黄安基第6章 点的运动合成

2. 运动分析 绝对运动－铅垂直线平动。 相对运动－垂直于伞面，沿伞柄直线。
牵连运动－人沿水平直线平动。
3. 速度分析 绝对速度v ：大小已知，方向沿铅垂向下。 a
牵连速度ve ：大小已知，方向水平向右。 相对速度vr ：大小未知，方向沿沿伞柄直线。
ve
应用速度合成定理
va ve vr
vr
va
va ve
应用速度合成定理
y'
vr
ve va sin 因为 va r ， sin r 2 2 2 v r l r 所以 e
ve O1 A 1 r 2 r 2
l2 r2
va ve vr
l2 r2 ,
设摇杆在此瞬时的角速度为ω1，则
x'
对轨迹较为简单，反之则较复杂。 因此，动点动系的选择是分析点的合成运动的关键之一。
动点、动系的选择应尽量使动点相对运动简单明确， 具体可以选择以下各点：
1、两接触物体的固定接触点； 2、两物体之间连接件：套筒、滑块，注意分清套筒或滑块与 哪一个物体固定铰接，而相对另外一个物体有运动； 3、杆轮机构杆端端点与轮始终接触时选择杆端端点或轮心； 4、杆轮机构杆与轮始终相切时选择轮心； 5、连接两物体的小环、销钉。 20120522
ae aO
(6- 6)
(6 - 7)
（6-8）
根据速度合成定理，动点的绝对速度为
i y j z k va ve vr vO x
上式两边对时间求导得到动点的绝对加速度为
y i j 'i ' k x 'k aa aO x y z j z i j k 0 aO ar aO x y z
√ √ √ √ √ √
P229
A
ve
y
提供投影方程2个，可以求 解两个未知量。
x
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
例题 6-2 雨以速度 v=3m/s 铅垂下落，一人以速度 u=1.732 m/s 在雨中行走。求人撑伞的最佳角度θ。 解：1. 选择动点，动系与定系
动点－ 雨点。动系－建于人上。 定系－固连于地面。
20121105
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
不同动点的选择会有不同的运动分析结果，尤其是相对运动 轨迹有时简单明了有时复杂难辩，从而影响速度、加速度分析。 例如下面各例： 详例1：
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
动点：AB杆上A点
动系：固结于偏心凸轮C上 定系：固结在地面上
动点： 偏心凸轮的圆心C点
l2 r2
1 其中 O1 A l 2 r 2 ，
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
作业： 今天交上次：全部 布置本次：课后习题 P249,6-11
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
点的速度合成定理与牵连运动的形式无关，
20121107§6-3 牵连运动为平移时点的加速度 合成定理
当人走得慢时，u=0，θ=900
u 3 tan v 3
30
0
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
例题 6-3 刨床的急回机构如图所示，曲柄OA的一端A与套筒用铰 链连接，当曲柄 OA 以匀角速度 ω 绕固定轴 O转动时，套筒在摇杆 O1B 上滑动，并带动摇杆 O1B 绕固定轴 O1 摆动，设曲柄长 OA=r ， 两间距离OO1= l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度ω1。
运动演示
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
解：取杆上的A点为动点，动系与凸轮固连。
牵连速度ve=v0 , 方向 → ; 相对速度vr = ? , 方向 CA ; 绝对速度va = ? , 方向沿 AB； 由速度合成定理
va ve vr ,
vr
va
做出速度平行四边形,如图示。
va ve cot v0 cot 60 0.577v0
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
aa ae ar
方向 √ √ √ √ √ √ 以求解2个未知量。 大小 √ √ √ √ √ √ 例6-5 如图所示的曲柄滑道机构中，曲柄长OA＝100 mm ，当 ∠COA=45˚时，其角速度ω＝1 rad/s，加速度ε＝1 rad/s² ,转向如 图。求此瞬时，导杆BC的加速度及滑块A在滑道DB中相对运动 的加速度。 O
注意动点相对动系运动，故牵连点不是动系上的某个固定点。
有了牵连点的概念，可以定义牵连速度和牵连加速度如下： 牵连运动中,某瞬时牵连点的速度和加速度称为该瞬时动 点的牵连速度
v e 和牵连加速度 ae 。
下面通过例子来说明以上的各个概念:
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
此瞬时杆AB的速度方向向上。 ve v0 2 vr v0 o sin sin 60 3

