内蒙古乌拉特前旗一中2020学年高二数学上学期第一次月考试题

内蒙古乌拉特前旗一中2020学年高二数学上学期第一次月考试题
一．选择题（共60分） 1. 设全集为R ，集合，
，则
A.
B.
C.
D.
2. 过点P （-1，3）
平行直线 x-2y+3=0的直线方程 ( ) A. 2x+y-1=0 B. 2x+y-5=0 C. x+2y-5=0 D. x-2y+7=0 3.已知圆2
2
:40C x y x +-=，过点(3,0)P 的直线l ，则（ ）
A.l 与C 相交
B. l 与C 相切
C.l 与C 相离
D. 以上三个选项均有可能 4.直线2550x y +-+=被圆22
240x y x y +--=截得的弦长为 （ ）
A ． 1
B ．2
C ．4
D ．46
5.圆0882:22
1=-+++y x y x C ，圆0244:2
2
2=---+y x y x C ，圆1C 与圆2C 的位
置关系. （ ）
（A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）相离 6. 已知
，则
的大小关系为 （
）
A.
B.
C.
D.
7.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A. 在区间上单调递增
B. 在区间上单调递减
C. 在区间
上单调递增 D. 在区间
上单调递减
8.已知,x y 满足约束条件0
20x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y =+的最大值为4，则a = （ ）
（A ）3 （B ）-3 （C ）2 （D ）-2
9.点42P （，-）
与圆42
2
=+y x 上任一点连线的中点轨迹方程是 （ ）
10.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，
点P 在圆()2
222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，
B ．[]48，
C ．
(
)
232，
D ．2232⎡⎤⎣⎦，
11．（理科）已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ( ) A.
4
3
5 B.
4
3
3 C.
3
3
2 D.
4
2
3 11.（文科） 已知圆O ：x 2
＋y 2
＝1和点A (－2，0)，若定点B (b ，0)(b ≠－2)和常数λ满足： 对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则 ( )
A ．1,2b λ=-=
B ．1,2b λ==
C ．11,22b λ==
D ．11
,22b λ=-=
12. 如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
. 若点E
为边CD 上的动点，则 AE BE u u u r u u u r
g 的最小值为 ( ) A. B. C.
D.
二．填空题（共20分）
13.在直角坐标系中，直线330x y --=的倾斜角的度数是
14. 设,x y 满足约束条件：,0
13x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
；则2z x y =-的最小值
为 .
15.在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,
PA PB ⋅u u u r u u u r
≤则点P 的横坐标的取值范围是 .
16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
1211S S +311n
S S +++=L
三．解答题(共70分)
17.（10分）（1）求过点(1,2)P -且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）求 圆心在直线032=--y x 上,且过点)2,3(),2,5(-B A 的圆的方程
18、（12分）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产1车皮甲种
肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数. (Ⅰ)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.
19．(12分) 在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，2721,cos ,73
BC B ACB π
==∠=. （1）求AC 的长； （2）若21AD =，求CD 的长和四边形ABCD 的面积.
20.（理科12分）在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD
⊥底面
ABCD ,PD CD ⊥,E 为
PC
中点,底
面
ABCD
是直角梯
形,//AB CD ,90ADC ∠=o
,1AB AD PD ===,2CD =．
（1）求证：BC ⊥平面PBD ；
（2）在线段PC 上是否存在一点Q ,使得二面角Q BD P --为45o
？若存在,求PQ
PC
的值；
若不存在,请说明理由．
20.文科（12分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD ，AB//DC ，△PAD是等边三角形，BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝45．
（1）设M 是PC 上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD ； （2）求四棱锥P-ABCD 的体积．
20．[文科] 如图，三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .
(1)证明：B 1C ⊥AB ；
(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1的高．
21.（12分）数列}{n a 满足)0(m ,111≠==+m a a a n n ，数列{n b }的前n 项和为
=n s 12n 2++n ，
（1）求数列}{n a 的前n 项和，及数列{n b }的通项公式； （2）当3=m 时，设n n n
b a
c ⋅=，求数列{n c }的前n 项和n T ；
（3）若12
-≤n T k n 对*
∈N n 都成立，求k 的取值范围．
22. （12分）已知直线l :4x +3y +10=0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线
l 的右上方.
(1) 求圆C 的方程；
(2) 过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

