四川省乐山市太平中学2021年高三数学文联考试卷含解析

四川省乐山市太平中学2021年高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（表示不超过x的最大整数）
(A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 9
参考答案：
C
第一次循环，，不满足条件，；第二次循环，，不满足条件，；第三次循环，，不满足条件，；第四次循环，，不满足条件，；第五次循环，，此时不满足条件，。

第六次循环，
，此时满足条件，输出，选C.
2. 设m,n是空间两条不同直线，是空间两个不同平面，当时,下列命题正确的是
A.若，则
B.若，则
C若,则 D.若，则
参考答案：
C
略
3. 若a，b表示两条直线，表示平面，下列命题中的真命题为（）A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
参考答案：
C
【分析】
对4个选项分别进行判断，即可得出结论．
【详解】：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；
选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；
选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；
选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面平行的判定与性质是关键．
4. 复数（是虚数单位）的虚部为
A． B． C． D．参考答案：
C
5. 不等式对任意x恒成立，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
6. 定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足
，则当时，有（）
(A)． (B)．
(C)． (D)．
参考答案：
B
略
7. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a11=S13=13，则a9=（）
A．9 B．8 C．7 D．6
参考答案：
C
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a11=S13=13，∴a1+10d=13a1+d=13，
解得a1=﹣17，d=3．
则a9=﹣17+8×3=7．
故选：C．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,所得函数图象的一个对称中心为( )
A. (0,0)
B.
C.
D.(π,0)
参考答案：
A 9. 已知函数则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
10. ，，则的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由二倍角公式化简sin2α，由同角的三角函数恒等式得到（sinα+cosα）2，结合α的范围，得到开平方的值．
【解答】解：∵，，
∴sinαcosα=，
∵sin2α+cos2α=1
∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，
=（cosα+sinα）=cosα+sinα=．
故选：D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若实数x，y满足，则的取值范围是．
参考答案：
[0,4]
根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，其为三条边界线围成的封闭的三角形区域，令
，得，根据的几何意义，可求得，从而求得，从而得到的取值范围是.
12. 设函数为奇函数，则********
．
参考答案：
13. 设圆C ：，过圆心C 作直线l 交圆于A、B
两点，交y轴于点P
，若A 恰好为
线段BP的中点，则直线l 的方程为．
参考答案：
14. 已知向量，，则的最大值为 ___.
参考答案：
3
15. 已知直线与圆相切，则的值为。

参考答案：
答案：－18或8
解析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为（1，0），半径为1，由已知可得，所以的值为－18或8。

16. 已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，，且当时，恒成立，则m－n的最小值是__________.
参考答案：
17. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是AC1、A1B1的中点．点在正方体的表面上
运动，则总能使MP 与BN 垂直的点所构成的轨迹的周长等于．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知，
（1）求f(x)在处的切线方程以及f(x)的单调性；
（2）对，有恒成立，求k的最大整数解；
（3）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：.
参考答案：
（1）切线方程为；单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为（2）的最大整数解为（3）证明见解析
【分析】
（1）求出函数的导数，求出，即可得到切线方程，解得到单调递增区间，解得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；
（2）等价于，求导分析的单调性，即可求出的最大整数解；
（3）由，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；
【详解】解：（1）
所以定义域为
；
；
所以切线方程为；
，
令解得
令解得
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）等价于；
，
记，，所以为上的递增函数，且，，所以，使得
即，
所以在上递减，在上递增，
且；
所以的最大整数解为.
（3），得，当，，，；
所以在上单调递减，上单调递增，
而要使有两个零点，要满足，
即；因为，，令，
由，，
即：，
而要证，
只需证，
即证：
即：由，只需证：，
令，则
令，则
故在上递增，；
故在上递增，；
.
【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.
19. [选修4-5：不等式选讲]
已知函数，.
（1）当，解不等式；
（2）求证：.
参考答案：
解：（1）当，
或或
或或
或，
所以不等式的解集为.
（2）
.
20. 两非零向量满足：垂直，集合是单元素集合。

（1）求的夹角；
（2）若关于t的不等式的解集为空集，求实数m的值。

参考答案：
解：（Ⅰ）由与垂直得，……………2分
由是单元素集合得:
，……………4分
设向量，的夹角为，则
∴夹角为．……………6分（Ⅱ）关于的不等式解集为
故的解集为
从而对一切恒成立．………8分
将，代入上式得：对一切恒成立．…10分
∴△．……………12分
21. 已知函数，，其中m∈R．
（1）若0＜m≤2，试判断函数f （x）=f1（x）+f2（x）（x∈[2，+∞））的单调性，并证明你的结论；
（2）设函数若对任意大于等于2的实数x1，总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立，试确定实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）先求导数fˊ（x），在函数给定的区间内判定fˊ（x）的符号，即可判定单调性；
（2）对m进行分类讨论，然后研究个g（x）的单调性，再由“总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立”分别可求出g（x1）、g（x2）的值域，使g（x1）的值域为g（x2）的值域的子集，建立不等关系，解之即可．
【解答】解：（1）f（x）为单调减函数．
证明：由0＜m≤2，x≥2，可得f（x）=f1（x）+f2（x）
==．
由=，
且0＜m≤2，x≥2，所以f'（x）＜0．从而函数f（x）为单调减函数．
（亦可先分别用定义法或导数法论证函数f1（x）和f2（x）在[2，+∞）上单调递减，再得函数f （x）为单调减函数．）
（2）①若m≤0，由x1≥2，，
x2＜2，，
所以g（x1）=g（x2）不成立．
②若m＞0，由x＞2时，，
所以g（x）在[2，+∞）单调递减．从而g（x1）∈（0，f1（2）]，即．（a）若m≥2，由于x＜2时，，
所以g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，从而g（x2）∈（0，f2（2）），即
．
要使g（x1）=g（x2）成立，只需，即成立即可．
由于函数在[2，+∞）的单调递增，且h（4）=0，
所以2≤m＜4．（b）若0＜m＜2，由于x＜2时，
所以g（x）在（﹣∞，m]上单调递增，在[m，2）上单调递减．
从而g（x2）∈（0，f2（m）]，即g（x2）∈（0，1]．
要使g（x1）=g（x2）成立，只需成立，即成立即可．
由0＜m＜2，得．
故当0＜m＜2时，恒成立．
综上所述，m为区间（0，4）上任意实数．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数单调性的应用，属于中档题．
22. （本小题满分10分）已知，且，求的最小值．
参考答案：
, ,
,
，当且仅当，或时
的最小值是1.。