人教版高考数学学业水平测试一轮复习模拟测试卷三含解析

高中学业水平考试模拟测试卷(三)
(时间：90分钟 满分100分)
一、选择题(共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．已知集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2
＝x }，则M ∩N ＝( ) A ．{1}
B ．{0，1}
C ．{－1，0}
D ．{－1，0，1}
解析：x 2
－x ＝0⇒x (x －1)＝0⇒N ＝{0，1}，所以M ∩N ＝{0，1}． 答案：B
2．已知等比数列{a n }的公比为2，则a 4a 2
值为( ) A.14
B.12
C ．2
D ．4
解析：a 4a 2
＝q 2
＝4. 答案：D
3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为( ) A ．－32
B.32
C ．±32
D ．1
解析：命题“存在x 0∈R ，x 2
0－1＝0”的否定为“对任意的x ∈R ，x 2
－1≠0”． 答案：D
4．直线l 过点(1，－2)，且与直线2x ＋3y －1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．2x ＋3y ＋4＝0 B ．2x ＋3y －8＝0 C ．3x －2y －7＝0
D ．3x －2y －1＝0
解析：设直线l ：3x －2y ＋c ＝0，因为(1，－2)在直线上，所以3－2×(－2)＋c ＝0，解得c ＝－7，即直线l 的方程为3x －2y －7＝0.
答案：C
5．已知直线的点斜式方程是y －2＝－3(x －1)，那么此直线的倾斜角为( ) A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6
解析：因为k ＝tan α＝－3， 所以α＝π－π3＝2π
3，故选C.
答案：C
6．已知复数z 满足z i ＝2＋i ，i 是虚数单位，则|z |＝( )
A. 2
B. 3
C ．2
D. 5
解析：由题意得z ＝2＋i
i ＝1－2i ，
所以|z |＝ 5. 答案：D
7．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移1
2
个单位
D ．向右平移1
2
个单位
解析：y ＝cos 2x →y ＝cos(2x ＋1)＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.故选C. 答案：C
8．下列说法不正确的是( )
A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B ．同一平面的两条垂线一定共面
C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
解析：A ．一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A 正确； B ．由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B 正确； C ．由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C 正确；
D ．由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D 不正确．故选D.
答案：D
9．函数f (x )＝x 3
－2的零点所在的区间是( ) A ．(－2，0)
B ．(0，1)
C ．(1，2)
D ．(2，3)
解析：因为f (1)＝13－2＝－1<0，f (2)＝23
－2＝6>0.所以零点所在的区间为(1，2)． 答案：C
10．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝6，则前4项的和S 4等于( ) A ．8
B ．10
C ．12
D ．14
解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 2＋(4－2)d ⇒d ＝6－2
2＝2，a 1＝a 2－d ＝2－2＝0，所以S 4
＝
4（a 1＋a 4）
2
＝2(0＋6)＝12.故选C. 答案：C
11．某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是( )
A ．6
B ．9
C ．18
D ．36
解析：由题意可知，几何体是以正视图为底面的三棱柱，
其底面面积S ＝12×4×52－42
＝6，高是3，所以它的体积为V ＝Sh ＝18.故选C.
答案：C
12．双曲线x 2m －y 2
3＋m
＝1的一个焦点为(2，0)，则m 的值为( )
A.12
B ．1或3
C.
1＋2
2
D.
2－1
2
解析：因为双曲线的焦点为(2，0)，在x 轴上且c ＝2，所以m ＋3＋m ＝c 2
＝4，所以m ＝12.
答案：A
13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －6≤0，x －3y ＋2≤0，3x －y －2≥0，
则z ＝x －2y 的最小值为( )
A ．－10
B ．－6
C ．－1
D ．0
解析：由z ＝x －2y 得y ＝12x －z
2
，作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)，
平移直线y ＝12x －z
2
，
由图象可知，当直线y ＝12x －z 2过点B 时，直线y ＝12x －z
2
的截距最大，此时z 最小，
由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6＝0，3x －y －2＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2，
y ＝4，即B (2，4)．代入目标函数z ＝x －2y ，得z ＝2－8＝－6， 所以目标函数z ＝x －2y 的最小值是－6.故选B.
答案：B
14.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )
A ．－
32
B ．－12
C.12
D.32
解析：sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°
＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°
cos 17°
＝
sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝1
2
.故选C.
答案：C
15．小李从甲地到乙地的平均速度为a ，从乙地到甲地的平均速度为b (a >b >0)，他往返甲、乙两地的平均速度为v ，则( )
A ．v ＝
a ＋b
2
B ．v ＝ab C.ab <v <
a ＋b
2
D ．b <v <ab
解析：设甲地到乙地的距离为s .则他往返甲、乙两地的平均速度为v ＝
2s
s a ＋s b
＝
2ab
a ＋
b ，
因为a >b >0，所以2a
a ＋b
>1， 所以v ＝
2ab a ＋b >b .v ＝2ab a ＋b <2ab
2ab
＝ab . 所以b <v <ab .故选D. 答案：D
二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分．)
16．首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝________． 解析：S 4＝1－2
4
1－2＝15.
答案：15
17．若函数f (x )＝log a (x ＋m )＋1(a >0且a ≠1)恒过定点(2，n )，则m ＋n 的值为________．
解析：f (x )＝log a (x ＋m )＋1过定点(2，n )，则log a (2＋m )＋1＝n 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋m ＝1，1＝n ，⇒⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1，所以m ＋n ＝0.
答案：0
18．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．
解析：f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫14＝log 214＝－2，
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14
＝f (－2)＝3－2＝19
.
答案：19
19．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5
5
，且过点P (－5，4)，则椭圆的方程为______________．
解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，将点(－5，4)代入得25a 2＋16
b
2＝1，
又离心率e ＝c a ＝55，即e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，所以a 2＝45，b 2
＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 236
＝1.
答案：x 245＋y 2
36
＝1 三、解答题(共2小题，每小题12分，共24分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．) 20．已知圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝9内有一点P (2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点． (1)当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2)当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3)当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长．
解：(1)已知圆C ：(x －1)2
＋y 2
＝9的圆心为C (1，0)，因为直线过点P 、C ， 所以直线l 的斜率为2，直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.
(2)当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，直线l 的方程为y －2＝－1
2(x －2)，即x ＋2y －6＝0.
(3)当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2， 即x －y ＝0.
圆心到直线l 的距离为
12
，圆的半径为3，所以弦AB 的长为2
32
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
＝34.
21．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 5＝8，a 6－a 3＝3. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；
(2)若b n ＝1S n
＋3·2n －2
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)由a 6－a 3＝3得数列{a n }的公差d ＝
a 6－a 3
3＝1，由a 2＋a 5＝8，得2a 1＋5d ＝8，解得a 1＝3
2
，
所以S n ＝na 1＋
n （n －1）2
d ＝n （n ＋2）
2
.
(2)由(1)可得1
S n
＝
2n （n ＋2）＝1n －1n ＋2
，
所以b n ＝1S n ＋3·2n －2＝1n －1n ＋2
＋3·2n －2
.
所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫1n －1n ＋2＋32
(1＋2＋…＋2n －1
)＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13
＋…＋1n －(13＋14
＋…＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2)＋32×2n
－12－1＝32－1n ＋1－1n ＋2＋32×(2n －1)＝3·2n －1
－1n ＋1－1n ＋2
.。