数a的取值范围．
【答案】解：可化为，
故，或，或；分
解得：，或，或；分
不等式的解集为；分
由题意：，．
故方程在区间有解函数和函数，图象在区间上有交点
当时，
，实数a的取值范围是分
【解析】通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；
根据题意，原问题可以等价函数和函数图象在区间上有交点，结合二次函数的性质分析函数的值域，即可得答案．
本题考查绝对值不等式的性质以及应用，注意零点分段讨论法的应用，属于中档题．。