湖南浏阳一中2019高三上第二次抽考(数学理)

湖南浏阳一中2019高三上第二次抽考（数学理）
数 学〔理科〕
【一】选择题〔每题5分，共40分〕。

1、假设A ＝{2,3,4}，B ＝{}n m A n m m n x x ≠∈⋅=,,,，那么集合B 中的元素个数是()
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
2、假设函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，那么函数y ＝f (x )的图象可能是()、
3、由曲线x x y 22+=与直线x y =所围成的封闭图形的面积为〔〕
A 、61B.31C.65D.3
2
4、f (x )＝sin(ωx ＋3
π)(ω>0)的图象与y ＝－1的图象的相邻两交点间的距离为
π，要得到y ＝f (x )的图象，只需把y ＝cos2x 的图象()
A 、向左平移12
π个单位 B 、向右平移12
π个单位
C 、向左平移12
5π个单位 D 、向右平移12
5π个单位
5、如下图，是张大爷晨练时人离家的距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的
图象、假设用黑点表示张大爷家的位置，那么张大爷散步行走的路线可能是()、
6、函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ，在区间(－∞，1)上有最小值，那么函数g (x )＝x x f )
(在区间(1，＋∞)上一定()、
A 、有最小值
B 、有最大值
C 、是减函数
D 、是增函数
7、二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x)，f ′(0)>0，关于任意实数x ，
有f(x)≥0，那么f(1)
f ′(0)的最小值为()
A 、3B.52C 、2D.3
2 8、设函数
2
121)(2+
+=x x x f ，
[x ]表示不超过x 的最大整数，那么函数y ＝[f (x )]的值域是()、
A 、{0,1}
B 、{0，－1}
C 、{－1,1}
D 、{1,1} 【二】填空题〔每题5分，共35分〕
9.sin α＝53，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，那么=βtan 。

10.设x 、y 为实数，且i
i y i x 315211-=
-+-，那么y x +=。

11.设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，且f (x )≤5，那么x 的取值范围是________。

12、在△ABC 中，假设sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，那么该三角形的面积为_______。

13设π20≤≤x ,且x x x cos sin 2sin 1-=-，那么x 的取值范围是。

14.D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，∠ABC =β.且AC =3DC ，那么β=。

15.P 为ABC ∆内一点，且73=++,那么PAC ∆与ABC ∆面积的比为。

【三】解答题〔六个大题，共75分〕 16.〔本小题总分值12分〕
在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ，8=∙，∠BAC=θ，a =4. 〔1〕求bc 的最大值及θ的取值范围；
〔2〕求函数
3
cos 2)4
(
sin 32)(2
2
-++=θθπ
θf 的最值。

17、〔本小题总分值12分〕
某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元、已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为x 21件，每
个元件的库存费为每年2元，假如不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？ 18、〔本小题总分值12分〕 设函数f(x)=1)1(3223+--x a x ,其中1≥a 〔1〕求f(x)的单调区间；〔2〕讨论f(x)的极值。

19、〔本小题总分值13分〕
向量
)23sin ,23(cos x x =，)2sin ,2(cos x x -=且⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 求〔1〕⋅
+；
〔2〕假设
x f +-⋅=2)(的最小值是
2
3-，求λ的值。

20、(本小题总分值13分)
函数f(x)＝)ln(a e x +(a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数 g(x)＝λf(x)＋sinx 是区间[－1,1]上的减函数、 (1)求a 的值及λ的范围。

(2)讨论关于x 的方程ln x
f(x)＝x 2－2ex ＋m 的根的个数、 21、〔本小题总分值13分〕
d cx bx x x f +++=23)(在]0,(-∞上是增函数，在[]2,0上是减函数，且
0)(=x f 有三个根βα,2,)2(βα≤≤。

〔1〕求c 的值，并求出b 和d 的取值范围。

〔2〕求证2)1(≥f 。

〔3〕求αβ-的取值范围，并写出当αβ-取最小值时的)(x f 的解析式。

数学试题参考答案
【一】选择题
1、B 、2.B3.A 、4、B 、5、D 、6、D 、7、C 、8.B 、 【二】填空题
9.710.411.－1≤x ≤112、3、13.4
54ππ
≤≤x 14.
3
πβ=
15.11
3
16、〔本小题总分值12分〕在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c ，
8=∙AC AB ，∠BAC=θ，a =4.
〔1〕求bc 的最大值及θ的取值范围；
〔2〕求函数
3
cos 2)4
(
sin 32)(2
2
-++=θθπ
θf 的最值。

解析：〔1〕由题意知2224cos 2,8cos =-+=∙θθbc c b bc ， 即3222=+c b ，
又bc c b 222≥+，当且仅当c b =时取等号，因此16≤bc ，即bc 的最大值为16。

又0cos ,16cos 8>≤θθ，因此21cos ≥θ，又πθ<<0，因此3
0πθ≤<。

〔2〕
,
1)62sin(212cos 2sin 332cos 1)22cos(13)(++=++=-++⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-∙=πθθθθθπθf 因为
30πθ≤
<，因此1)6
2sin(21,65626≤+≤≤+<π
θππ
θπ
，
当
6562ππ
θ=+即3πθ=时，2
12
12)(min =+⨯==θf ，
当
2
6
2ππ
θ=
+
即
6
πθ=
时，3112)(max =+⨯=θf 。