ve
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
绝对加速度 aa ? , 方向沿 AB，待求。 相对加速度 a 。 r ?, 方向 CA ， a r vr / R，方向沿AC
n 2
牵连加速度 ae a0 , 方向→ 因牵连运动为平动，故根据牵连 运动为平动时点的加速度合成定理
面的运动。 任意动点的绝对运动可以看作是相对运动和牵连运动的合成。
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的绝对
轨迹、绝对速度 va 和绝对加速度 aa 。 P227 动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为动点的相对
轨迹、相对速度 v r 和相对加速度 ar 。 特别需要强调的是，由于动参考系的运动是随整个刚体的运 动而不是一个点的运动，因此做如下定义： 在任意瞬时，动参考系上与动点重合的那一点称为牵连点。
A
ve
y
。 其牵连点的位移 M M1
（3）其相对轨迹为 M1 M1 ，
M1 。 其相对位移 M1
x
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
由定义： va lim MM1 , ve lim MM 1 , vr lim M 1M 1 , t 0 t t 0 t 0 t t 方向均如图所示，另外由各运动之间关系：
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
第六章 点的运动合成
§6-1
运动
点的速度合成定理 牵连运动为平移时点的加速度合成定理 牵连运动为定轴转动时点的加速度合成定
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
前两章中我们研究点和刚体的运动，参考坐标系都是建立在地面上的。 实际问题中，为了研究方便，常将一个复杂的运动分解为几个较为简单的 运动或将几个运动合成为一个复杂的运动，找出速度、加速度之间关系。 为此建立不同坐标系，在不同的参考坐标系中来研究物体的运动，分析物体 相对不同参考坐标系运动之间的关系。
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
考虑曲线 AB 运动：
t t t ：动曲线 AB AB，
对于动点M来讲， （1）其绝对轨迹为 MM 1 ， 其绝对位移 M M1 。
z
B
M Bv r
M
M1
M1
va
A
(2) 在t瞬时与动点M重合的点为 M ， 且 M 沿 M M1 运动到 M 1 ， 称 M M1 为M点的牵连点的轨迹。
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
§6－2 点的速度合成定理
绝对速度和相对速度是在不同参考系中来描述动点的速度， 因此它们之间应该有某种关系。 本节研究点的绝对速度、相对速度和牵连速度之间的关系。
z
A z'
但加速度合成定理却与牵连运动的形式有关， 考虑牵连运动为平动时情形。 当动系Oxyz 相对定系作平动时， 动点A的相对速度与相对坐标的关系为：
O x r
r'
A
k' O' i' x'
j'
y'
rO'
y
~ A drO i y j z k vr x dt
相对运动轨迹
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成 2. 运动分析 绝对运动：以O为圆心的圆周运动。 相对运动：沿O1B的直线运动。
解： 1. 选择动点，动系与定系
动点－套筒 A 。
动系－O1x'y'，固连于摇杆O1B。
定系－固连于机座。 牵连运动：摇杆绕O1轴的摆动。 ω＝rω ，方向垂直于OA，沿铅垂向上。 3. 速度分析 绝对速度va：va=OA · 牵连速度ve：ve为所要求的未知量，方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆O1B，
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
§6-1 绝对运动、相对运动与牵连运动
运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。同一物体的 运动在不同的参考系中是不一样的。 如车轮上的点P的运动: 如果以车轴作为参考系，
点的轨迹则是一个圆。
如果以地面作为参考系， 点的轨迹是旋轮线，
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
方向 大小
aa ae ar 即为牵连运动为平动时点的加速度合成定理 aan aa aen ae arn ar P233
√ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √
提供2个投影方程，可以求解2个未知量。
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
例题 6-4
凸轮顶杆机构中半径为 R的半圆形凸轮以速度v0，加 速度a0沿水平轨道向右运动，带动顶杆AB沿铅垂方向运动，如 图所示，试求φ=60º 时，顶杆AB的速度、加速度。
动系： 固结于杆AB上 定系： 固结在地面上
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
详例2：
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
详例3：
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
从以上例子可以得出，如果动点和动系选择的恰当，则相
M1 M1 MM1 MM1
以∆t除两端，并令∆t→0，取lim 有
MM1 M M 1 M 1M 1 lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t va ve vr
z
B
M Bv r
M
M1
M1
va
A
因此 方向 大小
va ve vr
n 2
2
ar

arn
aa
ae
4v (a0 cos600 0 ) / sin 600 3R 2 v 3 8 0 ) 整理得 a AB a a 3 ( a0 3 R
2
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
作业： 今天交上次：全部 布置本次：课后习题 思考题6-1、习题6-1(速度关系图、加速度关 系图)、6-18
aa ae ar ae a ar r
n
作加速度矢量图如图示，将上式投 影到法线CA上，得 aa sin ae cos ar n
aa (ae cos ar ) / sin
n
4v 2 其中 ar vr / R ( v0 ) 2 / R 0 3R 3
又例如车床上车刀刀尖P的运动: 很显然车刀刀尖相对于地面是直线运动， 但如果相对于旋转的工件而言，轨迹则是圆柱面上的螺旋线。
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
下面介绍点的合成运动中的重要基本概念：“一点两系三运动” 一 点： 即动点，所研究的点。 两 系：定坐标系和动坐标系。 定（静）坐标系 — 固结于地面（地球）上的坐标系， 简称定（静）系。 动坐标系 — 建立在相对于地面运动着的物体上的坐标系， 简称动系。例如建立在行驶的火车上的坐标系。 三运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。 绝对运动 —动点相对定系的运动。如：火车上的人相对地面的运动。 相对运动 —动点相对动系的运动。例如：人在行驶的火车里走动。 牵连运动 — 动系相对于定系的运动。例如：行驶的火车相对于地
动点的相对加速度为
(6 - 4)
~2 A dt 2 i j k ar d rO x y z
(6- 5)
理论力学电子教程
第六章 点的运动合成
动点的牵连加速度为牵连点的加速度，但由于牵连运动为平动，所以同一瞬时 动坐标系上任何一点速度、加速度都相等，所以可以以动坐标系上坐标原点O’ 的速度、加速度作为牵连速度、牵连加速度。