高二数学月考题答案 2020.9.28
一．选择题（共60分） 1. 设全集为R ，集合，
，则
【答案】B
A.
B.
C.
D.
2. 过点P （-1，3）平行直线 x-2y+3=0的直线方程 ( )D A. 2x+y-1=0 B. 2x+y-5=0 C. x+2y-5=0 D. x-2y+7=0
3.已知圆2
2
:40C x y x +-=，过点(3,0)P 的直线l ，则（ ）【答案】A.
A.l 与C 相交
B. l 与C 相切
C.l 与C 相离
D. 以上三个选项均有可能
4.直线2550x y +-+=被圆22
240x y x y +--=截得的弦长为 （ ）【答案】C
A ．1
B ．2
C ． 4
D ．46
5.圆0882:22
1=-+++y x y x C ，圆0244:2
2
2=---+y x y x C ，圆1C 与圆2C 的位
置关系.
（A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）相离 B 6. 已知
，则
的大小关系为 【答案】D
A.
B.
C.
D.
7.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数【答案】A
A. 在区间上单调递增
B. 在区间上单调递减
C. 在区间
上单调递增 D. 在区间
上单调递减
8.已知,x y 满足约束条件0
20x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y =+的最大值为4，则a = （ ）C
（A ）3 （B ）-3 （C ）2 （D ）-2
9.点42P （，-）
与圆42
2
=+y x 上任一点连线的中点轨迹方程是 （ ）
10.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，
点P 在圆()2
222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A A ．[]26，
B ．[]48，
C ．
(
)
232，
D ．2232⎡⎤⎣⎦，
11．（理科）已知正方体的棱长为1，每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ( ) B A.
4
3
5 B.
4
3
3 C.
3
3
2 D.
4
2
3 11.（文科） 已知圆O ：x 2
＋y 2
＝1和点A (－2，0)，若定点B (b ，0)(b ≠－2)和常数λ满足： 对圆O 上任意一点M ，都有|MB |＝λ|MA |，则 ( ) D
A ．1,2b λ=-=
B ．1,2b λ==
C ．11,22b λ==
D ．11
,22b λ=-=
12. 如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，
. 若点E
为边CD 上的动点，则 AE BE u u u r u u u r
g 的最小值为 ( ) 【答案】A A. B. C.
D.
三．填空题（共20分）
13.在直角坐标系中，直线330x y --=的倾斜角的度数是
14. 设,x y 满足约束条件：,0
13x y x y x y ≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
；则2z x y =-的最小值
为 .
15.在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,
PA PB ⋅u u u r u u u r
≤则点P 的横坐标的取值范围是 .【答案】[52,1]- 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则
1211S S +311n
S S +++=L 【
答案】
21
n
n + 16. （理科）在平面直角坐标系
中，A 为直线
上在第一象限内的点，
，以AB
为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB CD ⊥，则点A 的横坐标为______．
【答案】3
三．解答题
17.（1）求过点(1,2)P -且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）求 圆心在直线032=--y x 上,且过点)2,3(),2,5(-B A 的圆的方程
18、（2020年天津高考）某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C 三种主要原料.生产
1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：
现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y 表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(Ⅰ)用x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.
（Ⅰ）解：由已知y x ,满足的数学关系式为⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+0
03001033605820054y x y x y x y x ，该二元一次不等式组所表示的
区域为图1中的阴影部分.
（Ⅱ）解：设利润为z 万元，则目标函数y x z 32+=，这是斜率为3
2
-，随z 变化的一族平行直线.
3z 为直线在y 轴上的截距，当3
z
取最大值时，z 的值最大.又因为y x ,满足约束条件，所以由图2可知，当直线y x z 32+=经过可行域中的点M 时，截距3
z
的值最大，即z 的值
最大.解方程组⎩
⎨⎧=+=+300103200
54y x y x 得点M 的坐标为)24,20(M ，所以
112243202max =⨯+⨯=z .
答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.
19．(本小题满分12分) 在平面四边形ABCD 中，AB AD ⊥，
2721,cos ,3
BC B ACB π
==
∠=. （1）求AC 的长； （2）若21AD =，求CD 的长和四边形ABCD 的面积.
20.（理科本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD
⊥底面
ABCD ,PD CD ⊥,E 为PC 中点,底面ABCD 是直角梯
形,//AB CD ,90ADC ∠=o
,1AB AD PD ===,2CD =．
（1）求证：BC ⊥平面PBD ；
（2）在线段PC 上是否存在一点Q ,使得二面角Q BD P --为45o
？若存在,求PQ
PC
的值；
若不存在,请说明理由．
（2）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-u u u r
, (0,2,1)PC =-u u u r ,设PQ PC λ=u u u r u u u r
,(0,1)λ∈
所以(0,2,1)Q λλ-,
20.[文科] 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，△PAD是等边三角形，BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积．
20．[文科] 如图，三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .
(1)证明：B 1C ⊥AB ；
(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC ­ A 1B 1C 1的高．
21.数列}{n a 满足)0(m ,111≠==+m a a a n n ，数列{n b }的前n 项和为
=n s 12n 2++n ，
（4）求数列}{n a 的前n 项和，及数列{n b }的通项公式；
（5）当3=m 时，设n n n b a c ⋅=，求数列{n c }的前n 项和n T ；
（6）若12-≤n T k n 对*∈N n 都成立，求k 的取值范围．
22. 已知直线l :4x +3y +10=0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方
(3) 求圆C 的方程；
(4) 过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ?若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。

解答：
(1)设圆心C (a ,0)(a >−52)，
∵直线l:4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，
∴d=r,即|4a+10|5=2，
解得：a=0或a=−5(舍去)，
则圆C方程为x2+y2=4；
(2)当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，
若x轴平分∠ANB,则kAN=−kBN,即k(x1−1)x1−t+k(x2−1)x2−t=0，
整理得：2x1x2−(t+1)(x1+x2)+2t=0,即2(k2−4)k2+1−2k2(t+1)k2+1+2t=0，解得：t=4，。