17、〔本小题总分值12分〕
某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元、已购进而未使用
的元件要付库存费，假设平均库存量为x
2
1件，每个元件的库存费为每年2元，假如不计其
他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？
解：设购进8000个元件的总费用为S ，一年总库存费用为E ，手续费为H 、
那么
n x 8000=，n
E 8000212⨯
⨯=，n H 500= 因此
4000
50080008000500≥+=+⨯=+=n n
x x H E s 当且仅当
n
n 16=
，即n=4时总费用最少，故以每年进货4次为宜、
18.〔本小题总分值12分〕设函数f(x)=1)1(3223+--x a x ,其中1≥a 〔Ⅰ〕求f(x)的单调区间；〔Ⅱ〕讨论f(x)的极值。

解：由得[])1(6)(--='a x x x f ，令0)(='x f ，解得1,021-==a x x 。

〔Ⅰ〕当1=a 时，26)(x x f ='，)(x f 在),(+∞-∞上单调递增；
当1 a 时，)(x f 在)0,(-∞上单调递增；在)1,0(-a 上单调递减；在),1(+∞-a 上单调递增；，
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，当1=a 时，函数)(x f 没有极值； 当1 a 时，函数)(x f 在,0=x 处取得极大值，在1-=a x 处取得极小值3)1(1--a 。

19.向量
)23sin ,23(cos x x a =)2sin ,2(cos x x b -=且⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 求〔1〕b a ⋅及
|
|+；〔2〕假设
|
|2)(x f +-⋅=λ的最小值是
2
3-，求λ的值。

解：〔1〕
x
x
x x x b a 2cos )2sin (23sin 2cos 23cos =-+=⋅ 因为
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，因此
x
x cos 2|cos |2||==+
〔2〕12)(cos 2cos 42cos )(22---=-=λλλx x x x f 因为
⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，因此[]1,0cos |∈x
〔1〕当[]1,0|∈λ时，
2
min
3()()212
f x f λλ==--=-
解得
12λ=±其中，12λ=-，舍去故12
λ=
〔2〕当0λ<时，0
cos =231)(min
-
≠-=x f
〔3〕当1λ>时，1
cos =2
341)(min
-
=-=λx f
解得
8
5=
λ，舍去 综上所述：
12
λ=。

20.(本小题总分值13分)函数f(x)＝ln(e x ＋a)(a 为常数)是实数集R 上的奇函数，函数g(x)＝λf(x)＋sinx 是区间[－1,1]上的减函数、
(1)求a 的值及λ的范围。

(2)讨论关于x 的方程ln x
f(x)＝x 2
－2ex ＋m 的根的个数、
解：(1)由于f(x)是在R 上的奇函数，因此f(0)＝0，故a ＝0.
∵g(x)在[－1,1]上单调递减，∴x ∈[－1,1]时，g ′(x)＝λ＋cosx ≤0恒成立 ∴λ≤－1，
(2)由(1)知f(x)＝x ，∴方程为ln x
x ＝x 2－2ex ＋m ，
令f 1(x)＝ln x
x ，f 2(x)＝x 2
－2ex ＋m ，
∵f ′1(x)＝1－ln x
x 2
当x ∈(0，e)时，f ′1(x)＞0，∴f 1(x)在(0，e]上为增函数；
当x ∈(e ，＋∞)时，f ′1(x)＜0，∴f 1(x)在(e ，＋∞)上为减函数；
当x ＝e 时[f 1(x)]max ＝f 1(e)＝1
e . 而
f 2(x)＝(x －e)2＋m －e 2
∴当m －e 2＞1e 时，即m ＞e 2
＋1e 时方程无解、
当m －e 2＝1e 时，即m ＝e 2
＋1e 时方程有一解、
当m －e 2＜1e 时，即m ＜e 2
＋1e 时方程有两解、
21、〔本小题总分值13分〕d cx bx x x f +++=23)(在]0,(-∞上是增函数，在[]2,0上是减函数，且0)(=x f 有三个根βα,2,)2(βα≤≤。

〔1〕求c 的值，并求出b 和d 的取值范围。

〔2〕求证2)1(≥f 。

〔3〕求
αβ-的取值范围，并写出当αβ-取最小值时的)(x f 的解析式。

解〔1〕)(x f 在]0,(-∞上是增函数，在[]2,0上是减函数，0)(0='=x f x 是的根，
又c bx x x f ++='23)(2因为0)0(='f ,因此0=c 又因为0)0(=f 的根为因为βα,2, 因此0)2(=f ,因此0482=++d b 又因为0)2(≤'f 因此0412≤+b 即3-≤b 又b d 48--=因此4≥d 〔2〕因为d b f ++=1)1(,0)2(=f 因此b d 48--=且3-≤b
因此2481)1(≥--+=b b f
〔3〕因为0)(=x f 有三个根βα,2,因此)2)()(()(---=x x x x f βα 因此
⎩⎨
⎧-=-=++d
b αββα22
16
)2(2)2(4)(2222
--=++=-+=-b d b αββααβ
又因为3-≤b , 因此
3≥-αβ
当且仅当3-=b 时取最小值,如今4=d 因此43)(23+-=x x x f。